概率论与数理统计课后题答案及详解第六章

第六章 样本及抽样分布 总体与个体：

我们将试验的全部可能的观察值称为总体，这些值不一定都不相同，数目上也不一定是有限的，每一个可能观察值称为个体 总体中所包含的个体的个数称为总体的容量 容量为有限的称为有限总体 容量为无限的称为无限总体

设X是具有分布函数F的随机变量，若X1,X2,…,Xn是具有同一分布函数F的、相互独立的随机变量，则称X1,X2,…,Xn为从分布函数F（或总体F、或总体X）得到的容量为n的简单随机样本，简称样本，它们的观察值x1,x2,…,xn称为样本值，又称为X的n个独立的观察值

由定义得：若X1,X2,…,Xn为F的一个样本，则X1,X2,…,Xn相互独立，且它们的分布函数都是F，所以（X1,X2,…,Xn）的分布函数为

F(x1,x2,…,xn)??F(xi)

*i?1n又若X具有概率密度f，则（X1,X2,…,Xn）的概率密度为

f(x1,x2,…,xn)??f(xi).

*i?1n

设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，g(X1,X2,…,Xn)是X1,X2,…,Xn的函数，若g中不含未知参数，则称g(X1,X2,…,Xn)是一统计量

设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，x1,x2,^,x

第六章 样本及抽样分布 总体与个体：

我们将试验的全部可能的观察值称为总体，这些值不一定都不相同，数目上也不一定是有限的，每一个可能观察值称为个体 总体中所包含的个体的个数称为总体的容量 容量为有限的称为有限总体 容量为无限的称为无限总体

设X是具有分布函数F的随机变量，若X1,X2,…,Xn是具有同一分布函数F的、相互独立的随机变量，则称X1,X2,…,Xn为从分布函数F（或总体F、或总体X）得到的容量为n的简单随机样本，简称样本，它们的观察值x1,x2,…,xn称为样本值，又称为X的n个独立的观察值

由定义得：若X1,X2,…,Xn为F的一个样本，则X1,X2,…,Xn相互独立，且它们的分布函数都是F，所以（X1,X2,…,Xn）的分布函数为

F(x1,x2,…,xn)??F(xi)

*i?1n又若X具有概率密度f，则（X1,X2,…,Xn）的概率密度为

f(x1,x2,…,xn)??f(xi).

*i?1n

设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，g(X1,X2,…,Xn)是X1,X2,…,Xn的函数，若g中不含未知参数，则称g(X1,X2,…,Xn)是一统计量

设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，x1,x2,^,x

习题15（参数估计）

一．填空题

1. 设X~e(),X1,X2,?,Xn为来自X的样本，则?的矩估计为 ．

1?2. 设X~N(?,?2),X1,X2,?,Xn为来自X的样本,则?的无偏估计量为 ．

2?1?3. 设X1,X2,X3是总体X的样本，?11?2?(bX1?X2?X3)是总体(X1?aX2?X3)，?46均值的两个无偏估计，则a? ，b? ，这两个无偏估计量中较有效的是 ．二．判断题

1. 参数矩估计是唯一的。（ ）

2. 用距估计和最大似然估计对某参数估计所得的估计一定不一样。（ ） 3. 一个未知参数的无偏估计一定唯一。（ ）

4. 设总体X的数学期望为?,X1,X2,?,Xn为来自X的样本，则X1是?的无偏估计量。（ 三．解答题

1. 设总体的密度为

f(x;?)????(??1)x?,0?x?1,??0,其他.

试用样本X1,X2,?,Xn求参数?的距估计量和最大似然估计量.

1

）

?a?x?xe?,x?02. 设总体X的概率密度为f(x)??2，其中??0，且?为未知参数，

?0,x?0??. （1）试求常数a； （2）求?的最大似然估计量?

1 第1章

三、解答题

1．设P(AB) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A和B不相容； (2) A和B相容； (3) AB是不可能事件； (4) AB不一定是不可能事件； (5) P(A) = 0或P(B) = 0 (6) P(A – B) = P(A) 解：(4) (6)正确.

2．设A，B是两事件，且P(A) = 0.6，P(B) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：因为P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)， 又因为P(B)?P(A?B)即P(B)?P(A?B)?0. 所以

(1) 当P(B)?P(A?B)时P(AB)取到最大值，最大值是P(AB)?P(A)=0.6.

(2) P(A?B)?1时P(AB)取到最小值，最小值是P(AB)=0.6+0.7-1=0.3. 3．已知事件A，B满足P(AB)?P(AB)，记P(A) = p，试求P(B)． 解：因为P(AB)?P(AB)，

即P(AB)?P(A?

