三向量的混合积的应用

浅谈向量混合积的应用

摘要 向量代数在数学学习过程中有着很重要的作用，本文重点列举了向量的混合积在微分

几何、立体几何、空间解析几何及数学分析等方面的应用，从而体现了向量的混合积应用的广泛性. 关键词 向量；混合积

向量的混合积在实际应用中在不同的方面都有着广泛的作用，下面就混合积

在各领域的运用予以举例说明.

混合积的定义 给定空间的三个矢量a,b,c，如果先做前两个矢量a和b的失性积，再做所得的矢量与第三个矢量c的数性积，最后得到的这个数叫做三矢量

?????????a,b,c的混合积，记做(a?b)?c或(a,b,c)或(abc).

?????????性质1三个不共面矢量a,b,c的混合积的绝对值等于以a,b,c为棱的平行六面体的体积V，并且当a,b,c构成右手系时混合积是正数；当a,b,c构成左手系时，混合积是负数，也就是有

(abc)??V,

???????????????当a,b,c是右手系时??1;当a,b,c是左手系时???1.

性质2 三矢量a,b,c共面的充要条件是(a,b,c)?0.

性质3 轮换混合积的三个因子，并不改变它的值，对调任何两个因子要改变乘积符号，即

(abc)?(bca)?(cab)??(bac)??

第三节 数量积 向量积 混合积

分布图示

★ 两向量的数量积

★ 例1 ★ 例4

★ 向量积概念的引入 ★ 向量积的运算

★ 例6 ★ 例9

★ 向量的混合积

★ 例11

★ 例7 ★ 例10

★ 例8

★ 数量积的运算 ★ 例2 ★ 例5

★ 向量积的定义

★ 例3

★ 混合积的几何意义 ★ 例12 ★ 例13

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题7-3 ★ 返回

内容要点

一、两向量的数量积：

定义1设有向量a、它们的夹角为?，乘积|a||b|cos?称为向量a与b的数量积（或b，称为内积、点积），记为a?b，即

????a?b?|a||b|cos?????????.

根据数量积的定义，可以推得：

?????? （1） a?b?|b|Prjba?|a|Prjab;

（2） a?a?|a|;

??????（3） 设a、b为两非零向量，则 a?b的充分必要条件是 a?b?0.

???2数量积满足下列运算规律：

????（1）交换律 a?b?b?a;

（2）分配律 （3）结合律

???????

第三节 数量积 向量积 混合积

分布图示

★ 两向量的数量积

★ 例1 ★ 例4

★ 向量积概念的引入 ★ 向量积的运算

★ 例6 ★ 例9

★ 向量的混合积

★ 例11

★ 例7 ★ 例10

★ 例8

★ 数量积的运算 ★ 例2 ★ 例5

★ 向量积的定义

★ 例3

★ 混合积的几何意义 ★ 例12 ★ 例13

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题7-3 ★ 返回

内容要点

一、两向量的数量积：

定义1设有向量a、它们的夹角为?，乘积|a||b|cos?称为向量a与b的数量积（或b，称为内积、点积），记为a?b，即

????a?b?|a||b|cos?????????.

根据数量积的定义，可以推得：

?????? （1） a?b?|b|Prjba?|a|Prjab;

（2） a?a?|a|;

??????（3） 设a、b为两非零向量，则 a?b的充分必要条件是 a?b?0.

???2数量积满足下列运算规律：

????（1）交换律 a?b?b?a;

（2）分配律 （3）结合律

???????

一、填空题（每题3分，共计30分）

1、 若a是非零向量，则ka的方向是：当k 0时，ka与a_______方向 2、 如果两个非零向量a、b满足a

b( 是非零实数)，那么a和b一定是___________；

当 1时，它们是__________的向量；当 1时，它们是___________的向量 3、 设k是非零实数，a、用式子表示实数与向量相乘对于向量加法的分配律：b是非零向量，

_______________________________________

4、 如果是两个不平行的向量，那么 2 5叫做的______________________ 5、 对于非零向量a，它的长度为5，如果把与它同向的单位向量记作a0，那么向量a可以

记作____________

6、 设e是单位向量，若x与e方向相同，

3

，请用e表示x：________________ 2

7、 如果2 3,

2 , _____________________

8、 在四边形ABCD中，设 ， ，如果 2,那么四边形一定是_________

（填四边形的名称）

9、 已知 ABC的重心是点G，则 _______________

10、 设O是平行四边形ABCD的对角线的交点，

第26讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例

考纲要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

1．平面向量的数量积

若两个__非零__向量a与b，它们的夹角为θ，则__|a||b|cos θ__叫做a与b的数量积(或内积)，记作__a·b＝|a||b|cos θ__.

规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.

两个非零向量a与b垂直的充要条件是__a·b＝0__，两个非零向量a与b平行的充要条件是__a·b＝±|a||b|__.

2．平面向量数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影__|b|cos θ__的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质 (1)e·a＝a·e＝__|a|cos〈a，e〉__； (2)非零向量a，b，a⊥b?__a·b＝0__；

(3)当a与b同向时，a·b＝__|a||b|__；当a与b反向时，a·b＝_

平面向量的数量积

教学目标：

(i)知识目标:

（1）掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示. (2) 平面向量数量积的应用.

(ii)能力目标:

(1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力. (2) 正确运用向量运算律进行推理、运算.

教学重点: 1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.

2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.

教学难点: 平面向量数量积的综合应用. 教学过程： 一、追溯

????1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos?

