考研数学压缩映射原理

题目：压缩映射原理及应用

压缩映射原理是泛函分析一个最常用、最简单的存在性定理。它不仅论证了不动点的存在性和唯一性，同时也给出了求不动点的方法——逐次逼近法。即在完备的度量空间中，通过构造一个映射，利用逐次逼近的方法，使其满足压缩映射原理的条件。用它可以处理数学某些方面应用具体实例，对难以用传统方法解决的问题有重要的理论意义。

不动点理论一个发展方向是只限于欧氏空间多面体上的映射. 1909 年, 荷兰数学家布劳维创立了不动点理论. 在此基础上, 不动点定理有了进一步的发展, 并产生了用迭代法求不动点的迭代思想. 美国数学家莱布尼茨在1923 年发现了更为深刻的不动点理论, 称为莱布尼茨不动点理论. 1927 年, 丹麦数学家尼尔森研 究不动点个数问题, 并提出了尼尔森数的概念. 我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算 尼森数的情形, 并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理.

不动点理论的另一个发展方向是不限于欧氏空间中多面体上的映射, 而考察一般的距离空间或线性拓扑空间上的不动点问题. 最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Banach), 他于1922 年提出的压缩映像原理发展了迭代思想, 并给出了Banach 不动点定理. 这

题目：压缩映射原理及应用

压缩映射原理是泛函分析一个最常用、最简单的存在性定理。它不仅论证了不动点的存在性和唯一性，同时也给出了求不动点的方法——逐次逼近法。即在完备的度量空间中，通过构造一个映射，利用逐次逼近的方法，使其满足压缩映射原理的条件。用它可以处理数学某些方面应用具体实例，对难以用传统方法解决的问题有重要的理论意义。

不动点理论一个发展方向是只限于欧氏空间多面体上的映射. 1909 年, 荷兰数学家布劳维创立了不动点理论. 在此基础上, 不动点定理有了进一步的发展, 并产生了用迭代法求不动点的迭代思想. 美国数学家莱布尼茨在1923 年发现了更为深刻的不动点理论, 称为莱布尼茨不动点理论. 1927 年, 丹麦数学家尼尔森研 究不动点个数问题, 并提出了尼尔森数的概念. 我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算 尼森数的情形, 并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理.

不动点理论的另一个发展方向是不限于欧氏空间中多面体上的映射, 而考察一般的距离空间或线性拓扑空间上的不动点问题. 最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Banach), 他于1922 年提出的压缩映像原理发展了迭代思想, 并给出了Banach 不动点定理. 这

教案二 不动点与压缩映射原理（简介）

不动点与压缩映射原理（简介）(教材：第二章 §5） 四、解方程举例

例9 用不动点方法讨论方程

(29)

的根的存在性，并用迭代法求其根． 分析：设

．由

，

，

不难用初等微积分方法获得曲线

内有唯一实根

．

的形状如下图所示,且知道方程(29)在

改用不动点方法来讨论，设 由于

，因此在

上

，

．

(30)

不满足压缩映射的条件之(i)．至于条

件之（ii），对于一元函数可用微分中值定理来检验．由于

，

，

故难以由此来确定是否满足（ii）．事实上，由 可知

在

上确实不满足定义7的(ii)．

,

解：先对原方程（29）作变形，例如把它改写成 且令

．

（31）

；

(29)ˊ

此时，由

推知

在

上递增，而当

，

时，有

，

．再由

即

又知 从而

所以，（31）式所示的点

；且由

在，恒有

，，

．

．

上为一压缩映射，它在

，迭代收敛于

中存在唯一不动

，对任一

．

显然,把方程(29)改写成(29)ˊ的做法不是唯一的．例如，再把(29)改写成 且令

(32)

(29)″

；

．

同理可以验证：在

以具体实例给出了压缩映射原理在高等代数、数学分析方面的一些应用,并指出了相关文章中的一个错误.

