三角函数图像与性质知识点有界性

三角函数的图象与性质

基础梳理 1．“五点法”描图

(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为

π?3

，1 (π，0) ?π，－1? (2π，0) (0,0) ??2??2? (2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为

π?3π

，0，(π，－1)，?，0?，(2π，1) (0,1)，??2??2?2.三角函数的图象和性质

函数 性质 定义域 y＝sin x R y＝cos x R y＝tan x π{x|x≠kπ＋，k∈Z} 2图象 值域 [－1,1] [－1,1] 对称轴： x＝kπ(k∈Z)___； 对称中心： π_(kπ＋，0) (k∈Z)__ 2 2π 单调增区间[2kπ－π，π单调增区间_(kπ－，2πkπ＋)(k∈Z)___ 2kπ?对称中心：_??2，0? (k∈Z) __ R π对称轴：__ x＝kπ＋2对称性 (k∈Z)__ _； 对称中心： _ (kπ，0)(k∈Z)__ _ 周期 2π_ 单调增区间_[2kπ－π ππ，2kπ＋](k∈Z)___； 2kπ] (

走进高考·数学（第1轮） 知识梳理 2013年7月

第8章 三角函数

08—01 三角函数的图像与性质

一、点一点——高考目标明示

1.通过实例和利用函数定义，形成正弦函数和余弦函数的概念并理解其意义

2.知道一般周期函数的解析描述和图像特征，掌握正弦函数和余弦函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、最大值和最小值等性质.

3.掌握正弦函数和余弦函数的图像，会用“五点法”画正弦函数和余弦函数的图像. 4.类比正弦函数的研究方法，掌握正切函数的性质和图像.

二、试一试——高考真题点击

1．（2012杨浦模拟）“tanx??5π3”是“x?”的 ( )

63 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

2.（2013崇明模拟）设函数f(x)?sinx,x?R，则下列结论错误的是 （ ）

A.f(x)的值域为[0,1] C

高一必修四：三角函数

一 任意角的概念与弧度制

（一）角的概念的推广

1、角概念的推广：

在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角。按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。习惯上将平面直角坐标系x 轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边。射线旋转停止时对应的边叫角的终边。

2、特殊命名的角的定义：

(1)正角，负角，零角 ：见上文。

(2)象限角：角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角等

(3)轴线角：角的终边落在坐标轴上的角

终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180|οββ

终边在y 轴上的角的集合： {}Z k k ∈+?=,90180|οοββ

终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90|οββ

(4)终边相同的角：与α终边相同的角2x k απ=+

(5)与α终边反向的角： (21)x k απ=++

终边在直线y =x 上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180|οοββ

终边在直线x y -=上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180|οοββ

(6)若

三角函数的图像与性质

考点1 函数的周期性 1. 求下列函数的周期

(1)y?cos2x; (2)y?2sin(x??1?); (3)y?5tan(?x). 36622. (1) 已知定义在R上的函数y?f(x)满足f(x?a)?f(x?b)，求证:函数y?f(x)是周期函数. (周期T?a?b)

(2) 已知定义在R上的函数y?f(x)满足f(x?c)??f(x);(c?0)，求证:函数y?f(x)是周期函数. (周期T?2c) (3) 已知定义在R上的函数y?f(x)满足f(x?c)??1;(c?0)，求证:函数f(x)y?f(x)是周期函数. (周期T?2c)

以上是函数周期性描述的若干变式，请同学们认真记忆！

3.(1) 定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为?，当

5?3??? . x??0,?时，f(x)?sinx，则f()的值是 322??(2)设函数f(x)?2cos(wx??)对任意的x?R，都有f(

i. 三角函数

1. 角?的终边与角??2k?,k?Z的终边相同.

例题：．与?2002终边相同的最小正角是_______________。 2．弧度制与角度制的互化：1rad（弧度）?3. 弧长公式：半径为R的圆的圆心角

0180?度?57.3?.

??0???2??所对弧的长l???R.

4. 扇形面积公式：设R是圆的半径，l是弧长，??0???2??为圆心角，S是扇形的面积；则S?11l?R???R2. 222例题：．设扇形的周长为8cm，面积为4cm，则扇形的圆心角的弧度数是 。

6. 常用三角不等式：

?（1）若x?(0,)，则sinx?2x?tanx；

?（2）若x?(0,)，则1?sinx?cosx?22；

7. 三角函数的定义：设?为任意角，?的终边上任取一点P(x,y)，则P点到

y 22r?x?y?0，则 原点的距离

?O? x

ysin??； cos??x； tan??y(x?0).

rrxcosx?sinx例题：．已知tanx?2，求的值。

cosx?sinx8. 三角函数在各个象限的符号判断：

例题：1．若cos???x=_____。

3，且?的终边过点P(x,2)，则?是第_____象限角，29.同角

三角函数的图象和性质（一）

教学目标：

1、 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和

函数y?Asin(?x??)的简图； 2、 理解A,?,?的物理意义，掌握由函数y?sinx的图象到函数y?Asin(?x??)的图象的变换原理;

3、 掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心.

