复变函数中复数幂函数计算

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复数与复变函数

标签:文库时间:2024-12-15
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第一章、复数与复变函数

1.1知识提要

1.复数的概念

形如z?x?iy的数称为复数,其中x,y为任意实数,i(i2??1)称为虚单位,x,y又称为

z的实部与虚部,记为x?Re(z),y?Im(z).

z?x?iy与直角坐标系平面上的点(x,y)成一一对应,平面称复平面.z?x2?y2表示

复数z的向量的长度,称复数的模.Argz???Arctan(y/x)称为z的辐角,表示z的向量与x轴正向间的交角的弧度数.其中满足??????的?0称为辐角z的主值,记作

?0?arcz.

2.复数的各种表示法

(1)复数z?x?iy可用复平面上点(x,y)表示。

(2)复数z?x?iy可用从原点指向点(x,y)的平面向量表示.

(3)复数的三角表达式为z?r(cos??isin?),其中r?z,?为z?0时任一辐角值. (4)复数的指数表达式为z?re。

(5)复数的复球面表示.任取一与复平面切于原点的球面,原点称球面的南极,过原点且垂直平面的直线与球面的交点称为球面的北极,连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点,又在平面上引入一个假想点?与球面北极对应,构成扩充复平面与球面点的一一对应,即复数与球面上点的一一对应.球面称为复球面. 3.复数的代

复数与复变函数题库

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一.复数与复变函数 ㈠选择

1.包含了单位圆盘|z|<1的区域是( ) A.Re z<-1 B.Re z<0 C.Re z<1 D.Im z<0 2.arg(2-2i)=( ) A.?3?4 B.??4 C.

?4 D.3?4 3.复数方程z=3t+it表示的曲线是( ) A.直线 B.圆周 C.椭圆 D.双曲线 4.设z=x+iy,则|e2i+2z|=( ) A.e2+2x B.e|2i+2z| C.e2+2z D.e2x 5.下列集合为无界多连通区域的是( ) A.0<|z-3i|<1 B.Imz>π C.|z+ie|>4

D.

32??argz?2? 6.复数z?1625-825i的辐角为( )

A. arctan1 B.-arctan12 C.π-arctan12 D.π+arctan1227.方程Rez2?1所表示的平面曲线为( )

A. 圆 B.直线 C.椭圆 D.双曲线 8.复数z?-3(cos?5-isin?5)的三角表示式为( )

A.-3(cos45?+isin45?) B.3(cos445?,-isin5?)

C.3(cos45?,+isin45?) D.-3(cos45?,-isin45?)

9.下列复数中,位于第Ⅱ象限的复数

复变函数总结

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第一章 复数与复变函数

一、复数几种表示 (1)代数表示 z?x?yi

(2)几何表示:用复平面上点表示

(复数z、点z、向量z视为同一概念) (3)三角式:z?r(cos??isin?) (4)指数式 : z?rei? 辐角Argz?argz?2k? |z|?x2?y2

y?arctan,x?0,?x?y?arctan??,x?0,y?0x argz?? ?y?arctan??,x?0,y?0x???/2,x?0,y?0???/2,x?0,y?0?z?zz?z,y? x? 22i二、乘幂与方根

(1)乘幂: z?rei?,zn?rnein? (2)方根: nz?n|z|e

第二章 解析函数

一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数 求导法则与一元实变函数类似

函数点解析的定义:函数在一点及其点的邻域内处处可导

2k??argzin,k?0,1,2,?n?1

注:(1)点解析?点可导, 点可导推不出点解析 (2)区域内解析与可导等价

二、定理1 w?f(z)?u?iv在z0可导?u,v在z0可微,满足C-R方程

定理2 w?f(z)?u

复变函数作业

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复变函数作业 班级 姓名 学号

第一次作业(第一章习题) 1.设z?1?3i2,求|z|及Arg z. 2.设z1?i1?,z?i,试用指数形式表 z1 z2及z122?3z.

2

3.解二项方程 z4?a4?0(a?0).

4.证明|z21?z2|?|z21?z2|?2(|z21|?|z2|2),并说明其几何意义。

1

复变函数作业 班级 姓名 学号

9.试证:复平面上的三点a?bi,0,1共直线。

?a?bi

?xy14.命函数f(z)???x2?y2,若 z?0,试证:??0,若 z=0.

15.试证:函数f(z)?z在z平面上处处连续。

f(z)在原点不连续。2

复变函数作业 班级 姓名 学号

第二次作业(第二章习题)

2.洛必达(L’Hospital)法则 若f(z)及g(z)在点z0解析,且

f(z0)?g(z0)?0,g'(z0)?0.

则(试证) limf(z)f'(z0)z?zg(z)?g

复变函数作业

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复变函数作业 班级 姓名 学号

第一次作业(第一章习题) 1.设z?1?3i2,求|z|及Arg z. 2.设z1?i1?,z?i,试用指数形式表 z1 z2及z122?3z.

2

3.解二项方程 z4?a4?0(a?0).

4.证明|z21?z2|?|z21?z2|?2(|z21|?|z2|2),并说明其几何意义。

1

复变函数作业 班级 姓名 学号

9.试证:复平面上的三点a?bi,0,1共直线。

?a?bi

?xy14.命函数f(z)???x2?y2,若 z?0,试证:??0,若 z=0.

