枚举法与加乘原理

1

计数——枚举筛选、加乘原理

枚举与筛选

知识探究 例1．

1. 小王准备游览A、B、C、D这四个地方的中的两个，小王有多少种不同的选择方式？如果想游览其中的三个地方，小王有多少种不同的选择方式？

2. 小王准备游览A、B、C这三个地方，小王有多少种不同的游览顺序？

3. 小王准备在一周（7天）中选出3天去健身，要求不能连续两天都去，一共有多少种满足条件的时间安排？

4. 一条公路上，共有8个站点．如果每个起点到终点只用一种车票（中间至少相隔3个车站），那么共有多少种不同的车票？

5. 1997各数位上的数字之和是1+9+9+7=26，那么在比2000小的四位数中，一共有多少个数字和为26的四位数？

计数——枚举筛选、加乘原理

2

练习：一个三位数，每一位上的数字都是1、2、3中的一个，并且相邻的两个数字不相同，满足条件的三位数一共有多少个？ 例2．

6. 有4个分别是1克、2克、4克、8克的砝码和一架天平，如果要求砝码只能放在天平的同一侧，可以称出多少种不同的质量？

7. 小明要把1元钱换成零钱，现在只有足够的2分和5分的硬币，有多少种不同的换法？ 例3．

加乘原理综合运用

知识框架图 7-3-1简单加乘原理综合运用 7 计数综合 7-3 加乘原理综合7-3-2加乘原理与数字问题 运用 7-3-3加乘原理与图论

教学目标

1.复习乘法原理和加法原理；

2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力．

3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题． 在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分步．并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合．

知识要点

一、加乘原理概念

生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决．

还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决．

二、加乘原理应用

应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：

7-3.加乘原理综合应用.题库 学生版

第六讲 计数（二）

例题一

甲、乙、丙三个工厂共订300份报纸，每个工厂至少订了99份，至多101份，问：一共有多少种不同的订法？

练习

大林和小林共有小人书不超过9本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？

四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做的一张．问：一共有多少种不同的方法？

例题二

把一元钱换成角币，有多少种换法？人民币角币的面值有五角、二角、一角三种．

练习

一把硬币全是2分和5分的，这把硬币一共有1元，问这里可能有多少种不同的情况？

用100元钱购买2元、4元或8元饭票若干张，没有剩钱，共有多少不同的买法?

例题三

在右图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同走法？（4级）

ABCD

练习

在右图中，一只蚂蚁要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过．问：这只蚂

蚁最多有几种不同走法？（4级）

ACDB

在右图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同走法？（4级）

ACDB

例题四

题库中有三种类型的题目，数量分别为30道、40道和45道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张

加乘原理综合运用

知识框架图 7-3-1简单加乘原理综合运用 7 计数综合 7-3 加乘原理综合7-3-2加乘原理与数字问题 运用 7-3-3加乘原理与图论

教学目标

1.复习乘法原理和加法原理；

2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力．

3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题． 在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分步．并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合．

知识要点

一、加乘原理概念

生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决．

还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决．

二、加乘原理应用

7-3.加乘原理综合应用.题库 教师版 page 1 of

加乘原理综合运用

知识框架图 7-3-1简单加乘原理综合运用 7 计数综合 7-3 加乘原理综合7-3-2加乘原理与数字问题 运用 7-3-3加乘原理与图论

教学目标

1.复习乘法原理和加法原理；

2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力．

3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题． 在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分步．并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合．

知识要点

一、加乘原理概念

生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决．

还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决．

二、加乘原理应用

应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：

⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法

第7讲 枚举法

1、今年是2002年，把2002年这样的年份称为“对称年”（年份的个位数字和千位数字相同，百位数字和十位数字相同），从2002年到2999年之间共有个“对称年”。

2、在所有的三位数中，满足其数字和等于12的共有个。

3、下边的加法运算，答案824正好和上面的加数428数字顺序相反，如果选出另外一个三位数加上396后，答案也正好和所选的三位数的数字顺序相反的话，可以选出若干个这样的三位数，这样的三位数还有（除去428外）个。

4、从1、2、3、4、5、6、7、8、9中选出7个数，使得它们的和是3的倍数，共有种选法。

5、一次，齐王与大将田忌赛马。每人有四匹马，分为四等。田忌知道齐王这次比赛马的出

场顺序依次为一等、二等、三等、四等，而且还知道这八匹马跑得最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等。田忌有种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛？

6、小珊到邮局购买5张邮票，并要求这些邮票的式样都要相同且全部都要互相连接在一起（两张邮票之间只有顶点与顶点相连不算相连在一起）。现在邮局只尚存最后的九张邮票。如下图所示，为满足小珊的要求，请

