不动点定理在中学的应用

不动点定理及其应用

摘 要 不动点定理是研究方程解的存在性与唯一性理论的重要工具之一.本文给

出了线性泛函分析中不动点定理的几个应用,并通过实例进行了说明.同时,介绍了非线性泛函分析中的不动点定理——Brouwer不动点定理和Leray-Schauder不动点定理.

关键词 不动点;不动点定理;Banach空间

Fixed Point Theorems and Its Applications

Abstract The fixed point theorem is one of important tools in

studying the existence and uniqueness of solution to functional equation .In this paper,the fixed theorem in linear functional analysis and its applications are introduced and the corresponding examples are given.Meanwhile,the Brouwer and Leray-Schauder fixed point

摘 要

本文首先介绍Banach空间中的不动点定理、在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维推广形式、在一般完备度量空间上的推广形式. 其次,通过分析近几年全国各地高考数学卷中一些试题特点,总结了利用不动点定理求解有关数列的问题.其中包括数列通项、数列的有界性问题.最后介绍了不动点定理中的吸引不动点和排斥不动点在讨论数列的单调性及收敛性方面的应用.

关键词 ：Banach不动点定理,数列通项，有界性，单调性，收敛性.

Abstract

This article firstly introduced the Fixpoint Theorem in Banach space, the one-dimensional extended form of the Fixpoint Theorem in other linear topological space and the extended form in general complete metric space. Then, we summarized the problem on sequence of number using Fixpoint Theorem, analyzing

摘 要

本文首先介绍Banach空间中的不动点定理、在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维推广形式、在一般完备度量空间上的推广形式. 其次,通过分析近几年全国各地高考数学卷中一些试题特点,总结了利用不动点定理求解有关数列的问题.其中包括数列通项、数列的有界性问题.最后介绍了不动点定理中的吸引不动点和排斥不动点在讨论数列的单调性及收敛性方面的应用.

关键词 ：Banach不动点定理,数列通项，有界性，单调性，收敛性.

Abstract

This article firstly introduced the Fixpoint Theorem in Banach space, the one-dimensional extended form of the Fixpoint Theorem in other linear topological space and the extended form in general complete metric space. Then, we summarized the problem on sequence of number using Fixpoint Theorem, analyzing

第一章 度量空间

1.5 Banach不动点定理及应用

巴拿赫不动点定理(Banach Fixed Point Theorem)，又称为压缩映射定理或压缩映射原理，它是用泛函分析方法统一处理许多关于解的存在性和唯一性问题(如微分方程、代数方程组、积分方程等)的一个重要定理．许多方程求解问题往往可以转化为求某映射的不动点，而压缩映射原理描述了映射不动点的存在性和唯一性的充分条件，并提供了一个迭代程序，按此程序逐次逼近可求不动点的近似值和误差，这是代数方程，微分方程，积分方程，泛函方程以及计算数学中的一个很重要的方法．

1.5.1 Banach不动点定理及推论

定义 1.5.1 不动点(Fixed points)

设X是一个非空集合，A:X?X为映射，如果存在x??X满足A(x?)?x?，则称x?为映射A的不动点．

例如(1)从R到R上的映射f:x?x2有两个不动点，即x?0和x?1．(2)从R2到R2上的映射f:(x,y)?(y,x)有无穷多个不动点，即直线y?x上的所有点均是不动点．

设f是空间X到自身的映射，方程f(x)?0的求解可转化为求映射

T:x??f(x)?x

的不动点，其中常数??0(显然当Tx??x?时，即?f(x?)?

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浅谈勾股定理在中学数学中的应用

作者：文艺蓉

来源：《读写算·基础教育研究》2016年第11期

【摘 要】勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它有着悠久的历史，曾引起很多人的兴趣，它是中学数学中非常重要的一个定理。勾股定理很好地解释了直角三角形中三条边之间的数量关系，对于几何学中有关直角三角形的计算及证明问题，利用勾股定理往往能够迎刃而解，使学生快速掌握解决方法。同时，在实际生活中，勾股定理的应用也非常广泛。因此，在中学数学教学过程中，充分利用好勾股定理这一有效手段进行解题就显得尤为重要。本文将结合平时教学经验，对中学数学中的勾股定理的应用进行分析与探究，希望对读者有所帮助。 【关键词】勾股定理；直角三角形；应用

勾股定理在中学数学中有广泛应用，下面，我将对勾股定理在线段求长问题中的应用、在折叠问题中的应用、在证明过程中的应用以及在实际问题中的应用进行分析与探究。 一、勾股定理在线段求长问题中的应用

在初中数学中，一些线段求长问题使用常规方法解决非常困难，但使用勾股定理往往比较简单。

例1、如图，

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浅谈勾股定理在中学数学中的应用

作者：文艺蓉

来源：《读写算·基础教育研究》2016年第11期

【摘 要】勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它有着悠久的历史，曾引起很多人的兴趣，它是中学数学中非常重要的一个定理。勾股定理很好地解释了直角三角形中三条边之间的数量关系，对于几何学中有关直角三角形的计算及证明问题，利用勾股定理往往能够迎刃而解，使学生快速掌握解决方法。同时，在实际生活中，勾股定理的应用也非常广泛。因此，在中学数学教学过程中，充分利用好勾股定理这一有效手段进行解题就显得尤为重要。本文将结合平时教学经验，对中学数学中的勾股定理的应用进行分析与探究，希望对读者有所帮助。 【关键词】勾股定理；直角三角形；应用

