变分法原理证明

第一章 变分原理与变分法

1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）

一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理：

昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理；

对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。

变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples:

① 光线最短路径传播；

② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron）； ③ 光线折射遵循时间最短的途径（Fermat）； A

Summary: 实际上光的传播遵循最小能量原理；

在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。

二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方

法），是计算泛函驻值的数学理论

?

B v1 ? ? v2 E C AE?EB?AC?CB

数学上的泛函定义

定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间

的（映射）关系

特征描述法：{ J:X?D?R|J(x)?r?R}

Examples:

① 矩阵范数：线性算

第一章 变分原理与变分法

1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）

一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理：

昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理；

对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。

变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples:

① 光线最短路径传播；

② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron）； ③ 光线折射遵循时间最短的途径（Fermat）； A

Summary: 实际上光的传播遵循最小能量原理；

在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。

二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方

法），是计算泛函驻值的数学理论

?

B v1 ? ? v2 E C AE?EB?AC?CB

数学上的泛函定义

定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间

的（映射）关系

特征描述法：{ J:X?D?R|J(x)?r?R}

Examples:

① 矩阵范数：线性算

量子力学的变分法-量子力学的变分法

　　当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。　　
量子力学的变分法-量子力学的变分法
解薛定谔方程的一种应用范围极广的近似方法
对于束缚定态
它是基于能量本征值方程（即不含时间的薛定谔方程）与能量变分原理的等价性
通过求能量的极值得到能量本征值方程的解
在处理具体问题时
总是采用波函数某种特殊的变化去代替最普遍的任意变分
这样就可得到依赖于波函数特殊形式的近似解
这种方法称为变分法

　　若体系的哈密顿量算符为彑
其能量本征值方程为

(1)
该体系的能量平均值
(2)
是波函数φ的泛函
式中表示对体系全部坐标积分
可以证明
求彑的本征值方程
等价于求解
(3)
也就是满足变分原理(3)的φ为彑的本征函数
唕的极值为所对应的本征值
即
(4)
　　这样
如果能猜测到一个φ正好满足式(1)
则由式(2)所得的唕【φ】等于E
如果猜测的φ与ψ 略有不同
则唕【φ】必定大于E
因而唕【φ】总是给出唕的一个上限
当做了多次猜测之后
其中最小的唕一定是这些猜测中最好的
这样就把最小的唕取作E的近似值
应用以上手续可得到一种通过猜测去计算能量近似值的方法
改善波函数通常是通过一个含连续参数的特殊形式的波函数φ(q
α1
α2
α3
...)来实现

绪言

任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程，一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。模糊数学自1965年L.A.Zadeh教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的一席之地。

经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这些学科固有的局限性。这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用精确方法描述和处理。而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。清晰事物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。模糊事物无法获得必要的精确数据，不能按精确方法建立数学模型。实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。

绪言

任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程，一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。模糊数学自1965年L.A.Zadeh教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的一席之地。

经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这些学科固有的局限性。这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用精确方法描述和处理。而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。清晰事物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。模糊事物无法获得必要的精确数据，不能按精确方法建立数学模型。实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。

第三章最优控制中的变分法 3.1泛函与变分法的基本概念一、泛函的定义函数：若对于变量 x的某一集合中的每个 x值，变量y均有一值与之对应，则称变量y是变量x的函数,记做 y f ( x ),其中x是自变量，y是因变量。泛函：若对于函数 y( x )的某一集合中的每一函数y( x ),记做J J y( x ) ,其中y( x )也称为宗量。变量J均有一值与之对应，则称变量J是函数y( x )的泛函,

容许函数类(空间):规定宗量取值范围的集合称为泛函的容许函数类(空间)。最优控制问题中性能指标泛函的一般形式： J u( ) x ( t f ), t f L x ( t ), u( t ), t dttf t0

二、泛函的变分求泛函极值的问题称为变分问题。求泛函极值的方法称为变分法。 1.宗量的变分泛函J[ y( x )]的宗量y( x )的变分指的是两个宗量函数之间的差，也即

y( x ) y( x ) y 0 ( x )2.泛函的连续性时，有 J y( x ) J y0 ( x ) ,则称J y( x ) 在y0 ( x )处是连续的。若对于任意给定的 0,存在 0,当 y(x ) y( 0 x)

