高等数学定积分公式

第五章 定积分

习题5.1

1.填空

n（1）lim?f??i??xi

??0i?1(2)介于x轴，函数f?x?的图像及两条直线x?a,x?b之间的各部分面积的代数和。 2．利用定积分的定义计算 （1）?xdx

01解：?f?x?在区间?0,1?上连续

?将?0,1?分成n等分，不妨设分点为xi??n,?i?1,2,3,?,n?

小区间?xi,xi?1?的长度为?xi?取?i?xi,?i?1,2,3,?,n? 则由定积分定义得

nniini1n,?i?1,2,3,?,n?

?f????xi?1???i?1??xi??i?1i11??2nnnn?i?11n?n?1? i?2?n2当???时n?? ??xdx?lim01n??0??i?xi?limi?1n1n?n?1?n2n??2?12

（2）

?10niiedx?limxn???f????xi?11?limn???i?12n?11?1?1?i?1nnnf???lim?e?e???e?en??n?nn????nn1????n?ne1??e??11?????1enen??lim??1?e?lim??1?e?lim11n??n??n??n???1?nnn?1?en?1?e?????n???

?e?

第六章 定积分的应用

习题 6-2 (A)

1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积： (1)y?x2?6x?8,[0,3] (2)y?2x?x2,[0,3]

2． 求下列各图中阴影部分的面积： 1.

图 6-1

3．求由下列各曲线围成的图形的面积： (1)y?ex,y?e?x与x?1;

(2)y?lnx与x?0,y?lna,y?lnb(b?a?0);

(3)y?2x?x2与y?x,y?0;

(4)y2?2x,y2??(x?1);

(5)y2?4(1?x)与y?2?x,y?0;

(6)y?x2与y?x,y?2x;

(7)y?2sinx,y?sin2x(0?x??);

8)y?x2(2,x2?y2?8（两部分都要计算）;

1

4．求由曲线y?lnx与直线y?0,x?e?1,x?e所围成的图形的面积。

5．求抛物线y??x2?4x?3及其在点(0,?3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积。 6．求抛物线y2?2px及其在点(p2,p)处的法线所围成的图形的面积。 7．求曲线x?y?a与两坐标轴所围成的图形的面积。

8．求椭圆x2?y2a2b2?1所围图形的面积。

9．求由摆线x?a(t?si

习 题 五

习 题 五

1. 由定积分的几何意义计算下列定积分 （1）

2π 0 0

sinxdx；

（2

）

R π

x；

（3） 3xdx；

1（4） cosxdx.

π 0

2π

1. 解：由定积分的几何意义 （1） （2

）

2π 0 R R 0

sinxdx

sinxdx

sinxdx A ( A) 0

dx

32

R R

x

12

2 R

（3） 3xdx

1 π

（4） cosxdx

π2

cosxdx

π2

cosxdx A ( A) 0

2. 用定积分的定义，计算由曲线y x2 1与直线x 1,x 4及x轴所围成的曲边梯形的面积.

解：因为被积函数f(x) x2 1在[1，4]上是连续的，故可积，从而积分值与区间[1，4]的分割及点 i的取法无关. 为了便于计算，把区间[1，4]分成n等份，每个小区间的长度都等于

3n

，分点仍记为

1 x0 x1 x2 xn 1 xn 4

并取 i xi(i 1，2， ，n)，得积分和

n

n

n

n

i 1

f( i) xi

i 1

( i 1) xi

27n

3

n

2

i 12

(xi 1) xi 18n

2

n

2

((

i 1

3in

+1) 1)

2

3n

i

i 1

i 6

i 1

19n

3

2

n(n 1)(2n 1)

181n2

2

n(n 1) 6

高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式

高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式

一,基本内容对定积分的补充规定:(1)当a= b时,∫ f ( x )dx= 0;a b

(2)当 a> b时,∫ f ( x )dx=∫ f ( x )dx .a b

b

a

说明在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小.

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结束

高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式

性质1证

∫a[ f ( x )± g ( x )]dx=∫a f ( x )dx±∫a g ( x )dx .b

b

b

b

∫a[ f ( x )± g( x )]dx n= lim∑[ f (ξ i )± g (ξ i )]xiλ→0= lim∑ f (ξ i )xi± lim∑ g (ξ i )xiλ→ 0 i=1b i=1 n n

λ→ 0 i=1

=∫a f ( x )dx±∫a g ( x )dx .b

(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)首页上页返回下页结束

高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式

性质2证b

∫a kf ( x )dx= k∫a f ( x )

