线性代数讲义李永乐

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李永乐 线性代数要注重知识点的衔接与转换

考研复习现在已经进入整理冲刺阶段，这段时间大家应把复习过的知识系统化综合化，注意搞细搞透搞活，也可适当做几套模拟题，这既可查漏补缺也可兼代积累一点临场经验。本文现针对线性代数课程的特点，提如下建议供考生参考。

一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。 线性代数的概念很多，重要的有：

代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。 往年常有考生没有准确把握住概念的内涵，也没有注意相关概念之间的区别与联系，导致做题时出现错误。例如，矩阵A＝（α1，α2，……，αm）与B＝（β1，β2……，βm）等价，意味着经过初等变换可由A得到B，要做到这一点，关键是看秩r（A）与r（B）是否相等，而向量组α1，α2，……αm与β1，β

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李永乐 线性代数要注重知识点的衔接与转换

考研复习现在已经进入整理冲刺阶段，这段时间大家应把复习过的知识系统化综合化，注意搞细搞透搞活，也可适当做几套模拟题，这既可查漏补缺也可兼代积累一点临场经验。本文现针对线性代数课程的特点，提如下建议供考生参考。

一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。 线性代数的概念很多，重要的有：

代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。 往年常有考生没有准确把握住概念的内涵，也没有注意相关概念之间的区别与联系，导致做题时出现错误。例如，矩阵A＝（α1，α2，……，αm）与B＝（β1，β2……，βm）等价，意味着经过初等变换可由A得到B，要做到这一点，关键是看秩r（A）与r（B）是否相等，而向量组α1，α2，……αm与β1，β

工 程 数 学

线性代数讲义

Linear Algebra Materials

卫 斌 教授 主讲

惠州学院数学系

Department of Mathematics Huizhou college

2009年9月

第1,2讲

第一章 行 列 式

行列式（determinant [di't?:min?nt]）是研究线性代数（linear algebra['?ld?ibr?]）的一个重要工具，在线性方程组、矩阵、二次型中都需要用到行列式.在数学的其它分支里也常常要用到行列式.因此我们在第一章里就向大家介绍行列式.

§1 二阶与三阶行列式

一、二元线性方程组与二阶行列式

行列式的概念是从解线性方程组的问题中引进来的.所谓线性方程组是指未知量的最高次数是一次的方程组.例如，解二元一次方程组

(1)?a11x1?a12x2?b1 ?

ax?a

Chapter 4 Linear Transformations

1. A linear transformation L:V?W is said to map V onto W if L(V)=W. Show that the linear transformation L defined by L(x)?(x1,x1?x2,x1?x2?x3)T maps R to R.

2. Determine the kernel and range of each of the following linear operators on R. (a) L(x)?(x3,x2,x1)T (b) L(x)?(x1,x2,0) (c) L(x)?(x1,x1,x1)

3. For each of the following linear operators L on R, find a matrix A such that L(x)?Ax for every x?R.

(a) L((x1,x2,x3)T)?(x3,x2,x1)T

33333TT(b) L((xT1,x2,x3))?(x

2011年万学海文线性代数

主讲 铁军教授

铁军教授简介：著名考研数学辅导专家，近几年在全国各大城市声名鹊起，成为与王式安、赵达夫齐名的考研数学辅导“三驾马车”之一。铁军教授从事考研数学辅导工作以来，以其高屋建瓴、大气磅礴、睿智幽默的风格，对考点、重点、难点全面、深刻、透彻的把握，关爱学生、高度负责的态度以及对考题的精准预测，令考生受益无穷。特别是铁军老师的数学全程保过班，更是以无与伦比的连续性、系统性和考生的数学成绩大面积高分而受到广大莘莘学子的爱戴！2011年，考研竞争空前激烈！万学海文邀请铁军教授亲临面授，为您考研成功保驾护航。您的理想将在您我的共同努力下实现。这是我们的信心，也将是您的信心！

线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视。线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，主要用证明题的方法技巧来解决计算题。因此，必须掌握证明题的证明技巧，并会在计算题中灵活应用。难点在于线性代数的内容比较抽象，综合性强，特别是关于向量的线性相关性、矩阵的秩与线性方程组的解的结构定理的综合题难度较大，必须突破这一难点。

第一章 行列式

行列式的核心考点是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，

第一章 行列式

行列式是线性代数中的一个基本概念，其理论起源于解线性方程组，它在自然科学的许多领域里都有广泛的应用.本章主要介绍n阶行列式的定义、性质和计算方法以及用行列式解线性方程组的克莱姆（Cramer）法则.

