高中数学第二章平面向量

学业分层测评(十九) 平面向量的坐标运算

(建议用时：45分钟)

学业达标]

一、填空题

→

1．若点P的坐标为(2 016,2)，向量PQ＝(1，－3)，则点Q的坐标为________． →→→

【解析】 ∵PQ＝OQ－OP， →→→∴OQ＝OP＋PQ

＝(2 016,2)＋(1，－3) ＝(2 017，－1)． 【答案】 (2 017，－1)

→→→

2．(2016·如东高一检测)若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝________. →→→

【解析】 BC＝BA＋AC →→＝BA－CA ＝(2,3)－(4,7) ＝(－2，－4)． 【答案】 (－2，－4)

→

3．已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若AB＝3a，则点B的坐标为________． 【解析】 设B点坐标为(x，y)， →

则AB＝(x＋1，y－5)， →

∵AB＝3a，

∴(x＋1，y－5)＝3(2,3)＝(6,9)， ∴?

??x＋1＝6，

??y－5＝9，

∴?

??x＝5，

??y＝14.

【答案】 (5,14)

→

4．若向量a＝(x＋3，y－4)与AB相等，已知A(1,2)和B(3,2)，则x，y的值分别为________．

→

【解析】 ∵AB＝(3,2)－(1,2)＝

2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

预习课本P103～105，思考并完成以下问题

(1)怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？

(2)向量b在a方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？

(3)向量数量积的性质有哪些？

(4)向量数量积的运算律有哪些？

[新知初探]

1．向量

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2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

课堂导学

三点剖析

1.两个向量数量积的坐标表示

【例1】 已知向量a=(4,3),b=(-1,2). (1)求a与b的夹角θ的余弦值；

（2）若向量a-λb与2a+b垂直，求λ的值. 解：(1)a·b=4×(-1)+3×2=2,

又∵|a|=32?42=5,|b|=12?22?5, ∴cosθ=

a?b225. ??|a||b|5525(2)a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8).

∵(a-λb)⊥(2a+b), ∴(a-λb)·(2a+b)=0. ∴7×(4+λ)+8(3-2λ)=0. ∴λ=

52. 9温馨提示

运用数量积解决有关角度、长度、垂直问题的关键是正确地使用运算公式. 2.数量积坐标表示的应用

【例2】已知a、b是两个非零向量，同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.

a?(a?b)|a|2?a?b思路分析：根据向量夹角公式得：cosθ=,须根据已知条件找到?|a||a?b||a||a?b|a·b与a的关系.|a+b|与|a|的关系即可解决. 解法1：

22

根据|a|=|b|,有|a|=|b|.

222

又由|b|=|a-b|,得

平面向量共线的坐标表示

今天下午我上了一节校内公开课《平面向量共线的坐标表示》，本节内容是继平面向量定理、坐标表示及坐标运算之后，对向量共线可以用坐标表示的深化。我对这节课的自我评价是基本完成教学任务，知识与技能目标明确，重点突出，但在教学过程中对引导学生不足，给学生展示与练习的机会较少，主要体现在以下两个方面：

(一)在给出向量共线的坐标,即

时，对于如何消去λ，这一过程没有给学生足够的思考时间，只是我自问自答，然后直接给出方法与结果，还有为什么不能写成,不应急于说出原因而应该留给学生分析。

(二)在讲解例题过程中，对学生提问太少，讲解时间偏多并且过于详细，显得有些啰嗦。比如讲例2时，分析完解题思路应让学生口述或者到黑板上写解答过程，而不是由我代替，这一点没有充分发挥学生的主体作用；还有例3第(2)小题可以用两种方法解，在用一种方法解完后应问问学生“想想还有没有别的解法？比如我们刚学习用坐标表示？”但是我却直接给出第二种解法，没有给学生尝试的机会，并且我还把这两种方法都板书在黑板上，以至于占用过多时间，到下课铃响还没来及小结本节内容就匆匆下课，显得这节课“有头无尾”。

针对以上不足，我希望在今后课堂中从以下三个方面进行改进：（1）改变教学方式

学业分层测评(十九) 平面向量的坐标运算

(建议用时：45分钟)

学业达标]

一、填空题

→

1．若点P的坐标为(2 016,2)，向量PQ＝(1，－3)，则点Q的坐标为________． →→→

【解析】 ∵PQ＝OQ－OP， →→→∴OQ＝OP＋PQ

＝(2 016,2)＋(1，－3) ＝(2 017，－1)． 【答案】 (2 017，－1)

→→→

2．(2016·如东高一检测)若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝________. →→→

【解析】 BC＝BA＋AC →→＝BA－CA ＝(2,3)－(4,7) ＝(－2，－4)． 【答案】 (－2，－4)

→

3．已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若AB＝3a，则点B的坐标为________． 【解析】 设B点坐标为(x，y)， →

则AB＝(x＋1，y－5)， →

∵AB＝3a，

∴(x＋1，y－5)＝3(2,3)＝(6,9)， ∴?

??x＋1＝6，

??y－5＝9，

∴?

??x＝5，

??y＝14.

【答案】 (5,14)

→

4．若向量a＝(x＋3，y－4)与AB相等，已知A(1,2)和B(3,2)，则x，y的值分别为________．

→

【解析】 ∵AB＝(3,2)－(1,2)＝

§6 平面向量数量积的坐标表示

A组

1.若向量a=(1,2),b=(-3,4),则(a·b)(a+b)=( )

A.20 C.(-10,30)

B.54 D.(-8,24)

解析:∵a·b=-3+8=5,a+b=(-2,6),

∴(a·b)(a+b)=(-10,30).

