欧式几何的五大公理

欧式几何

932年，德国数学家希尔伯特终于出来宣布：“根据平行公理之外的公理来证明平行公理的尝试已经有两千多年(直到20世纪初)，始终未获成功。双曲几何(非欧几何)模型的发现，揭露出这种证明的不可能性”(《直观几何》)。 一.第五公设，两千年来被公认的无法证明的公设。

欧几里得第五公设，也称为平行公设（parallel postulate），因是《几何原本》五条公设的第五条而得名。这是欧几里得几何一条与别不同的公理，比前四条复杂。公设是说： 如果一条直线与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角的一侧相交。

其被称为不可证明。原因有二。

(一)。因为他与平行公设等价。任何与平行线有关的证明方法与他无关。

Playfair 公理。平行公设。给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一条直线与之平行。于是很多我们熟悉的命题都对他无效。

如：三角形内角和为两直角。 所有三角形的内角和都相等。 存在一对相似但不全等的三角形。 所有三角形都有外接圆。. 若四边形三个内角是直角，那么第四个内角也是直角。 存在一对等距的直线。 若两条直线都平行于第三条，那么这两条直线也平行。 三角形内角

欧式几何

932年，德国数学家希尔伯特终于出来宣布：“根据平行公理之外的公理来证明平行公理的尝试已经有两千多年(直到20世纪初)，始终未获成功。双曲几何(非欧几何)模型的发现，揭露出这种证明的不可能性”(《直观几何》)。 一.第五公设，两千年来被公认的无法证明的公设。

欧几里得第五公设，也称为平行公设（parallel postulate），因是《几何原本》五条公设的第五条而得名。这是欧几里得几何一条与别不同的公理，比前四条复杂。公设是说： 如果一条直线与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角的一侧相交。

其被称为不可证明。原因有二。

(一)。因为他与平行公设等价。任何与平行线有关的证明方法与他无关。

Playfair 公理。平行公设。给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一条直线与之平行。于是很多我们熟悉的命题都对他无效。

如：三角形内角和为两直角。 所有三角形的内角和都相等。 存在一对相似但不全等的三角形。 所有三角形都有外接圆。. 若四边形三个内角是直角，那么第四个内角也是直角。 存在一对等距的直线。 若两条直线都平行于第三条，那么这两条直线也平行。 三角形内角

三角形之鸟头模型

共角定理（鸟头模型）

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在△ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图(或D 、E 分别在BA 、CA 延长线上)，则

S?ADEADAEAD?AE小?小??? (夹角两边：) S?ABCABACAB?AC大?大即，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 例题讲解：

1、如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？

2、如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．

3、如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB : AD = 5 : 2，AE :EC = 3: 2，

S?ADE?12平方厘米，求△ABC 的面积．

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4、 如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB?2:5，AE:AC?4:7，S△AD

三角形等高模型与鸟头模型

模型一 三角形等高模型

已经知道三角形面积的计算公式：

三角形面积?底?高?2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．

如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时

1发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来

3的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如图 S1:S2?a:b

ABS1aS2bCD

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACD?S△BCD；

反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边

三角形等高模型与鸟头模型

模型一 三角形等高模型

已经知道三角形面积的计算公式：

三角形面积?底?高?2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．

如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时

1发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来

3的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如图 S1:S2?a:b

ABS1aS2bCD

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACD?S△BCD；

反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边

金钥匙小学六年级奥数复习资料

小学奥数平面几何五大定律

教学目标：

1． 熟练掌握五大面积模型

2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图S1:S2?a:b

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S△ACDaS1S2AbB?S△BCD；

CD反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)， 则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)

DAADEEB

图⑴ 图⑵

三、蝴蝶定理

五大乳房的形状

{ 皿型

特征：底面积大，高度低，曲线不明。 功能选择：

2 可帮助胸部肌肉挺实，具有由两侧向内集中的功能，向上衬托的效果。 2 衬垫型罩杯较浅，肋边加有软条以固定及集中腋下肌肉。 2 1/2罩杯上缘不受束缚，且胸部外露、面积较大。 2 3/4前开钢圈型有向内集中向上衬托之功能。 2 另外可考虑穿一组长腰胸罩。

{ 圆锥型

特征：底面积适中，高度适中，乳房根部突起较为丰满，上缘较为平坦，乳头稍微向上翘，东方女性居多。 功能选择：

2 以钢圈型及肋边加有软条或松紧网状伸缩布料，来加强集中效果。 2 罩杯可选择有衬或无衬都可，只需注意正确尺码及正确罩杯容量。 2 依个人针对外衣的需求来选择其高度。

