三角形的四心例题

三角形的重心是三角形三条中线的交点。

三角形的三条中线必交于一点

已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连结并延长BO，交AC于点E。

三角形的三条中线必交于一点

求证：AE=CE

证明：延长OE到点G，使OG=OB

∵OG=OB,∴点O是BG的中点 又∵点D是BC的中点∴OD是△BGC的一条中位线 ∴AD∥CG

∵点O是BG的中点，点F是AB的中点 ∴OF是△BGA的一条中位线 ∴CF∥AG

∵AD∥CG，CF∥AG,∴四边形AOCG是平行四边形 ∴AC、OG互相平分,∴AE=CE

三角形的重心的性质

1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：

(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3

5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

编辑本段二、三角形的外心

三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或

三角形中的“四心”问题

重心：三角形的三条边上的中线的交点

如果三角形ABC中三边BC、CA、AB上的中点分别是D、E、F 则AD、BE、CF的交点为O，O为三角形ABC的重心

AO?2OD,OA?OB?OC?0,AO?BO?CO?0??x0??AB?AC?2AD?3AO，坐标???y??0xyA?xB?xC?Ay3B

?yC3重心可以得到这些，要证明是否过重心或者是否为重心也就是要证明这些，

垂心：三角形当中三条高的交点

如果三角形的三条高交与H一点，则H就是三角形的垂心，那么我们可以得到

AH?BC?0,BH?AC?0,CH?AB?0 如果PA?PB?PB?PC?PC?PA则P为三角形的垂心

要判断一个点是否过垂心或者就是垂心就是要证明这些或者某些 内心;三角形中的三条角平分线的交点

三角形三条角平分线交与一点O,则这个点O就是三角形中的内心，那么我们可以得到

O 点到三角形的三边的距离相等，其次AO???AB?AC?,BO???BA?BC?,CO???CA?CB?

???????AB?AC???BA?BC???CA?CB????????O是内心也就是三角形的内切圆的圆心，既然是角平分线在向量中就是要单位向量相

三角形中的“四心”问题

重心：三角形的三条边上的中线的交点

如果三角形ABC中三边BC、CA、AB上的中点分别是D、E、F 则AD、BE、CF的交点为O，O为三角形ABC的重心

AO?2OD,OA?OB?OC?0,AO?BO?CO?0??x0??AB?AC?2AD?3AO，坐标???y??0xyA?xB?xC?Ay3B

?yC3重心可以得到这些，要证明是否过重心或者是否为重心也就是要证明这些，

垂心：三角形当中三条高的交点

如果三角形的三条高交与H一点，则H就是三角形的垂心，那么我们可以得到

AH?BC?0,BH?AC?0,CH?AB?0 如果PA?PB?PB?PC?PC?PA则P为三角形的垂心

要判断一个点是否过垂心或者就是垂心就是要证明这些或者某些 内心;三角形中的三条角平分线的交点

三角形三条角平分线交与一点O,则这个点O就是三角形中的内心，那么我们可以得到

O 点到三角形的三边的距离相等，其次AO???AB?AC?,BO???BA?BC?,CO???CA?CB?

???????AB?AC???BA?BC???CA?CB????????O是内心也就是三角形的内切圆的圆心，既然是角平分线在向量中就是要单位向量相

【典型例题】 例1. （2008年陕西）已知：如图，B、C、E三点在同一直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B．求证：△ABC≌△CDE． 分析：已知条件中具备AC＝CE，要证明两个三角形全等，需要推证其它的对应边、对应角相等，而由AC∥DE得∠E＝∠ACB，∠D＝∠ACD，又因为∠ACD＝∠B，所以∠D＝∠B．得到两个三角形全等的条件。 解：∵AC∥DE，∴∠ACD＝∠D，∠BCA＝∠E． 又∵∠ACD＝∠B，∴∠B＝∠D． 在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE． 评析：从已知条件入手寻找三角形全等的条件，灵活运用平行线的性质推导∠D＝∠ACD，∠E＝∠ACE．解题关键是利用平行线的性质获得三角形全等的条件。 例2. （2008年浙江衢州）如图，AB∥CD （1）用直尺和圆规作∠C的平分线CP，CP交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）中作出的线段CE上取一点F，连结AF．要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件（只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明）． 分析：根据角平分线的作法，分三步得到∠C的平分线．对于补充条件使△ACF

儒洋教育学科教师辅导讲义

学员姓名： 年 级： 课时数： 辅导科目： 学科教师： 课 题 授课时间： 教学目标 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的几条重要线段：

（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质

（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180°

（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。

4. 补充性质：在?ABC中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则三角形、等腰三角形以及全等三角形的证明 备课时间： S?ABE?S?CDE?S

