二阶非线性系统

分数阶非线性系统论文：稳定性PI~α控制器双参数Mittag-Leffler函数估值定理分数阶超混沌Chen系统分数阶统一混沌系统

【提示】本文仅提供摘要、关键词、篇名、目录等题录内容。为中国学术资源库知识代理，不涉版权。作者如有疑义，请联系版权单位或学校。

【摘要】分数阶非线性系统理论对推动现代数学、物理学的进步起到了十分重要的作用，它不仅拓展了经典的整数阶系统理论，而且作为数学工具能够更好地描述大自然中的研究对象。而稳定性是保证系统良好运行的关键问题，因此研究分数阶非线性系统的稳定性问题具有十分重要的理论和实际意义。本文首先对I. Podlubny提出的双参数Mittag-Leffler函数估值定理中的限制条件进行了分析，通过证明得出了该定理部分条件约束范围过宽的结论，因此对双参数Mittag-Leffler函数进行重新定义并推导出改进的双参数Mittag-Leffler函数估值定理。然后提出了一个可适用于一类分数阶非线性系统的稳定性理论，并利用改进的双参数Mittag-Leffler函数估值定理和Gronwall定理进行了证明。其次针对分数阶超混沌Chen系统模型设计了PI~α控制器，将同步误差的比例和积分同时加入控制器中，以实现混沌系

分数阶非线性系统论文：稳定性PI~α控制器双参数Mittag-Leffler函数估值定理分数阶超混沌Chen系统分数阶统一混沌系统

【提示】本文仅提供摘要、关键词、篇名、目录等题录内容。为中国学术资源库知识代理，不涉版权。作者如有疑义，请联系版权单位或学校。

【摘要】分数阶非线性系统理论对推动现代数学、物理学的进步起到了十分重要的作用，它不仅拓展了经典的整数阶系统理论，而且作为数学工具能够更好地描述大自然中的研究对象。而稳定性是保证系统良好运行的关键问题，因此研究分数阶非线性系统的稳定性问题具有十分重要的理论和实际意义。本文首先对I. Podlubny提出的双参数Mittag-Leffler函数估值定理中的限制条件进行了分析，通过证明得出了该定理部分条件约束范围过宽的结论，因此对双参数Mittag-Leffler函数进行重新定义并推导出改进的双参数Mittag-Leffler函数估值定理。然后提出了一个可适用于一类分数阶非线性系统的稳定性理论，并利用改进的双参数Mittag-Leffler函数估值定理和Gronwall定理进行了证明。其次针对分数阶超混沌Chen系统模型设计了PI~α控制器，将同步误差的比例和积分同时加入控制器中，以实现混沌系

Cahn Hilliard的论文

Free Energy of a Nonuniform System. I. Interfacial Free EnergyJohn W. Cahn and John E. Hilliard Citation: The Journal of Chemical Physics 28, 258 (1958); doi: 10.1063/1.1744102 View online: /10.1063/1.1744102 View Table of Contents: /content/aip/journal/jcp/28/2?ver=pdfcov Published by the AIP Publishing Articles you may be interested in Lennard-Jones systems near solid walls: Computing interfacial free energies from molecular simulation methods J. Chem. Phys. 139, 084705 (2013); 10.1063/1.4819061 Bcc crysta

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§3-3 相平面法相平面法是基于时域的一种图解分析方法。 是状态空间法在二维情况下的应用。 一、相平面的基本概念 二阶时不变系统(可以是线性的，也可以是非线性的)

f ( x, x ) 0 来描述。 x 一般可用常微分方程 式中，设输入信号为零，x 表示系统中的某一个物 ) 是 x 和 x 理量， f ( x , x 的解析函数。 ) 控制系统的任一动态过程可由状态变量 ( x , x 来表示。

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为横轴和纵轴构成的坐标平 1.相平面:以x 和 x 面. 2.相点:相平面上任一点 ) ( x, x

