初等数学建模黄忠裕电子版

初等数学方法建模

第二章 初等数学方法建模

现实世界中有很多问题，它的机理较简单，用静态,线性或逻辑的方法即可建立模型，使用初等的数学方法，即可求解，我们称之为初等数学模型。本章主要介绍有关自然数，比例关系，状态转移，及量刚分析等建模例子，这些问题的巧妙的分析处理方法，可使读者达到举一反三，开拓思路，提高分析, 解决实际问题的能力。

第一节 有关自然数的几个模型

1.1鸽笼原理

鸽笼原理又称为抽屉原理，把N个苹果放入n(n?N) 个抽屉里，则必有一个抽屉中至少有2个苹果。 问题1：如果有N个人，其中每个人至多认识这群人中的n(n?N)个人（不包括自己），则至少有两个人所认识的人数相等。

分析：我们按认识人的个数，将N个人分为0,1,2?,n类，其中k(0?k?n)类，表示认识k个人，这样形成 n?1 个“鸽笼”。若 n?N?1 ，则N个人分成不超过N?1 类，必有两人属于一类，也即有两个人所认识的人数相等；若n?N?1 ，此时注意到0类和N类必有一个为空集，所以不空的“鸽笼”至多为N?1个，也有结论成立

问题2：在一个边长为1的正三角形内最多能找到几个点，而使这些点彼此间的距离大于0.5.

分析：边长为1的正三角形 ?ABC，分别以

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一 雨中行走问题一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花 时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。 假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一 路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是 你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。 但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力

地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。

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1 建模准备 建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略， 使得你被雨水淋湿的程度最小。 主要因素： 淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向(风),路程的远近，行 走的速度

2 模型假设及符号说明1)把人体视为长方体，身高 h 米，宽度 w 米，厚度 淋雨总量用C 升来记。 d米。

2)降雨大小用降雨强度

I

厘米/时来描述，降雨强度指单位

时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。

3)风速保持不变。4)你一定常的速度 v 米/秒跑完全程 D米。

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3 模型建立与计算1)不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。 淋雨的面积 S 2 wh 2 dh wd 雨中行走的时间 t D v (秒 )(米 )2

浅谈因式分解的解题方法和技巧

摘 要 因式分解在初中数学中占据着重要的地位，它是我们解决一元二次方程和高次方程必不可少的方法，对于分式的运算也影响甚大。本文主要是讲述因式分解的解题方法和技巧。通过由浅入深，循循渐进地介绍提公因式法、分组分解法、十字相乘法等解题方法。理论结合例题，使这些方法更加易于理解。 关键词 多项式；因式分解；例题；方法

1 引言

众所周知，因式分解是中学数学里最重要的恒等变形之一。在初等数学中，因式分解被广泛应用。它是我们在解题中不可缺少的有力工具。然而，在因式分解的学习过程中有太多的坎坷。这是由因式分解方法灵活、技巧性强的特点所决定的。这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，对于以后学习的其他代数内容（如：分式）也是不可缺少的前提条件。这些方法和技巧对提高解题技能和思维能力，都有着十分独特的作用。那么在因式分解的常规解题中有哪些方法和技巧呢？我们又该侧重于哪些解题方法？在什么情况下应该用什么方法？现在，就请和我一起在本文中寻找这些问题的答案吧。

2 因式分解的概念、解题方法和技巧

首先我们要了解什么叫因式分解。教材中是这样定义的：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式

习题解答

第一讲 自然数的基数理论与序数理论

1、在自然数的基数理论中，证明自然数的乘法满足交换律

证明：对于A?B?{(a,b)|a?A,b?B}与B?B?{(b,a)|b?B,a?A}，

f定义A?B到B?A的映射为：(a,b)???(b,a),(a,b)?A?B,(b,a)?B?A

显然这个映射是A?B到B?A的一一映射，所以A?B?B?A，于是按定义有：

A?B?B?A，即乘法满足交换律。 2、利用最小数原理证明定理14.

定理14的内容是：设p(n)是一个与自然数有关的命题，如果：（1）命题p(n)对无穷多个自然数成立；（2）假如命题对n?k(k?n0)成立时，能够推出命题对

n?k?1也成立，那么对一切自然数不小于n0的自然数n，命题p(n)必然成立。

证明：如果命题不真，设使命题不成立的自然数构成集合M，那么M非空，因此，M中必有一个最小数r0(r0?n0)。

此时，由于不大于r0的自然数只有有限个，按照条件（1），至少有一个自然数，命题对r?1也成立，连锁应用条r(r?r0)，命题在r处成立；于是由条件（2）

件（2），那么命题在r,r?1,r?2,?,r?k,?处都成立，而这个序列是递减的，因此r0必然出现在这个序列中，这与r

浅谈数学美在初等数学解题中的应用

摘要：本文介绍数学美中的和谐统一美、奇异美、对称美、创造美在初等数学解题中的具体应用。

关键词：和谐美 奇异美 对称美 创造美

数学研究的是现实生活中的数量关系和空间形式，因此客观现实世界为数学提供了极其丰富的内容，使它处处充满着美的情趣、美的感受、美的欣赏、美的创造。在数学解题过程中，一个复杂的问题的简单解法、一个对称的式子、一个优美的图形、一个奇异的念头、及其一些似动非动的感觉，都会使我们沉浸在数学美的海洋中，当你从多个角度、多层次、多方位来审视数学问题时，你会因数学世界的简洁、对称、和谐、奇异而赞叹不已；你会因数学的如此之美而如饮醇珍美酒；你会因此而陶醉在数学美之中，所以数学解题过程中应怎样去感知美、追求美、创造美，把数学的审美原则作为一项重要原则，一旦所解题目中提供的知识信息与审美情感相吻合时，就会激起审美直觉，使我们能迅速地找到解题思路或策略。

