群的直积是什么

群的直积（Direct Product of Group）

群的直积是群论中的重要概念，也是研究群的重要手段之一，利用群的直积可以从已知的群构出新的群，可以用小群构造大群，也可以将一个群用它的子群来表示，这一节介绍子群的直积及其基本性质。

定义1 设G1,G2是群，G?{(a1,a2)|a1?G1,a2?G2)为集合G1与G2为的卡氏积（Cartesian product）,在G中定义乘法运算

(a1,a2)?(b1,b2)?(a1b1,a2b2),(a1,a2),(b1,b2)?G。

则G关于上述定义的乘法构成群，称为群G1与G2的外直积（external direct product），记作G?G1?G2，G1、G2称为G的直积因子(factor of the direct product)。

当G1、G2是加群时，G1与G2的外直积也可记作G1?G2。 定理1 设G?G1?G2是群G1与G2的外直积，则 （1）

G是有限群的充分必要条件是G1与G2都是有限群，并且，当G是有限群时，??有|G|?|G1||G2|；

（2） （3） （4）

G是交换群的充分必要条件是G1与G2都是交换群。 G1?G2?G2?G1；

若令A1?{(a1,e2

矢量的直积——并矢

矢量的直积是矢量之间最简单的一种乘法运算，其结果是张量，所以也叫做矢量的张量积，俗称并矢。举例说明如下：

设三维白线性空间中的任意两个矢量的线性表出分别为

与

则两个矢量的直积就是一个并矢，属于二阶张量的一种，可记为

注意：并矢的先后次序一般不可交换。即

并矢既不是点积，也不是叉积，而是矢量的直积或直乘。因为其结果已经超出了原来的矢量空间，所以属于外积的一种。所谓直积运算就是一个矢量的所有线性组合项遍乘另一个矢量的所有线性组合项，类似于多项式乘法。如上例即

可见三维空间中的一个二阶张量共有9个分量。本例的基矢都是自然基矢（协变基矢），分量都是逆变分量，所以这个张量属于一个二阶逆变张量。

如果用爱因斯坦求和约定，上述并矢（二阶张量）还可以简洁地表示为

注意：两对哑标相乘时必须区别开。

其中基矢的并矢 叫做基张量，本例中的基张量是两个基矢的并矢，所以属于二阶基张

叫做张量的分量。对于两个n维矢量的并矢，有时也用完整

量。基张量对应的线性组合系数的一组

个分量表示其运算结果（一个二阶张量），即

矢量的直积运算还可以采用分量矩阵形式表示。如上例可表示为

一组9个基张量也可以用矩阵表示为

矢量的直积运算可以推广到多个矢量的并矢，即高阶张

篇一：一直以来教师被称为

一直以来教师被称为“人类灵魂的工程师”， 在人们心目中，教师如同智慧品德完美的化身。但是我认为，教师的职业的确是“太阳底下最光辉的职业”、是神圣的，同时请不要忘记一点，做教师的也都是普普通通有血有肉的人，他们在“蜡炬成灰泪始干”的赞美声中渐渐消耗着自我。心理学专家认为，心理枯竭已经成为现代社会中的一种职业病，而教师正是这种心理疾病的高危人群之一。美国有研究指出，在教师、医生、护士、农民、律师、家庭主妇、教士和修女中，教师产生心理障碍的比例最高。中国香港有报告，教师的职业压力排在第二位，仅次于警察。但是值得注意的是，警察工作的对象多是罪犯，而我们教师面对的却是祖国的未来。因此，关注教师心理健康提升职业幸福感，已不能仅仅停留在倡议和呼吁的层面，而应该是摆在我们学校心理健康工作者面前的一个重要课题，刻不容缓势在必行的课题。

身为老师，我具有极大的力量，能够让孩子们活得愉快或悲惨，我可以是制造痛苦的工具，也可能是启发灵感的媒介。我能让人丢脸，也能叫人开心，能伤人，也可以救人。无论在任何情况下，一场危机之恶化或解除，儿童之是否受到感化，全部决定在我。”由此可见，关注教师的心理健康，是培养拥有健康心理状况学生的需要。

