能被9整除的数的特征

发现法教学规则的学习案例

《能被3整除的数的特征》教学设计 上海教育出版社2000年版，《数学》五年级第二学期 华东师范大学附属小学 杨素珍 提供 【教学目标】

1．能说出被3整除的数的特征。 2．会判断一个数能否被3整除。

3．会填写一个数的某一位上的数，使这个数能被3整除。

【任务分析】 能被3整除的数的特征是“它每一位上的数之和能被3整除”，这是一条规则。规则学习的条件是构成规则的有关概念“数位”、“数位上的数”、“求和”、“整除”等已被学生掌握。 【教学过程】 一、复习

1．练习：师：下列各数哪些能被2整除？哪些能被5整除？

9 13 24 75 100 120 46 33 325 2 000 4 316 8217 2．说说能被2、5整除的数的特征。 生：看题自己轻轻说。 3．小结：

师：判断一个数能否被2、5整除，均有一个共同点：看个位上的数字。 生：个别汇报。 师（板书）：看个位：能被2整除的数的个位是0、2、4、6、8；能被5整除的数的

发现法教学规则的学习案例

《能被3整除的数的特征》教学设计 上海教育出版社2000年版，《数学》五年级第二学期 华东师范大学附属小学 杨素珍 提供 【教学目标】

1．能说出被3整除的数的特征。 2．会判断一个数能否被3整除。

3．会填写一个数的某一位上的数，使这个数能被3整除。

【任务分析】 能被3整除的数的特征是“它每一位上的数之和能被3整除”，这是一条规则。规则学习的条件是构成规则的有关概念“数位”、“数位上的数”、“求和”、“整除”等已被学生掌握。 【教学过程】 一、复习

1．练习：师：下列各数哪些能被2整除？哪些能被5整除？

9 13 24 75 100 120 46 33 325 2 000 4 316 8217 2．说说能被2、5整除的数的特征。 生：看题自己轻轻说。 3．小结：

师：判断一个数能否被2、5整除，均有一个共同点：看个位上的数字。 生：个别汇报。 师（板书）：看个位：能被2整除的数的个位是0、2、4、6、8；能被5整除的数的

能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征

能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征

性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。

性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。

能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除

能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除 能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除

能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除

能被6整除的数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除

能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以

能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征

能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征

性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。

性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。

能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除

能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除 能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除

能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除

能被6整除的数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除

能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以

能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征

性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。

性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。

能被2整除的数，个位上的数是0、2、4、6、8、的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除

能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除 能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．

例如：4675＝46×100＋75

由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除． 又如： 832＝8×100＋32

由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此， 因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．

能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这

能被3、7、11、13、17、19、23等整除的数的特征

能被11整除的数的特征

把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除. 例如:判断491678能不能被11整除. —→奇位数字的和9+6+8=23

—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11 因此,491678能被11整除. 这种方法叫\奇偶位差法\

除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.

又如:判断583能不能被11整除.

用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.

（1）1与0的特性：

1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a. 0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.

（2）能被2整除的数的特征

若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

（3）能被3整除的数的特征

若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被

第18讲 能被2、5整除的数的特征

同学们都知道，自然数又称为非负整数。同学们还知道，两个整数相加，和仍是整数；两个整数相乘，乘积也是整数；两个整数相减，当被减数不小于减数时，差还是整数。两个整数相除时，情况就不那么简单了。如果被除数除以除数，商是整数，我们就说这个被除数能被这个除数整除；否则，就是不能整除。例如，

84能被2，3，4整除，因为84÷2=42，84÷3=28，84÷4=21，42，28，21都是整数。

而84不能被5整除，因为84÷5=16……4，有余数4。也不能被13整除，因为84÷13=6……6，有余数6。 因为0除以任何正整数，商都是0，所以0能被任何正整数整除。

这一讲的内容是能被2和5整除的数的特征，也就是讨论什么样的数能被2或5整除。

1. 能被2整除的数的特征

因为任何整数乘以2，所得乘数的个位数只有0，2，4，6，8五种情况，所以，能被2整除的数的个位数一定是0，2，4，6或8。也就是说，凡是个位数是0，2，4，6，8的整数一定能被2整除，凡是个位数是1，3，5，7，9的整数一定不能被2整除。

例如，38，172，960等都能被2整除，67，881，235等都不能被2整除

【数学】能被2、3、4、5、7、8、9、11、13、17、19、25、125整除的数的特征

能被2整除的数的特征: 个位上是偶数，

能被3或9整除的数的特征: 所有位数的和是3或9的倍数（例如：315能被3整除，因为3+1+5=9是3的倍感）

能被4或25整除的数的特征：

如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除． 例如：4675＝46×100＋75

由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除． 又如： 832＝8×100＋32

由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此， 因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．

能被5整除的数的特征：个位上的数为0或5，

能被6整除的数的特征：既能被2整除也能被3整除

能被7整除的数的特征：

若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。这种方法叫“

能被7整除的数规律

若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

能被9整除的数的规律

规律：能被9整除的数,这个数的所有位上的数字的和一定能被9整除。

能被11整除的数的规律

若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法:去掉个位数，再从余下的数中，减去个位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除。如果差太大或心算不易看出是否11的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断132是否11的倍数的过程如下：13－2＝11，所以132是11的倍数；又例如判断10901是否11的倍数的过程如下：1090－1＝1089 ，108－9＝99，所以10901是11的倍数，余类推。

被13整除的数规律

相当于

数的整除特征的证明

一、 自然数分解

以五位数举例

abcde=a×10000+b×1000+c×100+d×10+e

二、一个数能被2或5整除

abcde= a×10000+b×1000+c×100+d×10+e

因为10能被2或5整除，所以10的整数倍能被2或5整除，

所以（a×10000+b×1000+c×100+d×10）能被2或5整除，所以只要个位上的e能被2或5整除，则这个数能被2或5整除。

三、一个数能被4或25整除

abcde= a×10000+b×1000+c×100+d×10+e

因为100能被4或25整除，所以100的整数倍能被4或25整除，所以（a×10000+b×1000+c×100）能被4或25整除，所以只要末两位能被4或25整除，则这个数能被4或25整除。

四、一个数能被8或125整除

abcde= a×10000+b×1000+c×100+d×10+e

因为1000能被8或125整除，所以1000的整数倍能被8