§1.1 二阶与三阶行列式

一、二元线性方程组与二阶行列式

在实际问题中，线性方程组的应用很广，但三元以上的线性方程组的求解是很复杂的.现在讨论简化线性方程组的求解过程和求解公式.先从二元线性方程组开始讨论.

对于二元线性方程组

?a11x1?a12x2?b1 ? （1-1-1）

?a21x1?a22x2?b2利用加、减消元法可得

?(a11a22?a12a21)x1?a22b1?a12b2 ?(aa?aa)x?ab?ab12212112211?1122如果a11a22?a12a21?0，那么线性方程组（1-1-1）有唯一解：

x1?b1a22?b2a12a11a22?a12a21 x2?b2a11?b1a21a11a22?a12a21

以上两个式子可作为公式使用，但不便于记忆，为方便起见，把a11a22?a12a21记为a11a21a

《线性代数》讲义 第 1 页 共 30 页

第一章 行列式

一、2、3阶行列式---之计算方法：对角线法则 1、

ab?ad?cb cdabehcf?(aei?bfg?cdh)?(ceg?bdi?afh) i2、dg3、克莱姆法则（见课本p84?85页） 4、补充习题：

ae00x?11（1）计算：a）2 b） 0ab c） bxx2?x?10cdca2b2c2a3b3（答：abc(b?a)(c?a)(c?b)）

c31a12特别地：Vandermonde（范德蒙）行列式结论a1...1a22a2...........................1an2?an...1?j?i?n?(ai?aj)

n?1n?1a1n?1a2......ank34（2）解方程：?1k0?0

0k1a11（3）填空：0?10?0的充分必要条件是 4aa二、n阶行列式

1、n阶行列式定义：行列式的值等于第一行（列）的元素与其对应的

第一章 行列式

行列式是线性代数中的一个基本概念，其理论起源于解线性方程组，它在自然科学的许多领域里都有广泛的应用.本章主要介绍n阶行列式的定义、性质和计算方法以及用行列式解线性方程组的克莱姆（Cramer）法则.

§1.1 二阶与三阶行列式

一、二元线性方程组与二阶行列式

在实际问题中，线性方程组的应用很广，但三元以上的线性方程组的求解是很复杂的.现在讨论简化线性方程组的求解过程和求解公式.先从二元线性方程组开始讨论.

对于二元线性方程组

?a11x1?a12x2?b1 ? （1-1-1）

?a21x1?a22x2?b2利用加、减消元法可得

?(a11a22?a12a21)x1?a22b1?a12b2 ?(aa?aa)x?ab?ab12212112211?1122如果a11a22?a12a21?0，那么线性方程组（1-1-1）有唯一解：

x1?b1a22?b2a12a11a22?a12a21 x2?b2a11?b1a21a11a22?a12a21

以上两个式子可作为公式使用，但不便于记忆，为方便起见，把a11a22?a12a21记为a11a21a

大学线性代数讲义前面有对知识的讲解,后面是习题。便于理解。不想挂科的同学们的必备之物

5 êùÂ

ÜÆD

~^ÎÒ

Z=:{x|x´ ê}.

N0=:{x|x∈Z,x≥0}.N=:{x|x∈Z,x>0}.Q=:{x|x´knê}.R=:{x|x´¢ê}.C=:{x|x´Eê}.Pv«knê !¢ê !Eê"

大学线性代数讲义前面有对知识的讲解,后面是习题。便于理解。不想挂科的同学们的必备之物

§1

§1.1

n01 ª ½Â

1 ª

(1).10I ª| (a)|=a

a 11a12

(2).20I ª =a11a22 a12a21

a21a22

12

~X =4 6= 2

34

a11a12a13

(3).30I ª a21a22a23

第一章 行列式一、知识结构网络图?概念 不同行不同列元素乘积的代数和（共n!项） ??经转置行列式的值不变 ???某行有公因数k,可把k提到行列式外 ????性质?某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和 ?两行互换行列式变号 ??????某行的k倍加至另一行，行列式的值不变 ?n???A??aijAij (按i行展开)??j?1 代数余子式 ?展开式?n??A??aijAij (按j行展开)??i?1?????三角化法???数字型?公式法 ???递推法??行???计算 ???列??用行列式性质 ??抽象型?用矩阵性质 式?????用特征值 A??? ??i?????Ax?0有非零解