导数压轴题型归类

导数压轴题题型

1. 高考命题回顾

x

例1已知函数f(x)＝e－ln(x＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷）

(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0.

11xx0

(1)解 f(x)＝e－ln(x＋m)?f′(x)＝e－?f′(0)＝e－＝0?m＝1，

x＋m0＋mx1ex＋－1

定义域为{x|x>－1}，f′(x)＝ex－＝，

x＋mx＋1

显然f(x)在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．

1xx(2)证明 g(x)＝e－ln(x＋2)，则g′(x)＝e－(x>－2)．

x＋2

11xxh(x)＝g′(x)＝e－(x>－2)?h′(x)＝e＋>0，

x＋2x＋2

所以h(x)是增函数，h(x)＝0至多只有一个实数根，

1111

又g′(－)＝－<0，g′(0)＝1－>0，

22e3

2

?1?

所以h(x)＝g′(x)＝0的唯一实根在区间?－，0?内，

?2?

?1?1t设g′(x)＝0的根为t，则有g′(t)＝e－＝0?－

t＋2?2?

1

所以，et＝?t＋2＝e－t，

t＋2

当x∈(－2，t)时，g′(x)g′(t)＝0，g(x)单调递增；

1＋t2t所以g(x)min＝g(t)＝e－ln(t＋2)＝＋t＝>

导数压轴题题型

1. 高考命题回顾

例1已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷）

(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0.

11

(1)解 f(x)＝ex－ln(x＋m)?f′(x)＝ex－?f′(0)＝e0－＝0?m＝1，

x＋m0＋m

ex?x＋1?－11x

定义域为{x|x>－1}，f′(x)＝e－＝，

x＋mx＋1

显然f(x)在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．

1

(2)证明 g(x)＝ex－ln(x＋2)，则g′(x)＝ex－(x>－2)．

x＋2

11

h(x)＝g′(x)＝ex－(x>－2)?h′(x)＝ex＋>0，

x＋2?x＋2?2所以h(x)是增函数，h(x)＝0至多只有一个实数根，

1111

又g′(－)＝－<0，g′(0)＝1－>0，

22e3

2

1

－，0?内， 所以h(x)＝g′(x)＝0的唯一实根在区间??2?

11

－

1－

所以，et＝?t＋2＝et，

t＋2

当x∈(－2，t)时，g′(x)g′(t)＝0，g(x)单调递增；

?1＋t?21t

所以g(x)min＝g(t)＝e－ln(t＋2)＝＋t＝>0，

t＋2t＋2

当m≤2时，有ln(x＋m)≤ln(x

导数压轴题题型

1. 高考命题回顾

x

例1已知函数f(x)＝e－ln(x＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷）

(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0.

11xx0

(1)解 f(x)＝e－ln(x＋m)?f′(x)＝e－?f′(0)＝e－＝0?m＝1，

x＋m0＋mx1ex＋－1

定义域为{x|x>－1}，f′(x)＝ex－＝，

x＋mx＋1

显然f(x)在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．

1xx(2)证明 g(x)＝e－ln(x＋2)，则g′(x)＝e－(x>－2)．

x＋2

11xxh(x)＝g′(x)＝e－(x>－2)?h′(x)＝e＋>0，

x＋2x＋2

所以h(x)是增函数，h(x)＝0至多只有一个实数根，

1111

又g′(－)＝－<0，g′(0)＝1－>0，

22e3

2

?1?

所以h(x)＝g′(x)＝0的唯一实根在区间?－，0?内，

?2?

?1?1t设g′(x)＝0的根为t，则有g′(t)＝e－＝0?－

t＋2?2?