勾股定理在中学数学中有广泛应用，下面，我将对勾股定理在线段求长问题中的应用、在折叠问题中的应用、在证明过程中的应用以及在实际问题中的应用进行分析与探究。 一、勾股定理在线段求长问题中的应用

在初中数学中，一些线段求长问题使用常规方法解决非常困难，但使用勾股定理往往比较简单。

例1、如图，

隐函数定理及其在几何上的应用

【摘要】 隐函数(组)是函数关系的另一种表现形式。讨论隐函数(组)的存在性、连续性与可微性，是深刻了解这类函数本身的需要。同时在求以隐函数(组)的形式为方程出现的曲线和曲面的切线或切平面时，都要用到隐函数(组)的微分法。 【关键词】隐函数存在惟一性定理、隐函数可微性定理 、隐函数组定理、隐函数定理在几何上的应用 1 定理及证明

隐函数存在惟一性定理

设方程 F?x,y??0 中的函数F?x,y?满足以下四个条件： (i) 在以 (ii)

为内点的某一区域D ; (初始条件 );

;

上连续 ;

(iii) 在D内存在连续的偏导数(iv)

.

则在点P0的某邻域U?P0??D内 , 方程F?x,y?＝0唯一地确定一个定义 在某区间x??x0??,x0???内的隐函数y?f?x?，使得 ⑴ 当f?x0??y0 ，x??x0??,x0??? 时， 有?x,f?x???U?P0?且F?x,f?x???0 ；

⑵ 函数f?x?在区间x??x0??,x0???内连续。 证 首先证明隐函数的存在与惟一性． 证明过程归结起来有以下四个步骤

(a) “一点正, 一片正

留数定理在定积分中的应用

1． 留数定义及留数定理

1．1 留数的定义

设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <?<内解析，则积分()()1:,02f z dz z a R i ρρπΓ

Γ?=<<?为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z a

s f z =． 1．2 留数定理

介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理： 设D 是由复周线012C C C C --=+++…n C -所围成的有界连通区域，函数()f z 在D 内解析，在_

D D C =+上连续，则()0C f z dz =?．

定理1 []1

（留数定理） 设()f z 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除12,,a a …,n a 外解析，在闭域_

D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则（ “大范围”积分） ()()12Re k n

z a k C f z dz i s f z π===∑?． （1） 证明 以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ?=（1,2,k =…,n ）使

一．Desargues定理及其逆定理的应用

Desargues定理的内容从完整的角度讲,包括Desargues定理及其逆定理。它是高等几何中最重要的定理之一,高等几何中许多定理及命题都以它为根据。我们知道,在初等几何中有许多需要证明“点共线”或“线共点”的问题,这类问题用初等方法去证明往往较复杂,但用Desargues定理去证明却很容易。因此,对于初等几何中的某些定理或命题而言,Desargues定理除可以给它们提供一种高等数学的证明方法外,还可以在用初等方法证明它们之前,起到先“验证”的作用。

1.1定理背景

德莎格(Desargues),1591年2月21日生于法国里昂的一个教会会员家庭,

一生主要在巴黎从事学术研究活动,晚年隐居老家里昂,1661年10月卒于里昂。作为一个普通教会会员家庭的九个孩子之一的笛沙格,早年曾在其家庭所在地里昂接受基础教育,并在里昂主管区基督教会的教士税务局收过杂税。他在那时,也曾写过如何教儿童唱歌的文章。笛沙格青年时期还参过军,当过军官,同时担任过法国军事工程师和建筑师。他在青壮年时期长期定居巴黎,并从1626年11月开始长期从事几何透视法的研究工作和学术活动。他曾在巴黎免费给别人讲课,以鼓励

精密单点定位技术、软件及应用张小红

测绘学院卫星应用工程研究所

主要内容1标准单点定位 2精密单点定位概念 3精密单点定位实现及TriP软件 4精密单点定位用实例分析 5精密单点定位的优势 6精密单点定位的应用前景 7全球实时精密单点定位(Global RTK) 8软件演示测绘学院卫星应用工程研究所

GNSS全球导航卫星系统

卫星定位系统的三大部分

空间飞行的 GPS卫星

Galileo星座测绘学院卫星应用工程研究所

测绘学院卫星应用工程研究所

GPS单点定位基本概念GPS单点定位 GPS单点定位通常是指利用GPS直接确定观测站在WGS-84坐标系中的绝对坐标的一种定位方法，单点定位也叫绝对定位。

测绘学院卫星应用工程研究所

GPS单点定位的几何原理一个站星距离测站位于以卫星为球心，站星距离为半径的球面上

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GPS单点定位的几何原理两个站星距离作两个球面两个球面相交为圆测站位于圆圈上

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GPS单点定位的几何原理三个站星距离作三个球面三个球面两两相交于两点测站位于其中一点

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GPS单点定位的几何原理GPS单点定位方法的实质是空间距离后方交会一个站星距离=球面两个站星距离=圆三个站星距离=两点三个站星