收集(部分证明)了三角形四心相关性质,对高中生更加了解向量和三角形有一定帮助。

符号说明：“AB”表示向量，“|AB|”表示向量的模
【一些结论】：以下皆是向量
1 若P是△ABC的重心PA+PB+PC=0
2 若P是△ABC的垂心PA*PB=PB*PC=PA*PC(内积）
3 若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）
4 若P是△ABC的外心|PA|=|PB|=|PC|
（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）
5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心
6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心
7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）
或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+∞) 经过重心
8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,∠C的外角平分线的交点
【以下是一些结论的有关证明】
1.
O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量
充分性：
已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，
延长CO交AB于D，根据向量加法得：
OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已

三角形（二）——特殊三角形

【等腰三角形】

1．有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形。 2．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

3．等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。（常称为“三线合一”）。 4．如果一个三角形有两个内角相等，则它是等腰三角形。

姓 名： 【典型例题】

例1.已知?ABC中，那么?ABC一定是（ ） ?B与?C的平分线的交点P恰好在BC边的高AD上， （A）直角三角形 （B）等边三角形 （C）等腰三角形 （D）等腰直角三角形

第12届（2001年）初二培训

例2.如图2，在?ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，它们相交于F点，是图中等腰三角形的个数是（ ）

第14届（2003年）初二培训

图2

例3.等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ）。

图1

（A）30° （B）30°或150° （C）120°或150° （D）30°或120°或150°

第10届（1999年）初二第

精品

特殊三角形复习

【内容综述】

等腰三角形和直角三角形是两种非常特殊的三角形，本讲中通过一系列有关等腰三角形或直角三角形的问题的解决，既是复习有关三角形全等的知识，同时也是培养同学们分析、解决问题的能力。同学们通过学习下面问题的分析、解答过程，特别要注意体会如何根据题目的已知信息和图形特征作出适当的辅助线。这是学习本节的难点所在。

【要点讲解】

★★例1 如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于G。

求证：DG=EG。

思路因为△GDB和△GEC不全等，所以考虑在△GDB内作出一个与△GEC全等的三角形。

证明：过D作DH∥AE，交BC于H

∴

∵AB=AC

∴

∴

∴DB=DH

又∵DB=CE

∴DH=CE

又∵

∴

∴DG=EG.

说明本题易明显得出DG和EG所在的△DBG和△ECG不全等，故要构造三角形的全等，本题的另一种证法是过E作EF∥BD，交BC的延长线于F，证明△DBG≌△EFG，读者不妨试一试。

★★例2 如图2-8-2，D为等边△ABC的内部一点，DB=DA，BE=AB，∠DBE=∠DBC，求∠BED的度数。

.

精品

思路从已知中知等边△ABC的每个内角为60°。所以要想办法把∠BED和60

篇一：《三角形的分类》习题

《三角形的分类》习题

一、下面的说法，对的打“√”，错的打“×”。

1.有一个是锐角的三角形是锐角三角形。（ ）

2.直角三角形只有两个锐角。（ ）

3.如果一个三角形中最大的角小于90°，那么这个三角形一定是锐角三角形。（ ）

4.一个三角形不是锐角三角形，就是钝角三角形。（ ）

5.所有等边三角形都是等腰三角形而且都是锐角三角形。 （ ）

6.由三条直线围成的图形叫做三角形。（ ）

7.在一个三角形中，不可能有两个或两个以上的直角。（ ）

8.在同一个三角形中，只能有一个角是钝角。（ ）

9.一个三角形中，至少有两个角是钝角。（ ）

10.两个角相等的三角形是等腰三角形。（ ）

11.等边三角形一定是锐角三角形。（ ）

12.三角形中最多有一个直角。（ ）

二、填空题。

1.三角形按角分类可分成（ ）三角形、（ ）三角形和（ ）三角形。

2.一个三角形中最大的角是锐角，这个三角形是（ ）三角形。

3.一个三角形中最大的角是120°，这个三角形是（ ）三角形。

4.你能给三角形分类吗：

三、选择。

1.三条边相等的三角形是（ ）三角形。

A．不等边B．等腰 C．等边

2.等腰三角形有（ ）条边相等。

A．1 B．2C．3

3.任何一个三角形至少有（ ）个锐角

三角形 综合习题

一、选择题

1．一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在 ( )

A．三角形内部 C．三角形外部

B．三角形的一边上 D．三角形的某个顶点上

2．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是 ( ) A．4、5、6 C．5、7、12

B．6、8、15 D．3、9、13

3．在锐角三角形中，最大角α的取值范围是 ( ) A．0°＜α＜90° C．60°＜α＜180°

4．下列判断正确的是 ( )

A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等 C．有一角和一条边对应相等的两个直角三角形全等 D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等

5．等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，则x的取值范围是( ) A．x＜6 C．0＜x＜12

B．6＜x＜12 D．x＞12

B．60°＜α＜90° D．60°≤α＜90°

6．已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B＋∠C＝3∠A．则此三

角形 ( )

A．一定有一个内角为45° B．一定有一个内角为60° C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形

7．三角