1

所以，et＝?t＋2＝e－t，

t＋2

当x∈(－2，t)时，g′(x)g′(t)＝0，g(x)单调递增；

1＋t2t所以g(x)min＝g(t)＝e－ln(t＋2)＝＋t＝>

第一章 导数及其应用

一， 导数的概念

lim1..已知f(x)?,则?x?0

f(2??x)?f(2)的值是（ ）

?x11A. ? B. 2 C. D. －2

44h?01x变式1：设f??3??4,则lim

A．－１

f?3?h??f?3?为（ ）

2hＢ．－2 C．－3

f?x0??x??f?x0?3?x?变式2：设f?x?在x0可导,则lim等于 ?x?0?x A．2f??x0?

B．f??x0?

C．3f??x0?

D．1

D．4f??x0?

（ ）

导数各种题型方法总结

请同学们高度重视：

首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法

5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在

其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。

最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；

1、此类

导数压轴题题型归纳

1. 高考命题回顾

例1已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷）

(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0.

例2已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且

在点P处有相同的切线y＝4x+2（2013全国新课标Ⅰ卷） （Ⅰ）求a，b，c，d的值

（Ⅱ）若x≥－2时, f(x)?kg(x)，求k的取值范围。 例3已知函数f(x)满足f(x)?f'(1)ex?12. 在解题中常用的有关结论※

(1)曲线y?f(x)在x?x0处的切线的斜率等于f?(x0)，且切线方程为y?f?(x0)(x?x0)?f(x0)。 f?(x0)?0。反之，不成立。 (2)若可导函数y?f(x)在 x?x0 处取得极值，则(3)对于可导函数f(x)，不等式f?(x)?0??0?的解集决定函数f(x)的递增（减）区间。 ?0(?0)恒成立（f?(x) 不恒为(4)函数f(x)在区间I上递增（减）的充要条件是：?x?If?(x)0）. (5)函数f(x)（非常量函数）在区间I上不单调等价于f(x

高考小说题型归类

一、要点概括题

概括题解题基本要求

★认真审读题干，确定有效答题区域，在答题区域内梳理层次，采用摘要法、归纳法，摘取关键词语或语句做答。

★依据原文找依据，找答案。

★答题时注意根据要求分点答题，结合分值判断答题的要点数目，一般而言，3分的题目答三个要点，4分的题目答两个要点或四个小点，6分的题目一般答三个要点。

★找准陈述的对象,一般用主谓句的形式陈述，注意保持陈述角度及结构形式的一致。 ★概括力求简练、全面、准确，但也不能把简答题答成填空题。

1、概括小说故事情节

把握好故事情节，是读懂小说的关键，是欣赏小说艺术特点的基础，也是整体感知文章的起点。命题者在为小说命题时，也必定以此为出发点，先从整体上设置理解文章内容的试题。

情节概括主要有以下形式

①用一句话或简明的语句概括故事情节；

②文章写了哪几件事，请依次加以概括；

③概括小说的部分内容（包括指出开端、发展、高潮和结局四部分中的某一方面）。

【解题思路】

对这种题型，我们要牢记三点：一、对事件的概述，我们必须按照“何时何地何人做何事”的格式加以概括（材料本身未涉及的除外，尤其是“做何事”不能省），万不可粗枝大叶，丢失了本该有的要素；二、由于事件的复杂性，我们在概括时，要避免前后情节的相互交错；

整理：beijingdaxue gaojiejack ◇导数专题

目 录

一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1） 二、交点与根的分布 （23） 三、不等式证明 （31）

（一）作差证明不等式

（二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式

四、不等式恒成立求字母范围 （51）

（一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数

（三）恒成立之讨论字母范围

五、函数与导数性质的综合运用 （70） 六、导数应用题 （84）

七、导数结合三角函数 （85）

书中常用结论(zhongdianzhangwo) ⑴sinx?x,x?(0,?)，变形即为点连线斜率小于1. ⑵ex?x?1 ⑶x?ln(x?1) ⑷lnx?x?ex,x?0.

sinx?1，其几何意义为y?sinx,x?(0,?)上的的点与原x一、导数单调性、极值、最值的直接应用

1. （切线）设函数f(x)?x2?a.