{ 半球型

特征：像圆球的一半，高度适中，西方女性常见胸型。 功能选择：

2 最容易选择内衣的款式故不用考虑到机能问题，此种胸部是为女性最希望拥有的，不挑造型可以凭自己喜欢挑选有衬和无衬，衬厚衬薄皆可。当然可以选择3/4薄衬显得更有魅力。

{ 纺锤型

特征：底面积适中，高度高。 功能选择：

2

小升初几何重点考查内容

(★★★)

如图，长方形ABCD中，BE∶EC＝2∶3，DF∶FC＝1∶2，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积。

1

(★★★)

在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点， AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是多少平方厘米。

(★★★)

如图，在梯形ABCD中，AD∶BE＝4∶3，BE∶EC＝2∶3，且△BOE的面积比△AOD的面积小10平方厘米。梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

(★★★)

在三角形ABC中，三角形AEO的面积是1，三角形ABO的面积是2，三角形BOD的面积是3，则四边形DCEO的面积是多少？

(★★★★)

如图，E在AC上，D在BC上，且AE∶EC＝2∶3，BD∶DC＝1∶2，AD与BE交于点F。四边形DFEC的面积等于22cm2，则三角形ABC的面积是______。

2

(★★★★★) 如图在△ABC中，

?GHI的面积DCEAFB2的值。 ???，求

?ABC的面积DBECFA3

在线测试题

温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。

1．已知长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF

关于五大领域的教案

【篇一：五大领域教案】

小班健康领域:防火小能手 游戏目标：

1、训练爬、跑等动作技能。

2、练习遇到火险时的自救方法，提高自我保护意识和安全意识。 游戏准备：

1、经验准备：幼儿了解防火的相关知识，知道如何自救。

2、物质准备：地垫2组、盛满水的塑料容器2个、毛巾与幼儿人数相等，小锤子2个，鼓1个。 游戏玩法：

把幼儿分成2组，当幼儿听到鼓声时，每组第一名幼儿迅速跑到毛巾处，拿起一条毛巾，跑到盛满水的容器面前，把毛巾沾湿后捂住嘴巴和鼻子，趴到地垫上匍匐前进，到达终点后用锤子敲一下小鼓，下一名幼儿再开始游戏。 游戏规则：

1、每个组员都要在听到鼓声后才能出发。 2、必须用毛巾捂住嘴和鼻在地垫上爬行。 延伸活动：

可在游戏后开展真正的防火演习活动。 小班语言活动教案：谁有困难我来帮 一、活动目标 (一)认知目标

1．知道故事内容、人物及发生的事情。

2．发展思维的想像力，想出许多办法帮助小兔。 3．学习新词：漏、湿、撑。 (二)情感目标

萌发幼儿关心他人，爱帮助别人的情感。 二、活动准备 (一)物质准备

1．图片，投影仪，录音机，磁带，小兔木偶一个。

2．小兔、熊、山羊、猴、松

关于五大领域的教案

【篇一：五大领域教案】

小班健康领域:防火小能手 游戏目标：

1、训练爬、跑等动作技能。

2、练习遇到火险时的自救方法，提高自我保护意识和安全意识。 游戏准备：

1、经验准备：幼儿了解防火的相关知识，知道如何自救。

2、物质准备：地垫2组、盛满水的塑料容器2个、毛巾与幼儿人数相等，小锤子2个，鼓1个。 游戏玩法：

把幼儿分成2组，当幼儿听到鼓声时，每组第一名幼儿迅速跑到毛巾处，拿起一条毛巾，跑到盛满水的容器面前，把毛巾沾湿后捂住嘴巴和鼻子，趴到地垫上匍匐前进，到达终点后用锤子敲一下小鼓，下一名幼儿再开始游戏。 游戏规则：

1、每个组员都要在听到鼓声后才能出发。 2、必须用毛巾捂住嘴和鼻在地垫上爬行。 延伸活动：

可在游戏后开展真正的防火演习活动。 小班语言活动教案：谁有困难我来帮 一、活动目标 (一)认知目标

1．知道故事内容、人物及发生的事情。

2．发展思维的想像力，想出许多办法帮助小兔。 3．学习新词：漏、湿、撑。 (二)情感目标

萌发幼儿关心他人，爱帮助别人的情感。 二、活动准备 (一)物质准备

1．图片，投影仪，录音机，磁带，小兔木偶一个。

2．小兔、熊、山羊、猴、松