高中立体几何初步教案

典型立体几何题

典型例题一

例1 设有四个命题：

①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体；

③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体． 其中真命题的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

分析：命题①是假命题．因为底面是矩形的直平行六面体才是长方体．底面是矩

形，侧棱不垂直于底面，这样的四棱柱仍是斜平行六面体；

命题②是假命题．底面是菱形，底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体； 命题③是假命题．因为有两条侧棱垂直于义面一边不能推出侧棱与底面垂直． 命题④是真命题，如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中所有对角线相等，对角面B1BDD1是平行四边形，对角线

BD1?B1D，所以四边形B1BDD1是矩形，即BB1?BD，同理四边形A1ACC1是矩形，所以AA1?AC，由AA1//BB1知BB1?底面ABCD，即该平行六面体是直平行六面体．

故选A．

说明：解这类选择题的关键在于理清各种棱柱之间的联系与区别，要紧扣底面形状及侧棱与底面的位置关系来解题．

下面我们列表来说明平行四边

立体几何(理科

1.（2009北京卷理）（本小题共14分）

如图，在三棱锥P ABC中，PA 底面ABC,PA AB, ABC 60, BCA 90， 点D，E分别在棱PB,PC上，且DE//BC

（Ⅰ）求证：BC 平面PAC；

（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大

小；

（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A DE P为直二面角？并说

明理由.

2.（2009四川卷文）如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点， ABC=90°，BA BC, 球心O到平面ABC的距离是

A.

C. 32，则B、C两点的球面距离是 2 B. 34 D.2 3

3.（2009江西卷理）正三棱柱ABC A1B1C1内接于半径为2的球，若A,B

两点的球面距离为 ，则正三棱柱的体积为 ．

4.（2009四川卷文）如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1的各条棱长都相

等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小

是 。

5.（2009全国卷Ⅰ文）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，

高中立体几何学习方法

根据我多年的高中数学教学经验，以及学生在学习过程中表现出的对立体几何的盲目性，我在以后的时间里会对立体几何的学习方法做一些总结。希望能给同学们带来帮助。

方法一：立体几何学习中的图形观

立体几何的学习离不开图形，图形是一种语言，图形能帮我们直观地感受空间线面的位置关系，培养空间想象能力。所以在立体几何的学习中，我们要树立图形观，通过作图、读图、用图、造图、拼图、变图培养我们的思维能力。

一、作图

作图是立体几何学习中的基本功，对培养空间概念也有积极的意义，而且在作图时还要用到许多空间线面的关系．所以作图是解决立体几何问题的第一步，作好图有利于问题的解决。

例1 已知正方体

中，点P、E、F分别是棱AB、BC、

的

中点（如图1)．作出过点P、E、F三点的正方体的截面。

分析：作图是学生学习中的一个弱点，作多面体的截面又是作图中的难点，学生看到这样的题目不知所云。有的学生连结P、E、F得三角形以为就是所求的截面．其实，作截面就是找两个平面的交线，找交线只要找到交线上的两点即可。观察所给的条件（如图2)，发现PE就是一条交线．又因为平面ABCD／／平面

，由面面平行的性质可得，截面和面

F是

的中点，故取

的交线一定和PE平行。而

的

的中点

立体几何(理科

1.（2009北京卷理）（本小题共14分）

如图，在三棱锥P ABC中，PA 底面ABC,PA AB, ABC 60, BCA 90， 点D，E分别在棱PB,PC上，且DE//BC

（Ⅰ）求证：BC 平面PAC；

（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大

小；

（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A DE P为直二面角？并说

明理由.

2.（2009四川卷文）如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点， ABC=90°，BA BC, 球心O到平面ABC的距离是

A.

C. 32，则B、C两点的球面距离是 2 B. 34 D.2 3

3.（2009江西卷理）正三棱柱ABC A1B1C1内接于半径为2的球，若A,B

两点的球面距离为 ，则正三棱柱的体积为 ．

4.（2009四川卷文）如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1的各条棱长都相

等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小

是 。

5.（2009全国卷Ⅰ文）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，

高中立体几何学习方法

根据我多年的高中数学教学经验，以及学生在学习过程中表现出的对立体几何的盲目性，我在以后的时间里会对立体几何的学习方法做一些总结。希望能给同学们带来帮助。

方法一：立体几何学习中的图形观

立体几何的学习离不开图形，图形是一种语言，图形能帮我们直观地感受空间线面的位置关系，培养空间想象能力。所以在立体几何的学习中，我们要树立图形观，通过作图、读图、用图、造图、拼图、变图培养我们的思维能力。