（1）当a?1时，求函数g(x)?xf(x)在区间[0,1]上的最小值； （2）当a?0时，曲线y?f(x)在点P(x1,f(x1))(x1?a)处的切线为l，l与x轴交于点A(x2,0)求证：x1?x2?a.

1

解：(1)a?1时，g(x

整理：beijingdaxue gaojiejack ◇导数专题

目 录

一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1） 二、交点与根的分布 （23） 三、不等式证明 （31）

（一）作差证明不等式

（二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式

四、不等式恒成立求字母范围 （51）

（一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数

（三）恒成立之讨论字母范围

五、函数与导数性质的综合运用 （70） 六、导数应用题 （84）

七、导数结合三角函数 （85）

书中常用结论(zhongdianzhangwo) ⑴sinx?x,x?(0,?)，变形即为点连线斜率小于1. ⑵ex?x?1 ⑶x?ln(x?1) ⑷lnx?x?ex,x?0.

sinx?1，其几何意义为y?sinx,x?(0,?)上的的点与原x一、导数单调性、极值、最值的直接应用

1. （切线）设函数f(x)?x2?a.

（1）当a?1时，求函数g(x)?xf(x)在区间[0,1]上的最小值； （2）当a?0时，曲线y?f(x)在点P(x1,f(x1))(x1?a)处的切线为l，l与x轴交于点A(x2,0)求证：x1?x2?a.

1

解：(1)a?1时，g(x

导数应用题

1. 某工厂生产某种儿童玩具，每件玩具的成本为30元，并且每件玩具的加工费为t元(其中t为常数，且2≤t≤5)，设该工厂每件玩具的出厂价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例，当每件玩具的出厂价为40元时，日销售量为10件．

(1)求该工厂的日利润y(元)与每件玩具的出厂价x元的函数关系式；

(2)当每件玩具的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值．

40解：(1)设日销售量为，则＝10，∴k＝10 e.则日销售量为，

.∴y＝，其中35≤x≤41. ∴日利润y＝(x－30－t)·

(2)y′＝，令y′＝0得x＝31＋t.

①当2≤t≤4时，33≤31＋t≤35.∴当35≤x≤41时，y′≤0.

5∴当x＝35时，y取最大值，最大值为10(5－t)e.

35<t＋31≤36 ，t＋31]上单调递增，②当4<t≤5时，函数y在[35，在[t＋31,41]上单调递减．

9t∴当x＝t＋31时，y取最大值10e－.

∴当2≤t≤4时，x＝35时，日利润最大值为10(5－t)e5元．

9t当4<t≤5时，x＝31＋t时，日利润最大值为10e－元．

2. 如图，ABCD是正方形空

1已知函数f(x) ax3 bx2 (c 3a 2b)x d的图象如图所示．

（I）求c,d的值；

（II）若函数f(x)在x 2处的切线方程为3x y 11 0，求函数f(x)的解析式；

（III）在（II）的条件下，函数y

f(x)与y

1

f (x) 5x m3

的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．

2．已知函数f(x) alnx ax 3(a R)．

（I）求函数f(x)的单调区间；

（II）函数f(x)的图象的在x 4处切线的斜率为

g(x)

13m

x x2[f'(x) ]在区间（1，3）上不是单调函数，求32

3

,若函数2

m的取值范围．

3．已知函数f(x) x3 ax2 bx c的图象经过坐标原点，且在x 1处取得极大值．

（I）求实数a的取值范围；

(2a 3)2

（II）若方程f(x) 恰好有两个不同的根，求f(x)的解析式；

9

（III）对于（II）中的函数f(x)，对任意 、 R，求证： |f(2sin ) f(2sin )| 81．

4．已知常数a 0，e为自然对数的底数，函数f(x) ex x，g(x) x2 alnx．

（I）写出f(x)的单调递增区间，并证明ea a； （II）讨论函数y g(x)在区间(1,ea)上零点的个数．

5．已知函