第7讲 枚举法

1、今年是2002年，把2002年这样的年份称为“对称年”（年份的个位数字和千位数字相同，百位数字和十位数字相同），从2002年到2999年之间共有个“对称年”。

2、在所有的三位数中，满足其数字和等于12的共有个。

3、下边的加法运算，答案824正好和上面的加数428数字顺序相反，如果选出另外一个三位数加上396后，答案也正好和所选的三位数的数字顺序相反的话，可以选出若干个这样的三位数，这样的三位数还有（除去428外）个。

4、从1、2、3、4、5、6、7、8、9中选出7个数，使得它们的和是3的倍数，共有种选法。

5、一次，齐王与大将田忌赛马。每人有四匹马，分为四等。田忌知道齐王这次比赛马的出

场顺序依次为一等、二等、三等、四等，而且还知道这八匹马跑得最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等。田忌有种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛？

6、小珊到邮局购买5张邮票，并要求这些邮票的式样都要相同且全部都要互相连接在一起（两张邮票之间只有顶点与顶点相连不算相连在一起）。现在邮局只尚存最后的九张邮票。如下图所示，为满足小珊的要求，请

2013思维训练（一）

——枚举法

班级： 姓名：

我们在课堂上遇到的数学问题，一般都可以列出算式，然后求出结果。但在数学竞赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目，由于找不到计算它们的算式，似乎无从下手。但是，如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来，或能被分类列举出来，那么问题就可以通过枚举法获得解决。所谓枚举法，就是根据题目要求，将符合要求的结果不重复、不遗漏地一一列举出来，从而解决问题的方法。

例1：小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。试判断他们两人谁获胜的可能性大。

例2：数一数，右图中有多少个三角形。

例3：小明的暑假作业有语文、算术、外语三门，他准备每天做一门，且相邻两天不做同一门。如果小明第一天做语文，第五天也做语文，那么，这五天作业他共有多少种不同的安排？

例4：从1～50这50个自然数中选取两个数字，使它们的和大于50，共有多少种不同的取法？

巩固练习：

1、将6拆成两个或两个以上的自然数之和，共有多少种不同拆法？

2、小明有1

乘加和乘减的教学设计

同心县实验小学 刘秉莲

教学目标

1、使学生学会用含有乘加或乘减的算式解决一些简单实际问题。 2、了解含有乘加或乘减的算式的运算顺序。

3、能够正确地进行乘加或乘减的运算，并通过计算帮助自己记忆乘法口诀。 4、进一步学会合作、交流，在合作中建立对数学学习的兴趣。 教学重点

1、学会用含有乘加或乘减的算式解决一些简单实际问题。 2、了解含有乘加或乘减的算式的运算顺序。 3、能够正确地进行乘加或乘减的运算。

教学难点 学会用含有乘加或乘减的算式解决一些简单实际问题。 教具学具 小黑板

教学方法 讲授 演示 小组讨论 课 时 一课时 预 习

1、我知道1棵秆上结了3个玉米,

2、棵秆上结了( )个玉米,列加法算式 ,改写成乘法算式是 3、棵秆上结了( )个玉米,列加法算式 改写成乘法算式是 4、棵秆上结了( )个玉米,列加法算式 ,改写成乘法算是 。 理解乘加与乘减：

1、阅读教材第56页例5。理解：小熊来掰走了1个玉米,还剩( ),

乘加和乘减的教学设计

同心县实验小学 刘秉莲

教学目标

1、使学生学会用含有乘加或乘减的算式解决一些简单实际问题。 2、了解含有乘加或乘减的算式的运算顺序。

3、能够正确地进行乘加或乘减的运算，并通过计算帮助自己记忆乘法口诀。 4、进一步学会合作、交流，在合作中建立对数学学习的兴趣。 教学重点

1、学会用含有乘加或乘减的算式解决一些简单实际问题。 2、了解含有乘加或乘减的算式的运算顺序。 3、能够正确地进行乘加或乘减的运算。

教学难点 学会用含有乘加或乘减的算式解决一些简单实际问题。 教具学具 小黑板

教学方法 讲授 演示 小组讨论 课 时 一课时 预 习

1、我知道1棵秆上结了3个玉米,

2、棵秆上结了( )个玉米,列加法算式 ,改写成乘法算式是 3、棵秆上结了( )个玉米,列加法算式 改写成乘法算式是 4、棵秆上结了( )个玉米,列加法算式 ,改写成乘法算是 。 理解乘加与乘减：

1、阅读教材第56页例5。理解：小熊来掰走了1个玉米,还剩( ),