3.相轨迹: 对二阶系统来讲，从某一初始状态出发， 以时间t为参变量，便可画出一条连续变化的相轨迹。

x

M1

x M2

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4.相轨迹特点: ⑴与初始点(状态)密切相关. ⑵可以不直接求出微分方程而获得系统所有 运动状态. 5.相轨迹判断系统稳定性x(x0,x0)

x(x0,x0)

x

x

x

(x,,x)

x

漸進穩定系統

不穩定

持續振蕩

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二、相平面图绘制方法 1.解析法:适用于微分方程简单(二阶)或可分段线 性化. f ( x, x ) 0 x 设二阶系统

(*)

非线性系统的相平面法分析

实验九 非线性系统的相平面法分析

一．实验目的

1．掌握相平面法分析非线性系统；

2．用相平面法分析非线性二阶系统，并绘制相轨迹图；

二．实验内容

1．搭建继电型非线性二阶系统，观测并绘制其相轨迹图；

2．搭建带速度反馈的继电型非线性二阶系统，观测并绘制其相轨迹图；

3．搭建饱和型非线性二阶系统，观测并绘制其相轨迹图。

三．实验步骤

在实验中观测实验结果时，可选用普通示波器，也可选用本实验台上的虚拟示波器。 如果选用虚拟示波器，只要运行ACES程序，选择菜单列表中的相应实验项目，再选择开始实验，就会打开虚拟示波器的界面，点击开始即可使用本实验台上的虚拟示波器CH1、CH2两通道观察被测波形。具体用法参见用户手册中的示波器部分。

1．继电型非线性二阶系统

实验中所用到的功能区域：

阶跃信号、虚拟示波器、实验电路A1、A2、A3、A5、A6。

继电型非线性二阶系统模拟电路如图1-9-1所示

图1-9-1继电型非线性二阶系统模拟电路

（1） 设置阶跃信号源：

A．将阶跃信号区的选择开关拨至“0～5V”；

B．将阶跃信号区的“0～5V”端子与实验电路A1的“IN11”端子相连接；

C．按压阶跃信号区的红色开关按钮就可以在“0～5V”端子产生阶跃信号。

（2） 搭

随机信号通过线性系统和非线性系统后

会是什么样子的

实验一随机信号通过线性系统和非线性系统后的特性测试 1.实验目的

⑴了解随机信号自身的特性，包括均值(数学期望)、方差、相关函数、频谱及功率谱密度等。

⑵研究随机信号通过线性系统和非线性系统后的均值方差、相关函数、频谱及功率谱密度有何变化，分析线性系统和非线性系统受随机信号激励后的响应。

⑶掌握随机信号的分析方法。 ⒉实验原理

⑴随机信号的分析方法

在信号系统中，我们可以把信号分成两大类--确知信号和随机信号。确知信号具有一定的变化规律，因而容易分析，而随机信号无确知的变化规律，需要用统计特性进行分析。我们在这里引入了随机过程的概念。所谓随机过程，就是随机变量的集合，每个随机变量都是随机过程的一个取样序列。随机过程可分为平稳的和非平稳的、遍历的和非遍历的。如果随机信号的统计特性不随时间的推移而变化，则随机信号是平稳的。如果一个平稳的随机过程它的任意一个样本都具有相同的统计特性，则随机过程是遍历的。我们下面讨论的随机过程都认为是平稳的遍历的随机过程，因此，我们可以取随机过程的一个样本来描述随机过程的统计特性。

随机过程的统计特性一般采用随机过程的分部函数和概率密度来描述，它们能够对随机过程作完整

8-1考虑并回答下面的问题：

（a）在确定非线性元件的描述函数时，要求非线性元件不是时间的函数，并要求有斜对称性，这是为什么？

（b）什么样的非线性元件是无记忆的？什么样的非线性元件是有记忆的？它们的描述函数各有什么特点？

（c）线性元件的传递函数与非线性元件的描述函数，有什么是相同的？有什么是不同的？线性元件可以有描述函数吗？非线性元件可以有传递函数吗？

（d）非线性系统线性部分的频率特性曲线与非线性元件的负倒描述函数曲线相交时，系统一定能够产生稳定的自激振荡吗？

8-2设非线性元件的输入、输出特性为

y(t)?b1x(t)?b3x(t)?b5x(t)