一、作图

作图是立体几何学习中的基本功，对培养空间概念也有积极的意义，而且在作图时还要用到许多空间线面的关系．所以作图是解决立体几何问题的第一步，作好图有利于问题的解决。

例1 已知正方体

中，点P、E、F分别是棱AB、BC、

的

中点（如图1)．作出过点P、E、F三点的正方体的截面。

分析：作图是学生学习中的一个弱点，作多面体的截面又是作图中的难点，学生看到这样的题目不知所云。有的学生连结P、E、F得三角形以为就是所求的截面．其实，作截面就是找两个平面的交线，找交线只要找到交线上的两点即可。观察所给的条件（如图2)，发现PE就是一条交线．又因为平面ABCD／／平面

，由面面平行的性质可得，截面和面

F是

的中点，故取

的交线一定和PE平行。而

的

的中点

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第三章 立体几何初步

考纲导读

1．理解平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图、能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能根据图形想象它们的位置关系． 2．了解空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系．

3．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握三垂线定理及其逆定理．

4．掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念；掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理．

5．了解多面体、凸多面体、正多面体的概念．

6．了解棱柱，棱锥的概念；了解棱柱，棱锥的性质；会画其直观图． 7．了解球的概念；掌握球的性质；掌握球的表面积、体积公式． 知识网络 平面

三个公理、三个推论 平行直公理4及等角定理 异面直相交直

异面直线所成的角 异面直线间的距离 概念、判定与性质 垂斜距离

两个平面平行的判定与性质

三垂线定理 直线与平面所成的角

空间两条直

直线、何平体面、简单

【中学数学教案】

立体几何

教案

一，空间直线与直线的关系 a ，相交 b ，平行 c ，异面 a ,

相交直线 空间中

平行于同一条直线的两条直线平行 b, 平行公理： c, 异面直线： 1，求异面直线所成角问题 注：利用平

行公理找角，利用余弦定理计算，结果要锐角或直角

??

0?090异面直线所成角的范围

, ㈠

平移法利用平行公理把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角 CCABDBABCD?B和C 例：正方体中，E，F分别是中点，则直线AE111111

和BF所成角的余弦值 ㈡ 补形法 补形：底面是直角三角形的直三棱柱可以补成一个长方体 ?CAB 例：在直三棱柱中，，点分别是

90DF?ABC,?BCA?11111CCABA

中点，

BC=CA=，则所成角的余弦值 CDF,B与A1111111 1303015A、

B、 C、 D、 2101510 2，求异面直线之间的距离问题 和两条异面直线垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线， 公垂线夹在两条异面直线之间的长度叫做

高一数学作业

第3章 立体几何初步 第37课 棱柱、棱锥和棱台

【基础平台】

1．观察图中各物体的形状，指出从它们抽象出几何体的类型.

2．正方体可以看作 平移，平移的距离 形成的几何体. 3．下列命题正确的是 （ ）

（A）棱柱的底面一定是平行四边形 （B）棱锥的底面一定是三角形

（C）棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 （D）棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱

4．如图，ABCD是一个正方形，E、F分别是AB和BC的中点，沿折痕DE、EF、FD折起得到一个空间几何体，问：这个空间几何体是什么几何体？

D C F E 第4题图

A B

【自主检测】

1． 棱柱的侧面是 形，棱锥的侧面是 形，棱台的侧面是 形. 2． 如图所示，四棱柱的底面是 ； 侧棱是 ；

侧面是

立体几何专题学科网 【例题解析】学科网 题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算学科网 例1 某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a?b的最大值为学科网 A． 22

B． 23

C． 4

D． 25学科网 解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别为m,n,k，由题意得

m2?n2?k2?7，

m2?k2?6?n?1，学1?k2?a，1?m2?b，所以(a2?1)?(b2?1)?6?a2?b2?8，

学科网 ∴(a?b)2?a2?2ab?b2?8?2ab?8?a2?b2?16?a?b?4当且仅当a?b?2时取等号．例2下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是学科网 A．9π

B．10π

C．11π

D．12π学科网 解析：这个空间几何体是由球和圆柱组成的，圆柱的底面半径是1，母线长是3，球的半径是1，故其表面积是2??1?3?2???1?4??1?12?，答案D．学科网 例3 已知一个正三棱锥P?ABC的主视图如图所示，若AC?BC?223， 学科网 2PC?6，则此正三

第十二章 立体几何

一、基础知识

公理1 一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内．则这条直线在这个平面内，记作：a a．

公理2 两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若P∈α∩β，则存在唯一的直线m，使得α∩β=m,且P∈m。

公理3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平面． 推论l 直线与直线外一点确定一个平面．

推论2 两条相交直线确定一个平面．

推论3 两条平行直线确定一个平面．

公理4 在空间内，平行于同一直线的两条直线平行．

定义1 异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的角中，不超过900的角叫做两条异面直线成角．与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离．

定义2 直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外．直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外．

定义3 直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直． 定理1 如果一条直线与平