教学重点：函数y?sinx的图象到函数y?Asin(?x??)的图象的变换方法．

一、知识点归纳：

1.“五点法”画正弦、余弦函数和函数y?Asin(?x??)的简图. 2.函数y?sinx的图象到函数y?Asin(?x??)的图象的两种主要途径． 3.掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心. 4.会由三角函数图象求出相应的解析式.

二、知识点解析：

1.“五点法”画正弦、余弦函数和函数y?Asin(?x??)的简图，五个特殊点通常都是取

三个平衡点，一个最高、一个最低点；

2.给出图象求y?Asin(?x??)?B的解析式的难点在于?,?的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期T，

三角函数的图象和性质（一）

教学目标：

1、 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和

函数y?Asin(?x??)的简图； 2、 理解A,?,?的物理意义，掌握由函数y?sinx的图象到函数y?Asin(?x??)的图象的变换原理;

3、 掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心.

教学重点：函数y?sinx的图象到函数y?Asin(?x??)的图象的变换方法．

一、知识点归纳：

1.“五点法”画正弦、余弦函数和函数y?Asin(?x??)的简图. 2.函数y?sinx的图象到函数y?Asin(?x??)的图象的两种主要途径． 3.掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心. 4.会由三角函数图象求出相应的解析式.

二、知识点解析：

1.“五点法”画正弦、余弦函数和函数y?Asin(?x??)的简图，五个特殊点通常都是取

三个平衡点，一个最高、一个最低点；

2.给出图象求y?Asin(?x??)?B的解析式的难点在于?,?的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期T，

三角函数的图像与性质

1、函数y?cosx?1的定义域为（ ） 2??????（A）[?,] （B）[k??,k??]，k∈Z （C）[2k??,2k??]，k∈Z （D）R

333333?2、下列函数中，以?为最小正周期的偶函数，且在(,?)上为减函数的是（ ）

2（A）y＝sin2x＋cos2x （B）y＝|sinx| （C）y＝cos2x （D）y＝tanx 3、函数y?sin2x?sinx?1的值域为（ ）

555（A）[?1,1] （B）[?,?1] （C）[?,1] （D）[?1,]

44414、函数y?sin2x的最小正周期T?

2??5、函数y?sin(x?)在区间[0,]上（ ）

42（A）单调递增且有最大值 （B）单调递增但无最大值 （C）单调递减且有最大值 （D）单调递减但无最大值

?6、已知函数f(x)?sin(2x?)，若存在??(0,?)，使得f(x??)?f(x??)恒成立，则?的值是（ ）

6ππππ（A） （B） （C） （D）

6342

7、若x为三角形

高中数学知识点津3抽象函数与三角函数的图像与性质

21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法）

如：（1）x?R，f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)，证明f(x)为奇函数。 （先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，??）

（2）x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。 （先令x?y??t?f?(?t)(?t)??f(t·t) ∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t) ∴f(?t)?f(t)??）

（3）证明单调性：f(x2)?f??x2?x1??x2???? 22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）

如求下列函数的最值： （1）y?2x?3?13?4x；（2）y?2x?4x?3

（3）x?3，y?9x2x2x?3； （4）y?x?4?9?x2?，???0，??? ?设x?3cos （5）y?4x?，x?(0，1]

23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式

《三角函数的图像与性质》集体备课资料

一、教材分析

《三角函数的图像与性质》是高中《数学》必修④（人民教育出版社）第一章第四节的内容，其主要内容是正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质。过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，此前还学过三角函数线，在此基础上来学习正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，为以后要学习的函数y?Asin(wx??)的图象的研究打好基础。因此，本节的学习有着极其重要的地位。

二、知识网络

三、教学目标

根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，制定本节课的教学目标如下：

1、知识与技能目标 （1）会用单位圆中的三角函数线画出三角函数图象； （2）掌握正弦函数、余弦函数图象的“五点作图法”；

（3）利用图像掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的性质 2、过程与方法

通过问题探究，经历知识产生发展的过程，体验数学发展和创造历程。培养学生观察、

分析、表达能力及数形结合思想，提高学生数