商人过河问题数学建模图解法

数学建模作业（四）——商人过河问题 一． 问题描述

有四名商人各带一名仆人过河，但船最多能载二人，商人已获得仆人的阴谋：在河的任一岸，只要仆人数超过商人数，仆人会将商人杀死并窃取财物且安排如何乘船的权力掌握在商人手中。试为商人制定一个安全过河的方案。

二．解决方案

用递归的源程序如下：

开始时商人，强盗所在的河的这边设为0状态，另一边设为1状态（也就是船开始时的一边设为0，当船驶到对岸是设为1状态，在这两个状态时，都必须符合条件）

#include

struct node /*建立一个类似栈的数据结构并且可以浏览每一个数据点*/ {

int x; int y; int state;

struct node *next; };

typedef struct node state; typedef state *link; link PPointer1=NULL; link PPointer2=NULL; int a1,b1; int a2,b2;

专题四 图解法分析动态平衡问题

所谓图解法就是通过平行四边形的邻边和对角线长短的关系或变化情况，做一些较为复杂的定性分析，从图形上一下就可以看出结果，得出结论。

题型特点：（1）物体受三个力。（2）三个力中一个力是恒力，一个力的方向不变，由于第三个力的方向变化，而使该力和方向不变的力的大小发生变化，但二者合力不变。 解题思路：（1）明确研究对象。（2）分析物体的受力。（3）用力的合成或力的分解作平行四边形（也可简化为矢量三角形）。（4）正确找出力的变化方向。（5）根据有向线段的长度变化判断各个力的变化情况。

注意几点：（1）哪个是恒力，哪个是方向不变的力，哪个是方向变化的力。 （2）正确判断力的变化方向及方向变化的范围。

（3）力的方向在变化的过程中，力的大小是否存在极值问题。

专题训练

1．半圆形支架BAD上悬着两细绳OA和OB，结于圆心O，下悬重为G的物体，使OA绳固定不动，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置缓慢移到竖直位置C的过程中（如图），分析OA绳和OB绳所受力的大小如何变化。

2．如图，电灯悬挂于两墙之间，更换水平绳OA使连结点A向上移动而保持O点的位置不变，则A点向上移动时（ ） A．绳OA的拉力逐渐增大 B．绳OA的拉力逐渐减小 C

用图解法解应用题（一）

例1 乐乐比丫丫大5岁，洋洋比乐乐小2岁，那么丫丫和洋洋相差多少岁？ 【分析】根据题意，我们可以画一个线段图：

很明显，丫丫和洋洋相差5－2＝3岁。

例2 朝阳学校三年级四班开展集邮活动，阿呆有92张邮票，笨笨有54张邮票。问阿呆给笨笨多少张邮票，才能使两人的邮票数相等？

【分析】从下面的线段图可以清楚地看到：

阿呆给笨笨的邮票数，是阿呆与笨笨邮票的相差数的一半，因此要求本题的解，只要将他们邮票的相差数平均分成两份，每一份就是阿呆给笨笨的邮票数。

（92－54）÷2＝19（张）

即阿呆要给笨笨19张邮票，才能使两人的邮票数相等。

通过例2的分析，可以看出画线段图既能充分一线出题中的已知条件，又能形象地把数量关系展示出来，帮助我们很快地找到解题的捷径。

例3 把两块一样长的木板像右图起，成了一块木板。如果这块钉在一起

厘米，中间重叠部分是16厘米。这两块木板各长多少厘米？

【分析】把长度相等的两木板的一端钉起来，钉在一起的长度部分就是重叠部分，重叠的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120＋16＝136（厘米），每块木板的长度就是136厘米的一半。

1

这样钉在一的木板长120

【解】（120＋1

以简单明了的方式介绍了用泰勒图解法和洛巴索夫图解法求粘性土坡极限高度的方法。

泰勒图解法

H N s 如图7.4.5所示，横坐标为边坡坡角，纵坐标为 c

(注意这时Ns的定义与前面不同 )坡角越大，Ns越小，临界高度越小；内摩擦角越 大，Ns越大，临界高度越大。此图也可解决两类问题： ( 1)已知 , ,c, ,求最大边坡高度H cN cr :

s 求出H 。 由 , ,查图得N ,由H s cr cr (2)已知 ,c, ,边高H,求稳定的土坡坡角 : H 由N 计算N ,再由N , 查得稳定坡角 。 s s s c

以简单明了的方式介绍了用泰勒图解法和洛巴索夫图解法求粘性土坡极限高度的方法。

洛巴索夫图解法如图7.4.4所示，横坐标为边坡坡角，纵坐标为

Ns

c H

坡角越大，稳定数越大，临界高度越小；内摩擦角越大，稳定数越小，临界高 度越大。

c H cr N s

线性规划的图解法与单纯形解法

线性规划的图解法与单纯形解法

线性规划单纯形求解的大M法 线性规划单纯形求解的两阶段法

线性规划求解的大M法 为了使加入人工变量后线性规划问题的最优目

标函数值不受影响，我们赋予人工变量一个很 大的负价值系数-M (M为任意大的正数)。 由于人工变量对目标函数有很大的负影响，单

纯形法的寻优机制会自动将人工变量赶到基外， 从而找到原问题的一个可行基。 这种方法我们通常称其为大M法。3

线性规划求解的大M法max z=c1 x1+ c2 x2+…+ cn xn - M (xn+1+…+ xn+m) a11 x1+ a12 x2+…+ a1nxn+ xn+1 = b1 a21 x1+ a22 x2+…+ a2nxn + xn+2= b2 … … am1 x1+ am2 x2+…+ amnxn+ xn+m = bm x1, x2,…, xn , xn+1…, xn+m≥0

