有关动点的数学压轴题和解析

中考压轴题（二）

一、三角形边上动点

1、（2009年齐齐哈尔市）直线y??34x?6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时

从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出A、B两点的坐标；

（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式； （3）当S?485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第

四个顶点M的坐标．

P O Q A x B y 提示：第（2）问按点P到拐点B所有时间分段分类；

第（3）问是分类讨论：已知三定点O、P、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP为边、OQ为边，②OP为边、OQ为对角线，③OP为对角线、OQ为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

2、（2009年衡阳市）

C C C

F F

E A B A A D O E B O B O

图（1） 图（2）

如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm， ∠ABC=60o．

（1）求⊙O的直径；

图（3）

（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD

中考数学中的动点问题

动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态

问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量

X、Y的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，

把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。

第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。

动点问题最突出的特点为条件中的主要元素--点是运动的.这类题目形式多样,要求学生运用数形

结合的思想,通过观察、猜想、推理、计算等一系列数学探索活动,用方程或函数的观点描述这些变化,

进而寻求解题思路.

这部分压轴题的主要特征是先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点。

简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式。

复杂一点的题目，先根据图形给定的数量关系，运用数型结合的思想，求得点的坐标，进而用待定系数法求函数的解析式。

还有一种常见题型，解析式中有待定字母，这个字母可以和根与系数的关系联系起来求解，或者根据题意列出方程组求解。

动点问题

1. （2012上海市14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC=1时，求线段OD的长；

（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；

（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．

【答案】解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=

11BC=。 222215?1? 又∵OB=2，∴OD=OB?BD?2????。

22??22（2）存在，DE是不变的。

如图，连接AB，则AB=OB2+OA2?22。 ∵D和E是中点，∴DE=AB=2。 （3）∵BD=x，∴OD?4?x2。

∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=90。 ∴∠2+∠3=45°。

过D作DF⊥OE，垂足为点F。∴DF=OF=0

124?x22。

由△BOD∽△EDF，得

BDOD=，即 EFDFx4?x21=，解得EF=x。

2EF24?x2第 1 页 共 44 页

∴OE=∴

x+4?x22。

114?x2x+4?x24?x2+x4?x

每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦将有感于斯文。

中考数学压轴题分类练习圆与动点专题无答案(2)

1.在平面直角坐标系中的点和图形，给出如下的定义：若在图形上存在一点，使得两点间的距离小于或等于1，则称为图形的关联点．xOyPMMQP、QPM （1）当的半径为2时，O

???①在点中，的关联点是_______________．P1?,,P,0?3?,0?,P2???O ???2??22??2?1?13?5②点在直线上，若为的关联点，求点的横坐标的取值范围．Py??xPOP

（2）的圆心在轴上，半径为2，直线与轴、轴交于点．若线段上的所有点都是的关联点，直接写出圆心的横坐标的取值范围．Cxy??x?1xyA、BABCC 2.如图，是的直径，，连接．ABOAC?BC,AB?2AC （1）求证：；?CAB?450

（2）若直线l为的切线，是切点，在直线l上取一点，使所在的直线与所在的直线相交于点，连接．OCDBD?AB,BDACEAD

①试探究与之间的数量关系，并证明你的结论；AEAD

②是否为定值

2014数学中考压轴题 因动点产生的线段和差问题

例1 在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE

＝∠OBA．

（1）如图1，求点E的坐标；

（2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．

①设AA′＝m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2

取得最小值时点E′的坐标；

②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．

图1 图2

思路点拨

1．图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，EE′＝AA′＝m． 2．求A′B2＋BE′2的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于m的式子．