15.试证:函数f(z)?z在z平面上处处连续。

f(z)在原点不连续。2

复变函数作业 班级 姓名 学号

第二次作业(第二章习题)

2.洛必达(L’Hospital)法则 若f(z)及g(z)在点z0解析,且

f(z0)?g(z0)?0,g'(z0)?0.

则(试证) limf(z)f'(z0)z?zg(z)?g

复变函数总结

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第一章 复数与复变函数

一、复数几种表示 (1)代数表示 z?x?yi

(2)几何表示:用复平面上点表示

(复数z、点z、向量z视为同一概念) (3)三角式:z?r(cos??isin?) (4)指数式 : z?rei? 辐角Argz?argz?2k? |z|?x2?y2

y?arctan,x?0,?x?y?arctan??,x?0,y?0x argz?? ?y?arctan??,x?0,y?0x???/2,x?0,y?0???/2,x?0,y?0?z?zz?z,y? x? 22i二、乘幂与方根

(1)乘幂: z?rei?,zn?rnein? (2)方根: nz?n|z|e

第二章 解析函数

一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数 求导法则与一元实变函数类似

函数点解析的定义:函数在一点及其点的邻域内处处可导

2k??argzin,k?0,1,2,?n?1

注:(1)点解析?点可导, 点可导推不出点解析 (2)区域内解析与可导等价

二、定理1 w?f(z)?u?iv在z0可导?u,v在z0可微,满足C-R方程

定理2 w?f(z)?u

复变函数期末试题

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《复变函数论》试题库

《复变函数》考试试题(一) 判断题(20分)

1.若f(z)在z0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z0解析. ( ) 22sinz?cosz? _________. 2.

3.函数sinz的周期为___________.

2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若

{zn}收敛,则{Re zn}与{Im zn}都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D内解析,且

f'(z)?0,则f(z)?C(常数).( ) 5.若函数f(z)在z0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z0是f(z)的m阶零点,则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 7.若zlim?zf(z)0存在且有限,则z0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数,则f'(z)?0(?z?D). ( ) 9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C

?Cf(z)dz?0.(

2013《复变函数》A答案

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华南理工大学期末考试

2013《复变函数-A》试卷

注意事项:1. 考前请将密封线内填写清楚;

2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上); 3.考试形式:闭卷;

4. 本试卷共 6大题,满分100分, 考试时间120分钟。 题 号 1 得 分 评卷人 2 3 4 5 6 总分 1.填空题。(每题5分,合计30分)

(1)求 (1?i)的所有的值:

?2k??2k???62?cos(?)?isin(?)?,k?0,1,2

123123?? (2)函数w?(x2?5)?ixy 在如下范围内可导:

(0,0)

(3)在映射w?z3下,区域|w|?3, 0?argw? 21125z?33,argz?(??,??

复变函数习题二

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复变函数习题集

第二章 解析函数

一、 判断题

(1)设f(z)为解析函数,则f(1/z)也是解析函数。

(2)设f(z)和g(z)均为解析函数,则f(g(z))也是解析函数。 (3)设f(z)和g(z)均为解析函数,则5f(z)?ig(z)也是解析函数。 (4)若u,v在区域D内满足柯西-黎曼方程,则f(z)?u?iv在D内解析 (5)若f(z),f(z)均在区域D内解析,则f(z)在区域D内为常数. (6 ) 指数函数ez是以2?i为周期的函数。 (7)sinz在整个复平面上有界.

( 8 ) 对任意复数z?0,?, Ln(?z)?Lnz。 二、 选择题

1.设f(z)和g(z)均为解析函数,下列命题错误的是( ) (A)f3(z)是解析函数 (B)f(z)g(z)是解析函数 (C)

f(z)是解析函数 (D)g(z2?2)是解析函数 g(z)

2.函数f(z)?x2?iy2在点z?0处是( )

(A)解析的 (B)可导的

(C)不可导的 (D)既不解析也不可导 3.假设点z0是函数f(z)的奇点,则函数f(z)在点z0处(

复变函数复习重点

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复变函数复习重点

(一)复数的概念

1.复数的概念:z?x?iy,x,y是实数, x?Re?z?,y?Im?z?.i??1.

2 注:一般两个复数不比较大小,但其模(为实数)有大小. 2.复数的表示 1)模:z?x2?y2;

2)幅角:在z?0时,矢量与x轴正向的夹角,记为Arg?z?(多值函数);主值arg?z?是

位于(??,?]中的幅角。

3)arg?z?与arctanyx之间的关系如下: 当x?0, argz?arctanyx;

?y?0,argz?y 当x?0,??arctan?x???y; ??y?0,argz?arctanx??4)三角表示:z?z?cos??isin??,其中??argz;注:中间一定是“+” 5)指数表示:z?zei?,其中??argz。 (二) 复数的运算

1.加减法:若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2,则z1?z2??x1?x2??i?y1?y2? 2.乘除法:

1)若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2,则

z1z2??x1x2?y1y2??i?x2y1?x1y2?;

z1x?iy?x?iy1??x?i?yx?xyy?y1x2yz?11?iy?1222?x?2i??y?1212