类周期函数专题

§8.7 周期函数的傅里叶函数

8.7.1 基本三角函数系简单的周期运动 : 复杂的周期运动 :(谐波函数)

( A为振幅, 为角频率, 为初相 )

An sin n cos n t An cos n sin n t令

(谐波迭加)

an An sin n , bn An cos n , a0 得函数项级数 (an cos n x bn sin n x ) 2 k 1称上述形式的级数为三角级数.2

定理 1. 基本三角级数函数系 正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在

上的积分等于 0 .证:

1 cos nxd x 1 sin nxd x 0 cos k x cos nx dx 1 2

cos(k n) x cos(k n) x d x 0 同理可证 : sin k x sin nx d x 0 (k n ) cos k x sin nx d x 0

但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有

1 1dx 2

cos 2 n x d x

§8.7 周期函数的傅里叶函数

8.7.1 基本三角函数系简单的周期运动 : 复杂的周期运动 :(谐波函数)

( A为振幅, 为角频率, 为初相 )

An sin n cos n t An cos n sin n t令

(谐波迭加)

an An sin n , bn An cos n , a0 得函数项级数 (an cos n x bn sin n x ) 2 k 1称上述形式的级数为三角级数.2

定理 1. 基本三角级数函数系 正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在

上的积分等于 0 .证:

1 cos nxd x 1 sin nxd x 0 cos k x cos nx dx 1 2

cos(k n) x cos(k n) x d x 0 同理可证 : sin k x sin nx d x 0 (k n ) cos k x sin nx d x 0

但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有

1 1dx 2

cos 2 n x d x

第44卷第7期2010年7月

电力电子技术

Power Electronics

Vol.44，No.7July 2010

基金项目：国家自然科学基金（60436030）定稿日期：2010-05-27

作者简介：郭海燕（1974-），女，四川广元人，博士，研究方向为电力电子技术及智能功率集成电路。

1引言

当今电子技术朝着高功率密度、高频率、小型化

的方向发展，开关功率变换器的电磁干扰（EMI ）

问题日益显著。近几年提出了一些新的降低电路EMI 的解决方法，例如改进电路结构，消除谐波，有源d u /d t 控制算法，通过加耦合电容和使用各种扩频调制技

术来降低电路的EMI [1-5]。

其中，扩频调制技术仍是降EMI 的主流技术，扩频技术最先应用于通讯和微处理系统。九十年代中期，F Lin 和D Y Chen 将扩频技术应用于开关功率变换器来降低其传导EMI 水平，效果良好。接着各种各样的调制模式也相继出现，例如周期调制、混沌调制、随机调制等。其中周期函数调制相对随机调制和混沌调制可控性更好。分析了常用的几种周期函数频率调制方式，并详细讨

论了调制波形、

调制系数、调制波频率等重要调制参数的选择对抑制开关功率变换器电路传导EMI 的

影响。推导了占空比的选择与抑制电路传

第十五章

第二节 一般周期函数 的傅里叶级数一、周期为2l 的函数展开成 傅里叶级数 二、定义在[-l, l ]和[0, l ]区间上 的函数展开成傅里叶级数

一、周期 T = 2l 的函数展开成傅里叶级数T 2l x l t T 2π l t ) (t ) 展开 思路： f ( x ) f ( t [ , ] x [ l , l ] f ( x) n x l n x l (t

xl

)

1 an ( n 0 , 1 , 2 , ) ( t ) cos nt d t π l 1 n x x 1 l 1 n f (x x )) cos x d x ( n 1 , 2 , ) bn ( t sin nt d t f ( ) cos d l l l l l l

bn

1

(t ) sin nt d tl

( n 1 , 2 , )

x t l 1

l

n x f ( x ) sin dx l l

1 l n x f ( x ) sin dx l l l

定理4 (展开定理)

设周期

将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个...

习题11 8

1 将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式)

(1)f(x) 1 x2( 1 x 1

2

2

解 因为f(x) 1 x2为偶函数 所以bn 0(n 1 2 ) 而 a0 2 2(1 x2)dx 4 2(1 x2)dx 11

01/206 an 2 2(1 x2)con xdx

1/201/2 4

1

2(1 0

11

1

x)cos2n xdx

2

( 1)n 1n

2

2

(n 1 2 )

由于f(x)在( )内连续 所以

111

f(x) 2

12

( 1)n 1

n2

cos2n x x ( )

n 1

x 1 x 0 1

(2)f(x) 1 0 x

2

1

1 x 1

2

解 an f(x)dx xdx dx 1dx 1

1

1

2

10

1

20

1

2

an f(x)cosn xdx xcosn xdx

1

1

10

1

2c0

osn xdx 1cosn xdx

2

1

212[1 ( 1)n] 2sin (n 1 2 )

函数的周期性

1．周期函数的定义

对于函数f(x)，如果存在一个非．零．常．数．T，使得当x取定义域内的每．一．个．值．时，都有

f(x?T)?f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

说明：（1）T必须是常数，且不为零；

（2）对周期函数来说f(x?T)?f(x)必须对定义域内的任意x都成立。 问题1 ①若常数T（≠0）为f (x)周期，问nT( n∈ N)为f (x)周期吗？为什么？ ②周期函数的周期有多少个？（是有限个还是无限个）？