3．求A′B＋BE′的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题——轴对称，两点之间线段最短．

满分解答

（1）由∠OAE＝∠OBA，∠AOE＝∠BOA，得△AOE∽△BOA． 所以

24AOBO

．因此 ．

OE2OEOA

解得OE＝1．所以E(0,1)．

（2）①如图3，在Rt△A′OB中，OB＝4，OA′＝2－m，所以A′B2＝16＋(2－m)2． 在Rt△BEE′中，BE＝3，EE′＝m，所以BE′2＝9

2019-2020年中考数学压轴题：因动点产生的相切问题

如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点． （1）当tanA?1时，求AP的长；

2（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于

x的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）在（2）的条件下，当tanA?4时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q3相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．

图1 图2 图3

动感体验

请打开几何画板文件名“13杨浦25”，拖动点P在⊙O上运动，可以体验到，等腰三角形QPO与等腰三角形OAP保持相似，y与x成反比例．⊙M、⊙O和⊙Q三个圆的圆心距围成一个直角三角形．

请打开超级画板文件名“13杨浦25”，拖动点P在⊙O上运动，可以体验到， y与x成反比例．拖动点P使得QP?5，拖动点M使得⊙M的半径约为0.82，⊙M与⊙O相内切，

2同时与⊙Q相外切．拖动点P使得QP?5，拖动点M使得⊙M的半径约为9，⊙M与⊙O、⊙

2Q都内切．

思路点拨

1．第（1）题的计算用到垂径定理和勾股定理．

2．

数学选择压轴题（解析与答案）

一．选择题（共30小题）

1．（2013?陕西一模）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=12，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是（ ） A．10个 B．15个 C．16个 D．18个

【考点】元素与集合关系的判断．菁优网版权所有 【专题】压轴题；新定义．

【分析】由※的定义，a※b=12分两类进行考虑：a和b一奇一偶，则ab=12；a和b同奇偶，则a+b=12．由a、b∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（a，b）的个数即可． 【解答】解：a※b=12，a、b∈N*，

若a和b一奇一偶，则ab=12，满足此条件的有1×12=3×4，故点（a，b）有4个；

若a和b同奇偶，则a+b=12，满足此条件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6组，故点（a，b）有2×6﹣1=11个，

所以满足条件的个数为4+11=15个． 故选B

【点评】本题为新定义问题，考查对新定义和集合的理解，正确理解新定义的含义是解决本题的关键．

2．（201

2013中考最后冲刺---选择填空压轴题 专题(五)：动点问题压轴题大检阅(附答案)

一、选择题

1. （2012北京市4分） 小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所

示方向经过点B

跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑

步的时间为t（单

位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，

则这个固定

位置可能是图1中的【 】

A．点M

B．点N

C．点P

D．点

Q

2. （2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C→A的路径运动，回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是【 】

A． B．

C． D．

3. （2012浙江温州4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B.已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点.连结MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是【 】

A.一直增大 B.一直减小 C.先减小后

深本数学,就是深入本质学数学,是一项全新优秀的教育科研成果,是一套一通百通的数学学习方法。该方法通过深入数学的本质,找到中小学数学所有章节的知识规律和解题规律,其中包括四个大规律,十五个中规律和三十五个小规律。掌握这些规律,学生可以举一反三、一通百通,从而提高学习兴趣,提升思维能力,轻松学好数学。

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.

数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想

注重对几何图形运动变化能力的考查。

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改

1.4 因动点产生的平行四边形问题

例1 2013年上海市松江区中考模拟第24题

如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点． （1）求抛物线的解析式； （2）求tan∠ABO的值；

（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“13松江24”，拖动点N在直线AB上运动，可以体验到，以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个，符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个．

请打开超级画板文件名“13松江24”，拖动点N在直线AB上运动，可以体验到，MN有4次机会等于3，这说明以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个，而符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个．

思路点拨

1．第（2）题求∠ABO的正切值，要构造包含锐角∠ABO的角直角三角形． 2．第（3）题解方程MN＝yM－yN＝BC，并且检验x的值是否在对称轴左侧．

满分解答

（1）将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得

c 1,9

解得，c＝1． b

16 4b c 3.2