信息技术从广义上

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微信群管理监控系统价值是什么

微信群管理监控系统顾名思义就是协助企业更加规范管理微信上的客户，旨在为客服与客户打造一个更精准、更方便沟通的桥梁，提高客户转化率。可是面对各种各样的微信群管理系统使好多企业老板无从下手，一脸茫然，不知该怎样选择，而微信群管理监控系统价值是什么呢？今天小编就告诉各位老板选择红鹰工作手机微信群管理监控系统的四大要点：

一、系统安全系数一定要高

安全问题要时刻挂在嘴边，不要一味的求便宜而忽略了安全问题。现在市面上CRM、OA、EPR系统有很多种，但是做微信群管理监控系统的却并不多。在微信上做文章，不仅仅是会做软件，更要了解微信官方的规则，在相关的规则内开发软件系统，不破坏微信的原始数据，这样才更安全。非网页版微信，新微信号也能使用IP统一，告别登陆环境异常，远离封号。

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不安全的系统直接导致的后果就是封号，一旦封号，那之前所做的一切都是徒劳。所以在购买或咨询微信群管理监控系统的时候一定要问一下客服，他们开发的系统对微信规则了解不了解，有

〇是什么？〇是太阳，火红火红的太阳，带给我们温暖。

〇是什么？〇是各种各样的球，带给我们欢乐。

〇是什么？〇是盘子，带给我们美味的食物。

〇是什么？〇是笑脸，我们人人爱。

〇是什么？〇是八月十五的月亮，带给我们温馨。

〇是什么？〇是泡泡，带给我们乐趣。

〇是什么？〇是数学当中的零，表示什么都没有。

西控公司（存续企业）五年发展规划

中航工业西控

二Ο一Ο年

目 录

一、西控公司基本情况 ............................................................................ 3 （一）单位概况 ........................................................................................ 3 （二）民品业务基本情况 ........................................................................ 5 （三）GE矩阵综合分析 ......................................................................... 11 二、西控公司发展环境分析 .................................................................. 13 （一）具有实施的必要性 ...................................

篇一：腿上的纹身

腿上的“纹身”

六年级尹安琪

“啊——”在正月十五的晚上7点23分15秒，你会在沂河公园那儿听到一声撕心裂肺的喊声。没错，那正是我喊出的。

正月十五的晚上，沂河公园热闹非凡，放花的人很多。我们也不例外，吃完饭便去放花了。老爸在我放“霹雳炮”之际，点燃了一个12响的小礼炮。礼炮在天空中炸开了，很漂亮。瞧，那个是红色的，那一个是绿色的，好像开放的朵朵花儿。

“咚——咚——”正当礼炮响了第9响时，因冲击力太大，礼炮没站住，摔倒了，而且正对着我的左腿。礼炮里还有3响，我没有注意到朝着我的“炮口”。

“‘标准’，‘准备’，‘发射’！”“遭了！”妈妈大喊一声。但是已经太晚了。就在我发现的同时，“大炮”“打”了过来。随着“咚”和“啊”的声音，我倒在了地上，腿火辣辣的疼，我心里明白，还有二发“炮弹”要冲我“射”来，我急忙向右一滚（在草地上），躲开了。幸好后面没有人，不然??我刚缓过神来，腿又疼了，而且好像被烧了一样。这时，爸爸和妈妈跑了过来，仔细一看，我的裤子上有明显被炸过的痕迹，看了看我的腿，还好，只是被炸肿炸轻了一片，没什么大伤。幸运的是，被炸的地方是在左腿的膝盖下面一点儿的小腿上，没伤骨头。

被炸完后的左腿似乎没了知觉，不听使唤，走路也不能走了，大

　　引导语：同样的一件事情，你是不得不去做或是发自内心的喜欢而去做，结果是截然不同的。

　　他是个渴望成功的年轻人，1996年大学快毕业时，他带着几个同学成立了一家计算机公司，准备在IT行业大干一番，但没想到的是，由于缺乏技术和经验，公司仅开了一年就倒闭了，为此他还背上了20万元的债务。

　　残酷的现实像一盆无情的冷水将踌躇满志的他浇了个透心凉，心灰意冷的他把公司剩下的一些装备给了另外两个同事，自己却背起背包，独自去了西藏、青海等地，用行走的方式排遣内心的苦闷，梳理心情。