(tgx)′=secx(ctgx)′= csc2x(secx)′=secx tgx(cscx)′= cscx ctgx(ax)′=axlna(logax)′=

1xlna

2

(arcsinx)′=

1

x2

1

(arccosx)′=

x21

(arctgx)′=

1+x2

1

(arcctgx)′=

1+x2

∫tgxdx= lncosx+C∫ctgxdx=lnsinx+C

∫secxdx=lnsecx+tgx+C∫cscxdx=lncscx ctgx+C

dxx1

arctg=+C∫a2+x2aa

dxx a1

ln=∫x2 a22ax+a+C

dx1a+x

=∫a2 x22alna x+Cdxx

=+Carcsin∫a2 x2

a

π

2

n

dx2

sec=∫cos2x∫xdx=tgx+C

dx2

csc=∫sin2x∫xdx= ctgx+C

∫secx tgxdx=secx+C

∫cscx ctgxdx= cscx+C

ax

∫adx=lna+C

x

∫shxdx=chx+C∫chxdx=shx+C∫

dxx2±a2

=ln(x+x2±a2)+C

π

2

In=∫sinxdx=∫cosnxdx=

n 1

In 2n

∫∫∫

x2a22

x+adx=x+a+ln(x+x2+a2)+C

22x2a2

一、基本导数公式：

1. kx '

k

2. x

n ' nxn 1

3. ax '

ax

lna4. ex '

e

x

5. log'

1

ax

xlna6. lnx '

1x

7. sinx '

cosx8. cosx '

sinx9. tanx ' sec2

x

10. cot '

csc2

x

11. secx '

secxtanx12. cscx '

cscxcotx13.

arcsinx '

1

14.

arccosx '

115. arctanx '

11 x2

16. arccot '

11 x2

二、基本微分公式：

1.d kx k

2.d xn nxn 1dx3.d ax axlnadx4.d ex exdx5.d lnx 1

xdx

6.d log1

ax xlna

dx

7.d sinx cosxdx8.d cosx sinxdx9.d tanx sec2

xdx

10.d cotx csc2xdx11.d secx secxtanxdx12.d cscx cscxcotxdx13.d

arcsinx

1

dx

14.d arccosx 1

dx

15.d arctanx 1

1 x

2

dx16.d arccotx 1

1 x

2

dx- 1 -

专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 62

第五章 定 积 分

§5—1 定积分概念

一、填空题

1． f(x)在[a,b]上可积的充分条件是 。

2． limn???k?1nk用定积分表示可表示成 。

??nn3． 由定积分的几何意义知4． 定积分

???sinxdx= ，?sinxdx= 。

???a?aa2?x2dx的几何意义是 。

二．判断题。

1．若f(x)在[ a,b]上有界，则f(x)在[a,b]上可积。 （ ） 2．若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[ a,b]上有界。 （ ） 3．若f(x)、g(x)在[a,b]上都不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上必不可积。 （ ） 5． 若f(x)在[a,b]上可积，则g(x) )在[a,b

专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 62

第五章 定 积 分

§5—1 定积分概念

一、填空题

1． f(x)在[a,b]上可积的充分条件是 。

2． limn???k?1nk用定积分表示可表示成 。

??nn3． 由定积分的几何意义知4． 定积分

???sinxdx= ，?sinxdx= 。

???a?aa2?x2dx的几何意义是 。

二．判断题。

1．若f(x)在[ a,b]上有界，则f(x)在[a,b]上可积。 （ ） 2．若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[ a,b]上有界。 （ ） 3．若f(x)、g(x)在[a,b]上都不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上必不可积。 （ ） 5． 若f(x)在[a,b]上可积，则g(x) )在[a,b

高等数学(金路,童裕孙等编)(高等教育出版社)

p166

1.)µ{ 2= +2) : 1( 1, 1), 2(2,2), =

÷y¶© ∫È29. = 1[ ( 2 2)] =2

2.)µ Ô º: ( 2,5),= 2 4

=0? = 4 3, =3? = 10 +6

3ü : (2, 9)

¤¦¡È ∫∫32 =0[( 4 3) ( 4 3)] +3[( 10 +6) ( 2 4 3)] =9

43.)µ =∫1[2 ] +0∫22[2 ] =174.)µ

¤¦ 1 – Ü©¡È 4 "

31 – §¡È

= = 3 ( 3 )= 3 2 4 2

= , =0;

08070141常用导数和积分公式

导数公式：

? (1) (C)?0 ? (3) (sinx)?cosx

???1?(x)??x (2)

? (4) (cosx)??sinx

(5)

(tanx)??sec2x (7) (secx)??secxtanx

(9)

(ax)??axlna (log1 (11)

ax)??xlna

(arcsinx)??1 (13)

1?x2

(arctanx)??1 (15)

1?x2

(cotx)???csc2x (cscx)???cscxcotx

(ex)??ex

(lnx)??1x，

(arccosx)???11?x2(arccotx)???11?x2

(6)

(8) (10) (12)

(14)

(16)

08070141常用导数和积分公式

基本积分表

?tgxdx??lncosx?C?ctgxdx?lnsinx?C?secxdx?lnsecx?tgx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?Cdx1x?arctg?C?a2?x2aadx1x?a?ln?x2?a22ax?a?Cdx1a?x??a2?x22alna?x?Cdxx?arcsin?C?a2?x2a?2ndx