35证明该非线性元件的描述函数为

N(A)?b1?34b3A?258b5A

4式中A为非线性元件输入正弦信号的幅值。

8-3某非线性元件的输入、输出特性如图8.61所示。

aaxy

图8.61 习题8-3图

（a）试求非线性元件的描述函数。

（b）将图8.61所示非线性元件表示为有死区继电器和有死区放大器的并联，用非线性元件并联描述函数的求法求它的描述函数，并与（a）中的结果相比较。

8-4滞环继电特性如图8.62（a）所示，证明它的描述函数可以表示为

N(A)?4M?a??arcsi

自动控制理论第七章 非线性系统的分析方安徽工业大学

炜电气信息学院

本章的主要内容1 非线性系统的基本概念

2 二阶线性和非线性系统的相平面分析 3 4 5 描述函数法 典型非线性特性的描述函数

非线性系统的谐波平衡法分析

安徽工业大学电气信息学院

7-1

非线性系统的基本概念

一、非线性系统基本概念系统的非线性程度比较严重，无法用小范围线 性化方法化为线性系统，称为非线性系统。有两种情 况 (1)系统中存在非线性元件；(2)为了某种控 制目的，人为引进的非线性。

非线性系统与线性系统的区别1、线性系统的稳定性和零输入响应的性质只取决于 系统的结构、参数，而和系统的初始状态无关。

非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取决于 系统的结构、参数，而且与系统的初始状态有关。

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2、线性系统只有两种基本运动形式：发散(不稳定)和收 敛(稳定)。 非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外，即使无外 界作用，也可能会发生自持振荡。 3、在正弦输入下，线性系统的输出是同频率正弦信号。 非线性系统在正弦输入下，输出是周期和输入相同、含 有高次谐波的非正弦信号。

4、线性系统分析可用迭加原理，在典型输入信号下系统分 析的结果也适用于其它情况。 非线性系统不能应

随机信号实验报告

信号通过线性与非线性系统的分析

小组成员：

一．目的与背景

⑴ 了解随机信号自身的特性，包括均值（数学期望）、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度等。

~ 1 ~

⑵ 研究随机信号通过线性系统和非线性系统后的均值、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度有何变化，分析线性系统和非线性系统受随机信号激励后的响应。 ⑶ 掌握随机信号的分析方法。

二．实验原理

⑴ 随机信号的分析方法

在信号系统中，我们可以把信号分成两大类——确知信号和随机信号。确知信号具有一定的变化规律，因而容易分析，而随机信号无确知的变化规律，需要用统计特性进行分析。我们在这里引入了随机过程的概念。所谓随机过程，就是随机变量的集合，每个随机变量都是随机过程的一个取样序列。随机过程可分为平稳的和非平稳的、遍历的和非遍历的。如果随机信号的统计特性不随时间的推移而变化，则随机信号是平稳的。如果一个平稳的随机过程它的任意一个样本都具有相同的统计特性，则随机过程是遍历的。我们下面讨论的随机过程都认为是平稳的遍历的随机过程，因此，我们可以取随机过程的一个样本来描述随机过程的统计特性。

随机过程的统计特性一般采用随机过程的

二阶系统的斜坡响应、脉冲响应分析

一、 要求

（1）时域响应函数 （2）时域指标 （3）与阶跃响应的对比 （4）结合matlab进行相关分析 二、二阶标准传递函数 开环传函： 闭环传函： 输出：

二阶系统的时间响应取决于 和 这两个参数，由上面的公式数学模型来研究二阶系统时间响应及动态性能指标。

二、阶系统的响应分析

时域响应函数： 1、单位斜坡响应

由上式取反拉氏变换可以得到单位斜坡响应的时间函数：

sin(

,

2、单位脉冲响应

单位脉冲响应的时间函数：

sin(

3、单位阶跃响应

单位阶跃响应的时间函数：

sin(

,

实域指标：

a、单位斜坡响应

1、 无阻尼情况（ ）

p =0 + 4i和0- 4i

稳态误差：

=0

系统的斜坡响应在斜坡函数上等幅震荡 2、欠阻尼情况（ ）

p = -2.0000 + 3.4641i和 -2.0000 - 3.4641i

取

调节