答案:C

2.已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线,则向量a与向量c=(,-1)的夹角的余弦值是( ) A. C.

则cos θ=. 答案:B

3.在以OA为边,OB为对角线的矩形中,=(-3,1),=(-2,k),则实数k=( ) A.4 答案:D

4.已知a=(2,4),则与a垂直的单位向量的坐标是( ) A. B. C. D.

解析:由已知得与a=(2,4)垂直的向量为b=λ(4,-2),即b=(4λ,-2λ),又|b|=1,所以λ=±,于是所求单位向量为. 答案:D

5.导学号03070107直线l1的一个方向向量为a=(-1,3),直线l2的一个方向向量为b=(1,k),且l2过点(0,5),l1⊥l2,则l2的直线方程为( ) A.x-3y+15=0 C.x+3y-5=0

B.x-3y+5=0 D.x-3y-15=0 B.3

C.

。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 2.4 平面向量的基数量积

第1课时 平面向量数量积的物理背景及其含义

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P103～P105的内容，回答下列问题． 观察教材P103图2.4－1和图2.4－2，思考： (1)如何计算力F所做的功？ 提示：W＝|F||s|cos_θ.

(2)力F在位移方向上的分力是多少？ 提示：|F|cos_θ.

(3)力做功的大小与哪些量有关？

提示：与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关． 2．归纳总结，核心必记 (1)向量的数量积的定义

已知条件 定义 记法 规定 (2)向量的数量积的几何意义 ①投影的概念：

(ⅰ)向量b在a的方向上的投影为|b|cos_θ． (ⅱ)向量a在b的方向上的投影为|a|cos_θ． ②数量积的几何意义：

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积． (3)向量数量积的性质

1

向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ 数量|a||b|cos_θ叫做a与b的数量积(或内积) a·b＝|a||b|cos_θ 零向量与任一向量的数量积为0 设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹

高中数学第二章平面向量2-1平面向量的实际背景及基本概

念自我小测新人教A版必修4

自我小测

1．下列说法中正确的是( )

A．若|a|>|b|，则a>bB．若|a|＝|b|，则a＝b

C．若a＝b，则a∥bD．若a≠b，则a与b不是共线向量

2．设O是正方形ABCD的中心，向量，，，是(

)

A．平行向量 B．有相同终点的向量C．相等向量 D．模相等的向量

3．把平面上所有长度为2的向量的起点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )

A．一条线段 B．一段圆弧C．圆上的一群孤立点 D．一个圆4．下列说法正确的是( )

A．若a与b不共线，则a与b都是非零向量

B．方向相反的非零向量可能相等

C．共线的单位向量一定相等

D．若＝，则A，B，C，D四点构成平行四边形

ABCD

5．如图，在四边形ABCD中，＝，则必有(

)

A.＝

B.＝

C.＝

D.

＝

6．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与

是共线向量，则m＝

________.

7．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反，④|a|＝0或|b|＝0，

1 / 4

其中能使a∥b成立的条件是________．(填序号) 8．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD与BC的中

高中数学学习资料--向量部分

高中数学必修内容复习---平面向量

一、 选择题（每题3分，共54分）

1

1、已知向量 (3, 2), ( 5, 1),则等于（

2

1

A．(8,1) B．( 8,1) C．(4, )

22、已知向量a (3, 1),b ( 1,2),则 3a 2b的坐标是（ ）

A．(7,1)

B．( 7, 1)

C．( 7,1)

）

）

1

D．( 4,)

2

D．(7, 1)

3、已知 ( 1,3), (x, 1),且∥，则x等于（

A．3

B． 3

1C．

3

1D．

3

4、若a (3,4),b (5,12),则a与b的夹角的余弦值为（ ）

A．

63 65

B．

33

65

C．

33 65

D．

63 65

5 4 6，与的夹角是135 ，则 等于（ ）

A．12

B．122

C． 122 ）

C．( 9,6)

1

D．(3, )

2

D． 12

6、点( 3,4)关于点B( 6,5)的对称点是（

A．( 3,5)

9

B．(0,)

2

7、下列向量中，与(3,2)垂直的向量是（ ）

A．(3, 2)

B．(2,3)

C．( 4,6)

D．( 3,2)

8、已知A、B、C三点共线，且A、B、C三点的纵坐标分别为2、5、10，则点A分 所成的比是(

)

3A．

8

3B．

8

8C．

3

8D．

3

9、在平行四边形

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2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

课堂导学

三点剖析

1.两个向量数量积的坐标表示

【例1】 已知向量a=(4,3),b=(-1,2). (1)求a与b的夹角θ的余弦值；

（2）若向量a-λb与2a+b垂直，求λ的值. 解：(1)a·b=4×(-1)+3×2=2,

又∵|a|=32?42=5,|b|=12?22?5, ∴cosθ=

a?b225. ??|a||b|5525(2)a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8).

∵(a-λb)⊥(2a+b), ∴(a-λb)·(2a+b)=0. ∴7×(4+λ)+8(3-2λ)=0. ∴λ=

52. 9温馨提示

运用数量积解决有关角度、长度、垂直问题的关键是正确地使用运算公式. 2.数量积坐标表示的应用

【例2】已知a、b是两个非零向量，同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.

a?(a?b)|a|2?a?b思路分析：根据向量夹角公式得：cosθ=,须根据已知条件找到?|a||a?b||a||a?b|a·b与a的关系.|a+b|与|a|的关系即可解决. 解法1：

22

根据|a|=|b|,有|a|=|b|.

222

又由|b|=|a-b|,得