第2卷第3 2期 2 1年9 0 1月

苏州市职业大学学报J u a fS z o c to a ve st o r l u h u Vo a i n l n o Uni r i y

Vo . 2. No. 12 3Se p., 2 1 01

压缩映射原理的应用及一个注记刘端芹(南京财经大学应用数学学院，江苏南京 204) 10 6

摘要：以具体实例给出了压缩映射原理在高等代数、学分析方面的一些应用，数并指出了相关文章中的一个错误 .

关键词：压缩映射；不动点；度量空间 中图分类号：0l7 9文献标志码：A 7 .l 文章编号： 10—5 7(0 10— 0 7 0 0 8 4 52 1)3 0 5— 3

A pplc to fCo r c i n M a i a i n o nt a to ppi i i l nd aN o ea uti ng Pr nc p ea t bo tLI D u— n U an qi

( e at n fAp l d Mah mai,Na j g Unv riy o ia c n c n mis D p r

1 I/O空间-----I/O端口和I/O内存

首先上图，如下：外设中的寄存器被称为I/O端口，外设中的内存被称为I/O内存。二者合起来统称为I/O空间。

设备驱动程序要直接访问外设或其接口卡上的物理电路，这部分通常都是以寄存器的形式出现。外设寄存器称为I/O端口，通常包括：控制寄存器、状态寄存器和数据寄存器三大类。根据访问外设寄存器的不同方式，可以把 CPU分成两大类。

一类CPU（如M68K，Power PC，ARM，Unicore等）把这些寄存器看作内存的一部分，寄存器参与内存统一编址，访问寄存器就通过访问一般的内存指令进行，所以，这种CPU没有专门用于设备I/O的指令（可以以此判定体系为哪种）。这就是所谓的“I/O内存”方式。 另一类CPU（如X86）将外设的寄存器看成一个独立的地址空间，所以访问内存的指令不能用来访问这些寄存 器，而要为对外设寄存器的读／写设置专用指令，如IN和OUT指令。这就是所谓的” I/O端口”方式 。但是，用于I/O指令的“地址空间”相对来说是很小的。事实上，现在x86的I/O地址空间已经非常拥挤。

但是，随着计算机技术的发 展，单纯的”I/O端口\方式无法满足实际需要了，因为这种

1 I/O空间-----I/O端口和I/O内存

首先上图，如下：外设中的寄存器被称为I/O端口，外设中的内存被称为I/O内存。二者合起来统称为I/O空间。

设备驱动程序要直接访问外设或其接口卡上的物理电路，这部分通常都是以寄存器的形式出现。外设寄存器称为I/O端口，通常包括：控制寄存器、状态寄存器和数据寄存器三大类。根据访问外设寄存器的不同方式，可以把 CPU分成两大类。

一类CPU（如M68K，Power PC，ARM，Unicore等）把这些寄存器看作内存的一部分，寄存器参与内存统一编址，访问寄存器就通过访问一般的内存指令进行，所以，这种CPU没有专门用于设备I/O的指令（可以以此判定体系为哪种）。这就是所谓的“I/O内存”方式。 另一类CPU（如X86）将外设的寄存器看成一个独立的地址空间，所以访问内存的指令不能用来访问这些寄存 器，而要为对外设寄存器的读／写设置专用指令，如IN和OUT指令。这就是所谓的” I/O端口”方式 。但是，用于I/O指令的“地址空间”相对来说是很小的。事实上，现在x86的I/O地址空间已经非常拥挤。

但是，随着计算机技术的发 展，单纯的”I/O端口\方式无法满足实际需要了，因为这种

课题：§1.2.2映射

教学目的：（1）了解映射的概念及表示方法，了解象、原象的概念；

（2）结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．

教学重点：映射的概念． 教学难点：映射的概念． 教学过程： 一、

引入课题

复习初中已经遇到过的对应：

1． 对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；

2． 对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应； 3． 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；

4． 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应； 5． 函数的概念． 二、

新课教学

1． 我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非

空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射（mapping）（板书课题）． 2． 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系

（1）开平方； （2）求正弦 （3）求平方； （4）乘以2； 3． 什么叫做映射？

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A

压缩机知识讲座

第一章压缩机概述

第一节压缩机概述

一、定义：压缩机是用来提高气体压力和输送气体的机械。

二、主要用途：

⒈动力用压缩机:

⑴压缩气体驱动各种风动机械，如：气动扳手、风镐。

⑵控制仪表和自动化装置。

⑶交通方面：汽车门的开启。

⑷食品和医药工业中用高压气体搅拌浆液。

⑸1、纺织业中，如喷气织机。⒉气体输送用压缩机⑴管道输送--为了克服气体在管道中流动过程中，管道对气体产生的阻力。⑵瓶装输送--缩小气体的体积，使有限的容积输送较多的气体。⒊制冷和气体分离用压缩机如氟里昂制冷、空气分离。⒋石油、化工用压缩机⑴用于气体的合成和聚合，如：氨的合成。⑵润滑油的加氢精制。

三、压缩机的分类

⑴按作用原理分：容积式和速度式（透平式）

⑵按压送的介质分类：空气压缩机、氮气压缩机、氧气压缩机、氢气压缩机等

⑶按排气压力分类：低压（0.3-1.0MPa）中压（1.0-10MPa）高

压（10-100MPa）超高压（＞100MPa）

⑷按结构型式分类：压缩机----容积式、速度式。容积式----回转式（包括螺杆式、滑片式、罗茨式）、往复式（包括活塞式、隔膜式）。速度式----离心式、轴流式、喷射式、混流式。

第二节压缩机的著名厂家

一、国外著名的压缩机企业有以下几家：

⑴日本有七家：日

压缩机知识讲座

第一章压缩机概述

第一节压缩机概述

一、定义：压缩机是用来提高气体压力和输送气体的机械。

二、主要用途：

⒈动力用压缩机:

⑴压缩气体驱动各种风动机械，如：气动扳手、风镐。

⑵控制仪表和自动化装置。

⑶交通方面：汽车门的开启。

⑷食品和医药工业中用高压气体搅拌浆液。

⑸1、纺织业中，如喷气织机。⒉气体输送用压缩机⑴管道输送--为了克服气体在管道中流动过程中，管道对气体产生的阻力。⑵瓶装输送--缩小气体的体积，使有限的容积输送较多的气体。⒊制冷和气体分离用压缩机如氟里昂制冷、空气分离。⒋石油、化工用压缩机⑴用于气体的合成和聚合，如：氨的合成。⑵润滑油的加氢精制。

三、压缩机的分类

⑴按作用原理分：容积式和速度式（透平式）

⑵按压送的介质分类：空气压缩机、氮气压缩机、氧气压缩机、氢气压缩机等

⑶按排气压力分类：低压（0.3-1.0MPa）中压（1.0-10MPa）高

压（10-100MPa）超高压（＞100MPa）

⑷按结构型式分类：压缩机----容积式、速度式。容积式----回转式（包括螺杆式、滑片式、罗茨式）、往复式（包括活塞式、隔膜式）。速度式----离心式、轴流式、喷射式、混流式。

第二节压缩机的著名厂家

一、国外著名的压缩机企业有以下几家：

⑴日本有七家：日

第二节 分式线性映射一、分式线性映射的概念 二、几种简单的分式线性映射 三、分式线性映射的性质 四、小结与思考

一、分式线性映射的概念az b w (ad bc 0, a , b, c , d均为常数.) cz d称为分式线性映射.小知识

说明:

1) ad bc 0的限制，保证了映射的 保角性.

dw ad bc 否则, 由于 2 0, 有w 常数. dz (cz d )那末整个z平面映射成 w平面上的一点.2

az b dw b ( 3) w z ( d )( a ) bc 0 cz d cw a 则, 逆映射仍为分式线性的 , az b 故又称w 为双线性映射. ~~~~~~~~~~ cz d分式线性映射(1)总可以分解成下述三种特殊 映射的复合：

1 ( i ) w z b ( ii ) w az(a 0) ( iii )w z称为： 平移 整线性 反演3

( A, B复常数) az b a b 当c 0时，w w z Az B cz d d d d ad a( z ) b a b