2 常见函数的最小正周期

正弦函数 y=sin（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= y=cos（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T=

2π2π? y=tan（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T=

?π

π?y=|sin（ωx+φ）|（w>0）最小正周期为T=

? f(x)=C(C为常数)是周期函数吗？有最小正周期吗？ y=Asinw1 x+Bcosw2x 的最小正周期问题

结论：有的周期函数没有有最小正周期

3抽象函数的周期总结

1、f(x?T)?f(x)

?y?f(x)的周期为T

2、f(x?a)?f(b?x) (a?b)

函数的周期性

1．周期函数的定义

对于函数f(x)，如果存在一个非．零．常．数．T，使得当x取定义域内的每．一．个．值．时，都有

f(x?T)?f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

说明：（1）T必须是常数，且不为零；

（2）对周期函数来说f(x?T)?f(x)必须对定义域内的任意x都成立。 问题1 ①若常数T（≠0）为f (x)周期，问nT( n∈ N)为f (x)周期吗？为什么？ ②周期函数的周期有多少个？（是有限个还是无限个）？

2 常见函数的最小正周期

正弦函数 y=sin（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= y=cos（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T=

2π2π? y=tan（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T=

?π

π?y=|sin（ωx+φ）|（w>0）最小正周期为T=

? f(x)=C(C为常数)是周期函数吗？有最小正周期吗？ y=Asinw1 x+Bcosw2x 的最小正周期问题

结论：有的周期函数没有有最小正周期

3抽象函数的周期总结

1、f(x?T)?f(x)

?y?f(x)的周期为T

2、f(x?a)?f(b?x) (a?b)

常见结论 (约定a>0)

函数关于某点对称（a,b）,f(x)=2b-f(2a-x) 函数关于x=a 对称 f(a+x)=f(a-x)

（1）f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=a； （2）f(x?a)?－f(x)，或f(x?a)?f(x?a)??1f(x)(f(x)?f(－xa或f(x?a)?)1f(x)(f(x)?0)，或

,)则f(x)的周期T=2a； 0例1：设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x?4?)－f(x且)f(3)?5，则

f(－21?)______________，f(2005)?______________

例2：设f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x?2)?1f(x)，当0≤x≤1，f(x)?2x，

则f(7.5)?______________

例3：设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x?2)?f(x?2)， f(1)?2，则

f(2)?f(7?)______________

练习

1、函数f?x?对于任意实数x满足条件f?x?2??1f?x?，若f?1???5,则

f?f?5???_______________

2、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为

(A)－1

D C 第二十七课时 x 函数专题复习（四） P x A E 2R 函数的应用举例（1） B A D O 目的：熟悉借助“几何图形”和“计算利润”两种常见类型的应用问题。 过程： 一、应用问题的解答绝大部分是通过建立模型（常常是函数模型）并借助图 象和性质来进行研究的，研究结果再应用于实践。 1．数学模型来源于实践，是实际问题的抽象和概括，因此首先必须对实际问题要有深刻的理解。 2．其次，应不断培养自己的抽象概括能力和坚实的数学基础。 3．最后，当然需要有较强的运算能力。 二、例一、有一块半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形 状，下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上。写出这个梯形周长y 与腰长x间的函数式，并写出它的定义域。 分析：关键是用半径R与腰长x表示上底 由对称性：CD=AB?2AE 因此只要求AE 解：设腰长AD=BC=x 作DE?AB

一、定义

所谓的类金融是指零售商与消费者之间进行现金交易的同时，延期数月支付上游供应商货款，这使得其账面上长期存有大量浮存现金，并形成\规模扩张--销售规模提升带来账面浮存现金--占用供应商资金用于规模扩张或转作他用--进一步规模扩张提升零售渠道价值带来更多账面浮存现金\这样一个资金内循环体系。

类金融是和金融融资相近的一种办法，从消费者手中拿到钱并且不支付消费者利息的，用来自己扩张的一种金融模式。这一“类金融”的预付模式，不仅在美容美发业普遍，商业、餐饮、洗车、洗浴等服务行业都对该模式情有独钟。可以说，预付卡在方便消费者的同时，也变成了商家的“变相融资”渠道。每张卡的金额从几百元到数千元甚至上万元，卖卡成了商家“圈钱”的新途径。

二、类金融模式的利润来源

类金融模式的利润来源主要通过对供应商资金的占用。通常采取类金融盈利模式的企业都会延迟对生产商货款的支付，利用延迟付款将这部分资金投入资本市场、房地产市场或者设立连锁分店，通过在资本市场和房地产市场赚取利润来弥补零售市场的低利润甚至是负利润，同时利用连锁扩张增加分销渠道的覆盖面，进一步提升对上游生产企业的影响力和控制力。类金融模式同通路利润模式是存在一定的相同之处，二者都是凭借流通企业控制的