数学美常表现为符号、图形、式子的创造美，数式、结构的对称美，条件与结论、数、式、形的和谐统一美，形式、解法的奇异美等等。数学美在发现问题、提出猜想和欣赏解法中有着重要的作用。然而，数学美同样也起到蕴涵解题思路，启发解题灵感的作用。下面我从对称美、创造美

MBA联考综合能力考试数学讲义

大纲解读： 【考试性质】

综合能力考试的目的是测试考生运用数学基础知识分析与解决问题的能力、逻辑思维能力和汉语理解及书面表达能力。

注：2014年大纲要求为：综合能力考试的目的是测试考生的数学基础知识及运用能力、逻辑思维能力和汉语理解及书面表达能力。

【评价目标】

要求考生具有运用数学基础知识根系与解决问题的能力。 【考核内容】

综合能力考试由问题求解、条件充分性判断、逻辑推理和写作四部分组成。 (一) 问题求解题

问题求解题的测试形式为单项选择题，要求考生从给定的5个选择项中，选择1个作为答案。

(二) 条件充分性判断题

条件充分性判断题的测试形式为单项选择题，要求考生从给定的5个选项中，选择1个作为答案。

在问题求解和条件充分性判断这两部分试题中，可能涉及到的数学知识范围如下：实数的概念、性质、运算及应用；整式、分式及其运算；方程（一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组）的解法及应用；不等式（一元一次不等式、一元二次不等式）的解法及应用；等差数列、等比数列；排列组合；概率初步；常见平面图形（三角形、四边形、圆）；平面直角坐标及直线与圆的方程；常见立体图形（长方形、圆柱体、圆锥体、球）（09年大纲新增知

江苏城市职业学院

五年制高职《初等数学（3）》复习提纲

一、考核目的

本课程是江苏城市职业学院五年制高职2012级各专业（除商务英语）学生必修的公共基础课．本学期期末考核目的是检查本学期教学要求中规定的解析几何、排列与组合、概率、数列及其极限等基础知识和基本技能的教与学情况，考查学生运用所学知识分析、解决实际问题的能力，为后续数学课程及专业课程的学习打好扎实的数学基础．

二、复习依据

1、主教材：五年制高等职业教育教材《数学》第三册，江苏教育出版社出版，书号ISBN 978-7-5499-0439-6．

2、辅导教材：《数学教学指导与训练》第三册，江苏教育出版社出版，书号ISBN 978-7-5499-0438-9． 3、本复习提纲．

三、考试形式、试题类型及成绩评定

考核形式：本课程期末考试形式为闭卷统考，考试时间120分钟． 试题类型及分值： 填空题（16%）、选择题（15%）、解答题（69%）． 各章考核比例：第10章30%，第11章17%，第12章26%，第13章27%． 成绩评定：总评成绩=形成性成绩*40%+期末统考成绩*60%． 四、各章复习要求

第10章 平面解析几何

1、了解直线方程的概念，能熟练地根据直

第一章极限与连续

第一节 数列的极限 一、数列极限的概念

按照某一法则，对于每一个n?N?，对应一个确定的实数xn，将这些实数按下标n从小到大排列，得到一个序列

x1,x2,?,xn,?

称为数列，简记为数列{xn}，xn称为数列的一般项。例如：

1212,231412,341843,?,nn?11265n,?

2,4,8,?,2n,?

,,,?,,?

n?1 1,?1,1,?,(?1) 2,一般项分别为

,,34,n,? n?(?1)nn?1n?1,?,,?

nn?1，2，

12n，(?1)，

n?(?1)nn?1

数列{xn}可看成自变量取正整数n的函数，即xn?f(n)，n?N? 设数列xn?n?(?1)n?111为使|xn?1|?，只需要n?100，即从101项以后各项都满足?1??nn1001， |xn?1|?100n?1n?(?1)11为使|xn?1|?，只需要n?100000，即从100001项以后各项都满足?1??nn1000001， |xn?1|?100000n?1n?(?1)111为使|xn?1|?，只需要n?，即当n?以后，?1??

课 时 计 划 付 页 时间 内 容 组织教学、点名、导入新课 新课内容 第一章 室内装饰工程制图 一、室内装饰工程制图 是用于指导室内装饰施工的图纸，也叫室内装饰施工图 二、施工图的产生 1.现场测量 2.草图绘制 3.CAD制图 三、现场测量 工具：卷尺（5m）笔，纸 （草图绘制） 内容：墙体（是否承重墙） 梁 门窗 给水排水 插座 开关 烟道 测量顺序：入户门顺时针/逆时针排尺 记录：方式 单线记录 单位 毫米 （高单位为米） 图例：门 梁 窗 地漏 烟道 标高 指北针 方 法 直通顶的家具 索引符号 管灯 楼梯 灯 绘制步骤： 1

课 时 计 划 付 页 时间 内 容 方 法

2

课 时 计

编号：

X X 市 建 设 工 程 施 工 合 同

（小型工程本）

发 包 方： 承 包 方： 工程名称：

工程地点：

建筑面积： 平方米；层数： 结构类型： ；檐高/跨度： 米 批准文号（有权机关批准工程立项的文号）： 工程性质（指基建、技改、合资等）： 承包方式： 质量等级（优良或合格）： 工程承包造价（金额大写）：

￥： 元

XX市建设工程施工合同（小型工程本）是依据《建设工程施工合同示范文本》（GF－99－0201）拟定的，适用于建筑面积在2000平方米以内或承包造价在50万元以内的建筑工程。

（贴印花税票处）

XX市建设工程施工合同协议条款

依照《中华人民共和国合同法》、《中华人民共和国建筑法》及其它有关法律、行政法规，就本项