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注意： 这是第一稿（存在一些错误） 第六章数理统计习题__偶数.doc

2、解 （1）由题意得：

1n 1n 12

E(X) D(X) E(X) D( Xi) E Xi 2 2

ni 1 ni 1 n

2

2

1n1n1

E(X1 X) E(X1 Xi) E XiX1 2 2

ni 1ni 1n

（2）X1 X服从正态分布，其中：

E(X1 X) 0，D(X1 X) (

从而 X1 X~N(0,由于

n

n 12n 1n 12

)D(X1) 2D(X2) nnn

n 12

) n

Xi

~N(0,1)，i 1,2, n，且相互独立，因此：

2

i 1

Xi

2

~ 2 n

X

~N(0,1)，所以

nX

2

2

~ 2 1

由于

(n 1)S2

2

~ 2 n 1 ，所以

2

nX

2

2

/

(n 1)S

2

(n 1)

nX

S

2

2

~F 1,n 1

（3）由于

i 1

n/2

Xi

n2

2

~ (n/2)，以及

2

n/2i 1

i 1 n/2

n

Xi

n

2

2

~ (n/2)，因此有：

i 1

n/2

Xi

2

2

/

i 1 n/2

Xi

2

Xi /

2

i 1 n/2

Xi

2

nn~F(,)

22

X a~

北京工商大学概率复习资料

第六章 课外练习题（含详细答案）

1. 设X1, ,Xn是总体X~N( , 2)的样本,则 n n 2 2 (1) E (Xi X) E (Xi X)2/ 2 ________. i 1 i 1

答案：(n 1) 2.

n n 2 4(2) D (Xi ) D (Xi )2/ 2 _____. i 1 i 1

4答案：2n .

解：因为X1, ,Xn是总体X~N( , )的样本,所以ES 且222(n 1)S2

2 2(n 1).

(n 1)S2 n2 22 从而(1)E ，所以E(X X) E(n 1)S (n 1) . (n 1) i2 i 1

n 1n2 2 22 或者E (Xi X) (n 1)E (X X) (n 1)ES (n 1) . i i 1 n 1i 1

(2) 由Xi

22n X Xi 2i～N(0,1)，则 ～ (n)，所以D 2n i 1 i 1 n

2 n Xi 2 n 2n Xi 2 44 D 2n . 故D (Xi ) D

概率论与数理统计

第一章 随机事件及其概率

1. 写出下列随机试验的样本空间：

（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；

（2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；

（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；

（4）测量一汽车通过给定点的速度.

解 所求的样本空间如下

（1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}

（2）S= {(x, y)| x 2+y 2<1}

（3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10}

（4）S= {v |v>0}

2. 设A 、B 、C 为三个事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件：

（1）A 发生，B 和C 不发生；

（2）A 与B 都发生，而C 不发生；

（3）A 、B 、C 都发生；

（4）A 、B 、C 都不发生；

（5）A 、B 、C 不都发生；

（6）A 、B 、C 至少有一个发生；

（7）A 、B 、C 不多于一个发生；

（8）A 、B 、C 至少有两个发生.

解 所求的事件表示如下

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)ABC

ABC ABC ABC ABC

A B C AB BC AC

AB BC CA

3．在某小学的学生中任选一名，若事件A 表

习题 一

1．略.见教材习题参考答案.

2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：

（1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C不发生； （3） A，B，C都发生；

（4） A，B，C至少有一个发生； （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C不都发生； （7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生.

【解】（1） A

BC （2） ABC （3） ABC

（4） A∪B∪C=

ABC∪ABC∪A

BC∪ABC∪

A

BC∪ABC∪ABC=ABC

(5)

ABC=A?B?C (6) ABC

(7)

ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪

ABC=ABC=A∪B∪C

(8) AB∪BC∪CA=AB

C∪ABC∪ABC∪ABC

3.略.见教材习题参考答案

4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（AB）.



【解】 P（

AB）=1?P（AB）=1?[P(A)?P(A?B)]

=1?[0.7?0.3]=0.6

5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？

习题 一

1．略.见教材习题参考答案.

2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：

（1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C不发生； （3） A，B，C都发生；

（4） A，B，C至少有一个发生； （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C不都发生； （7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生.

【解】（1） A

BC （2） ABC （3） ABC

（4） A∪B∪C=

ABC∪ABC∪A

BC∪ABC∪

A

BC∪ABC∪ABC=ABC

(5)

ABC=A?B?C (6) ABC

(7)

ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪

ABC=ABC=A∪B∪C

(8) AB∪BC∪CA=AB

C∪ABC∪ABC∪ABC

3.略.见教材习题参考答案

4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（AB）.



【解】 P（

AB）=1?P（AB）=1?[P(A)?P(A?B)]

=1?[0.7?0.3]=0.6

5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？

习题 一

1．略.见教材习题参考答案.

2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：

（1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C不发生； （3） A，B，C都发生；

（4） A，B，C至少有一个发生； （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C不都发生； （7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生.

【解】（1） A

BC （2） ABC （3） ABC

（4） A∪B∪C=

ABC∪ABC∪A

BC∪ABC∪

A

BC∪ABC∪ABC=ABC

(5)

ABC=A?B?C (6) ABC

(7)

ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪

ABC=ABC=A∪B∪C

(8) AB∪BC∪CA=AB

C∪ABC∪ABC∪ABC

3.略.见教材习题参考答案

4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（AB）.



【解】 P（

AB）=1?P（AB）=1?[P(A)?P(A?B)]

=1?[0.7?0.3]=0.6

5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？