?????????aaaa叫与b的数量积，记作?b，即?b = |||b|cos?，(0????)并规定0与任何向量的

数量积为0 ??????aaa2．平面向量的数量积的几何意义：数量积?b等于的长度与b在方向上投影|b|cos?的乘积. ????3．两个向量的数量积的性质 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量 ?????????1?e?a = a?e =|a|cos?； 2?a?b ? a?b = 0

???????????????3?当a与b同向时

中学生数学

年 !月上

第

#期

高中%

应用类比法学习平面向量的坐标表示和数量积山东省济南市长清第五中学!

&

齐相国

(

类比法是创新思维的一种重要的形式平,

另外还要注意数学符号的正确书写万71(

,

面向量的坐标运算和数量积运算是平面向量运算的主旋律是学习的重点正确理解平面向量的坐标表示和平面向量的数量积的意义、,,(

是向量的坐标表示,

,

,

1

是点的坐标,

表示不能将向量万的坐标写成万能将点,、

1

,

也不

的坐标写成,

一

,

,

刃

弄清点的坐标与向量的坐标平面向量的数量积与实数乘法的区别和联系是学好这一部分(

二平面向量的数一积可通过以下三方面类比来学习%

的关键一点的坐标与向)坐标的异同向量坐标表示的实质是,、

从物理学角度平面向量的数量积是从,

,

物理做功抽象出来的功定义为一个物体在外力=作用下与所产生的位移>的数量积?>一 2=%一=,

向量的坐标是向

量的代数表示任一平面向量可以用一个有序实数对来表示示一个向量(

+

反过来任一有序实数对就表,

,

#%

Α<

欲通过从力做功情况来看可9

,

即一个平面向量就是一个二元有(

以加深我们对数量积运算律的认识若力增

序实数对点的坐标与向量坐标形式上相同都分为横坐标和纵坐标

倍则功也增大,

,

9

倍而当力反转方向时功要变

,

,

向量的坐

中学生数学

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高中%

应用类比法学习平面向量的坐标表示和数量积山东省济南市长清第五中学!

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齐相国

(

类比法是创新思维的一种重要的形式平,

另外还要注意数学符号的正确书写万71(

,

面向量的坐标运算和数量积运算是平面向量运算的主旋律是学习的重点正确理解平面向量的坐标表示和平面向量的数量积的意义、,,(

是向量的坐标表示,

,

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1

是点的坐标,

表示不能将向量万的坐标写成万能将点,、

1

,

也不

的坐标写成,

一

,

,

刃

弄清点的坐标与向量的坐标平面向量的数量积与实数乘法的区别和联系是学好这一部分(

二平面向量的数一积可通过以下三方面类比来学习%

的关键一点的坐标与向)坐标的异同向量坐标表示的实质是,、

从物理学角度平面向量的数量积是从,

,

物理做功抽象出来的功定义为一个物体在外力=作用下与所产生的位移>的数量积?>一 2=%一=,

向量的坐标是向

量的代数表示任一平面向量可以用一个有序实数对来表示示一个向量(

+

反过来任一有序实数对就表,

,

#%

Α<

欲通过从力做功情况来看可9

,

即一个平面向量就是一个二元有(

以加深我们对数量积运算律的认识若力增

序实数对点的坐标与向量坐标形式上相同都分为横坐标和纵坐标

倍则功也增大,

,

9

倍而当力反转方向时功要变

,

,

向量的坐

第29讲-平面向量的数量积及其应用

一、 考情分析

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；

5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.

二、 知识梳理

1.两个向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 称作向量a

和向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉.

(2)范围：向量夹角〈a ，b 〉的范围是[0，π]，且〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉.

(3)向量垂直：如果〈a ，b 〉＝π2，则a 与b 垂直，记作a ⊥b .

2.向量在轴上的正射影

已知向量a 和轴l (如图)，作OA →＝a ，过点O ，A 分别作轴l 的垂线，垂足分别为O 1，A 1

，则向量O 1A 1→叫做向量a 在轴l 上的正射影(简称射影)，该射影在轴l 上的坐标，称作a 在轴l 上的数量或在轴l 的方向上的数量.

OA →＝a 在轴l 上正射影的坐标记作a l

，向量a 的方向与轴l 的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有a l ＝|a |cos__θ.

3.

平面向量的数量积

高一数学同步训练

第12讲 平面向量的数量积及应用

知识梳理1.数量积的定义2.数量积的应用 例题

1.设e1，e2是两个垂直的单位向量，且a (2e1 e2)，b e1 e2． ⑴若a∥b，求 的值； ⑵若⊥，求 的值．

2.若向量a与b的夹角为60，|b| 4,(a 2b).(a 3b) 72,则向量a的模为 3.在△ABC中，AB 1,BC 2,B 60 ，则AC＝

4.已知点A3,1、B 0,0 、C

3,0 ，设∠BAC平分线AE与BC相交于E，那么有

B．

,其中 等于（ C ） A．2

11

C．－3 D．－ 23

5.如图,O,A,B是平面上的三点,向量OA a,OB b,设P为线段AB的垂直平分线CP上任意一点,向量OP p,若a=4,b=2,则p (a b)= 6 6.设向量a与b的夹角为 ,定义a与b的“向量积”:a b是一个向量,它的模

a b a b sin ,

若a

( 1),b ,则a b 2

7.设向量a,b满足:|a| 3,|b| 4,a b 0.以a,b,a b为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 个.4

8.已知a=