　　这天，他来到了距青海湖不远的一座小城。傍晚时分，天空彩霞满天，他携一身风尘踽踽行走在街上，这时一个酿皮摊引起了他的注意。酿皮是青海地区的特色小吃，经营这个酿皮摊的是一个老者，此时街上行人不多，老者闲闲地坐在摊边，一脸和蔼地看着走过的路人。饥肠辘辘的他被老者摊上的蒸酿皮吸引住了，于是来到老者的摊前，要了碗酿皮就狼吞虎咽地吃起来。

　　吃完了，他并不急着离开，而是跟这个老者攀谈起来。这个老者似乎也很善解人意，看到他是个彬彬有礼的外乡人，于是也饶有兴致地跟他聊起天来。

　　老者问：“年轻人，看你的样子，好像有什么不开心的事，能说说你为什么要一个人千里迢迢

篇一：人生的意义是什么

人生的意义是什么?

人生的意义是什么？这是一个问题。如果我们象动物一样，肚子吃饱了就什么都不想，就什么问题都没有了。我们不行。我们有思想。有思想的我们会说话了就要问为什么，想出个名堂就希望实现它。所以，我们想，我们平时做点什么事都是有目的的，我们活一辈子也该有个目的。这个目的，也是意义。我们自古以来就喜欢提出问题。路漫漫兮上下求索。我们也喜欢回答问题。没有找到真理就用想象。如果科学没有找到雷电的真正成因，我们的雷公电母还会忙到永远。人生的意义是什么？我是我们中的一员，我也喜欢回答问题，我就来回答一下。

“ 人生的意义是什么”这个问题，前人早就有了回答：人生一世，吃穿二字。当年的老百姓，生存都成问题，当然要把生存做为一生的目的了。达官贵人们看着老百姓饥寒交迫，很自然地要为自己的锦衣玉食高兴，自豪，感到自己活得很有意义。也有人不以吃穿二字为人生的目的。火烧赤壁的周郎说，“立功名兮慰平生”。大英雄们认为人生的意义是建功立业。大英雄们的丰功伟绩感染了小老百姓。小老百姓有时也说，“人过留名，鸟过留声”。

还有人为建功立业加上规定：先天下之忧而忧，后天下之乐而乐，以苍生为己任。到底什么是人生的意义呢？我们还是从人本身说起。人首先是生物，

篇一：近义词反义词

三、近义词

屹立—（ ）霎时—（ ） 依旧—（ ） 颤动—（ ） 均匀—（ ）空隙—（ ） 牢固—（ ） 隐蔽—（ ） 慎重—（ ）简朴—（ ） 宽敞—（ ） 搜索—（ ） 柔弱—（ ）豪放—（ ） 鼓舞—（ ） 宽大—（ ） 温暖—（ ）逃窜—（ ） 诧异—（ ） 必须—（ ） 愤怒—（ ）喧哗—（ ）孤独—（ ）灵活—（ ）责备—（ ）淘气—（ ）逐步—（ ）摆脱—（ ）疲倦—（ ）协调—（ ）跨越—（ ）跨越—（ ）牢固—（ ）坚定—（ ）茂密—（ ）推荐—（ ）魁梧—（ ） 隐隐约约—（ 应接不暇—（ 从容不迫—（ 自由自在—（ 举世无双—（ 所向披靡—（ 不由自主—（

温柔—（ ） 融化—（ 训斥—（ ） 允许—（ 仍旧—（ ） 热闹—（ 高傲—（ ） 郑重—（ 荣膺—（ ） 率领—（ 可恶—（ ） 忠厚—（ 窥视—（ ） 急速—（ 烦恼—（ ） 骄傲—（ 反驳—（ ） 充足—（ 凋零—（ ） 富裕—（ 庄重—（ ） 希望—（ 叮咛—（ ） 关切—（ 耸立—（ ） 葱郁—（ 繁华—（ ） 期待—（ 瞭望—（ ） 气魄—（ 胸怀—（ ） 温柔—（ 清晰—（ ）逐渐—（ ）姿态不一—（ ） ） 慢条斯理—（