线性规划求解的大M法举例【例2.12】用大M法解 下列线性规划

max Z 3 x1 2 x2 x3 4 x1 3 x2 x3 4 x x 2 x 10 1 2 3 2 x1 2 x2

数学建模——过河问题一（人狼羊草）

数 学 建 模

——题目：过河问题一（人狼羊草）

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数学建模——过河问题一（人狼羊草）

摘要 ........................................................................................... 3 一、问题的提出 ............................................................................... 3 二、问题分析及假设 ........................................................................ 4 三、模型的参数及符号 .................................................................... 5 四、模型及解 ................................................................................... 5 五、

数学建模——过河问题一（人狼羊草）

数 学 建 模

——题目：过河问题一（人狼羊草）

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数学建模——过河问题一（人狼羊草）

摘要 ........................................................................................... 3 一、问题的提出 ............................................................................... 3 二、问题分析及假设 ........................................................................ 4 三、模型的参数及符号 .................................................................... 5 四、模型及解 ................................................................................... 5 五、

4几何图解法

[例题1]如图所示，用一根长为L的细绳，一端固定在O点，另一端悬挂质量为m，的小球，为使细绳与竖直方向夹角为30度且绷紧，小球处于静止状态。求对小球施加最小力的为多少？方向如何？ 解析：小球在重力、拉力和外加力的作用下处于平衡状态，则此三力必构成一闭合的三角形。如图所示。重力大小方向都不变，绳子的拉力方向不变，由几何关系得第三个力F与绳垂直时最小，最小值

Fmin?mgsin300?1mg 2倾角为α的光的倾角β多大

[例题2]如图，质量为m的球放在滑斜面上，试分析挡板AO与斜面间时，AO所受压力最小？

解析：把球重力按效果分解为N1、N2，当板转动时，分解图如图虚线所示，当

??900,N2min?mgsin?

[例题3]有一小船位于60m宽游80m处河流变为瀑布，假设5m/s，为了使小船能安全渡河，的速度不能小于多少？ 解析：vmin?3m/s 图中C点是瀑布，当船恰好点，船相对静水速度中最小值的最小值。

沿AC方向到C是所有情况中的河边，在下何水流速为船相对于静水

sin??60602?802?3 5vmin?v水sin??3m/s

所以船相对静水速度是3m/s。

[例题4]已知一个力F=100N，把它分解为两个力，其中一个分力

运筹学是管理类专业的一门重要专业基础课。它是本世纪40年代初发展起来的一门新兴学科,其主要目的是在决策时为管理人员提供科学依据,是实现有效管理、正确决策和现代化管理的重要方法之一。

第二章

线性规划的图解法

1

管

理

运

筹

学

运筹学是管理类专业的一门重要专业基础课。它是本世纪40年代初发展起来的一门新兴学科,其主要目的是在决策时为管理人员提供科学依据,是实现有效管理、正确决策和现代化管理的重要方法之一。

§1

问题的提出

例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已 知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、 资源的限制，如下表：

Ⅰ设备 原料 A 原料 B 单位产品获利 1 2 0 50 元

Ⅱ1 1 1 100 元

资源限制 300 台时 400 千克 250 千克

问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利 最多？

2

管

理

运

筹

学

运筹学是管理类专业的一门重要专业基础课。它是本世纪40年代初发展起来的一门新兴学科,其主要目的是在决策时为管理人员提供科学依据,是实现有效管理、正确决策和现代化管理的重要方法之一。

线性规划模型： 目标函数：Max 约束条件：s.t. z = 50 x1 + 100 x2 x1 + 2 x1 + x2

14对商仆过河问题

题目

有14名商人各带一名仆人要过河，但船最多能载4人。商人已获得仆人的阴谋：在河的任意一岸，只要仆人数超过商人数，仆人会将商人杀死并窃取货物。安排如何乘船的权利权利在商人手上，试为商人制定一个安全的过河方案。

一．摘要

n对商仆过河，一只船最多载m人，船上和岸上的仆人数都不能多于商人数，否则商人有危险。安排合理的渡河方案，保证商人能安全渡河。（可利用向量，矩阵，图解等方法）。

二．问题提出：

有14对商仆乘船过河，一只船最多载4人，由商人和仆人自己划船渡河，在河的任意一岸，一旦仆人数多于商人数，仆人就可将商人杀死，谋取利益，但是乘船渡河的主动权掌握在商人们手中，商人们如何安排渡河方案，才能安全渡河？

三．问题分析

商仆安全渡河问题可以视为一个多步决策过程，多步决策是指决策过程难以一次完成，而是多步优化，最后获取一个全局最优方案的决策方法。对于每一步，即船由此岸驶向彼岸，或者船由彼岸驶向此岸的决策，不仅会影响到该过程的效果，而且还会影响到下一步的初始状态，从而对整个过程都会有影响。所以，在每一次过河时，就不能只从这一次过河本身考虑，还要把它看成是整个过河过程中的一个部分。在对船上的人员做决策时，要保证两岸的商人数不能少于仆