典的变分法图像去噪的C++实现

由于这学期的图像处理课程的大作业需要写一个图像处理程序，不能使用古典的线性滤波，或者基于频域（小波）或者基于统计之类的方法。只能用老师讲过的一些方法，诸如变分，PDE，微分几何等。。感觉上简单的变分法稍微要好实现一些，就打算基于最早的TV图像去噪模型，做一个VC的实现。但是找遍了网上也没有TV去噪的C++源码，与之只好自己动手写了。 关于变分法和泛函分析的一些基础原理今天就先不多说了，TV图像去噪经典论文：《Nonlinear Total Variation based noise removal algorithms》Google上可以搜得到。 关于Matlab的程序实现，有一个经典的主页：

http://visl.technion.ac.il/~gilboa/PDE-filt/tv_denoising.html

下面是一个Matlab代码实现：复制到记事本用matlab打开就可以运行，要注意图像的名称和路径要对应。如果只是想学学算法思路或者看看处理效果的话，只需要Matlab的代码就行了。

function J=tv(I,iter,dt,ep,lam,I0,C) %% Private function:

典的变分法图像去噪的C++实现

由于这学期的图像处理课程的大作业需要写一个图像处理程序，不能使用古典的线性滤波，或者基于频域（小波）或者基于统计之类的方法。只能用老师讲过的一些方法，诸如变分，PDE，微分几何等。。感觉上简单的变分法稍微要好实现一些，就打算基于最早的TV图像去噪模型，做一个VC的实现。但是找遍了网上也没有TV去噪的C++源码，与之只好自己动手写了。 关于变分法和泛函分析的一些基础原理今天就先不多说了，TV图像去噪经典论文：《Nonlinear Total Variation based noise removal algorithms》Google上可以搜得到。 关于Matlab的程序实现，有一个经典的主页：

http://visl.technion.ac.il/~gilboa/PDE-filt/tv_denoising.html

下面是一个Matlab代码实现：复制到记事本用matlab打开就可以运行，要注意图像的名称和路径要对应。如果只是想学学算法思路或者看看处理效果的话，只需要Matlab的代码就行了。

function J=tv(I,iter,dt,ep,lam,I0,C) %% Private function:

《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院

§8.2 换元积分法与分部积分法

教学目标：掌握第一、二换元积分法与分部积分法． 教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法．

基本要求：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法． 教学建议：

(1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题． (2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法． 教学过程：

一、第一类换元法 ——凑微分法：

有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分?，如果凑上一个常数因子2，使成为 11cos2xdx?cosx?2xdx?cos2xd?2x????22

cos2xdx令2x?u则上述右端积分

111cos2xd2x?cosudu?sinu?C??2?2?2

然后再代回原来的积分变量x，就求得原不定积分

?cos2xdx?更一般的，若函数并且复合运算

F????x???1sin2x?C2

F?x?是函数

f?x?的一个原函数，

????x?是可微函数，

有意义，根据复合函数求导法则

?F??

时域有限差分法（FDTD算法）

时域有限差分法是1966年K.S.Yee发表在AP上的一篇论文建立起来的，后被称为Yee网格空间离散方式。这种方法通过将Maxwell旋度方程转化为有限差分式而直接在时域求解, 通过建立时间离散的递进序列, 在相互交织的网格空间中交替计算电场和磁场。

FDTD算法的基本思想是把带时间变量的Maxwell旋度方程转化为差分形式，模拟出电子脉冲和理想导体作用的时域响应。需要考虑的三点是差分格式、解的稳定性、吸收边界条件。有限差分通常采用的步骤是：采用一定的网格划分方式离散化场域；对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分格式，得到差分方程组；结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解。 1.FDTD的基本原理

FDTD方法由Maxwell旋度方程的微分形式出发，利用二阶精度的中心差分近似，直接将微分运算转换为差分运算，这样达到了在一定体积内和一段时间上对连续电磁场数据的抽样压缩。

Maxwell方程的旋度方程组为：

??H???H?E??mH （1） ??E ??E????t?t在直角坐标系中，（1）式可化为如下六个标量方程：

??E?E?Ex?