中南大学2022考研高等代数

高等代数习题册

作业说明：教师每次讲完章节内容，同学们完成相应的习题，从开课第二周起一般每周交一次作业。作业直接写在习题册上，写不下可写背面

班级 姓名 学号 第一章 行列式

§1引言

一 填空题

1．最小的数环是 ，最小的数域是 .

2．一非空数集F,包含0和1, 且对加减乘除四种运算封闭，则其为 . 二 证明题

1. 证明F?a?bia, b?Q是一个数域，其中i=?1.

2．证明F?????m?m, n?Z?是一个数环. F也是一个数域吗？ n??2

3．证明两个数环的交还是一个数环.

2

班级 姓名 学号 §2-§3 排列与n级行列式的定义

一 选择或判断

1．以下乘积中（ ）是5阶行列式d?aij中取负号的项.

A.a31a45a12a24a53； B.a45a54a

高等代数习题册

作业说明：教师每次讲完章节内容，同学们完成相应的习题，从开课第二周起一般每周交一次作业。作业直接写在习题册上，写不下可写背面

班级 姓名 学号 第一章 行列式

§1引言

一 填空题

1．最小的数环是 ，最小的数域是 .

2．一非空数集F,包含0和1, 且对加减乘除四种运算封闭，则其为 . 二 证明题

1. 证明F?a?bia, b?Q是一个数域，其中i=?1.

2．证明F?????m?m, n?Z?是一个数环. F也是一个数域吗？ n??2

3．证明两个数环的交还是一个数环.

2

班级 姓名 学号 §2-§3 排列与n级行列式的定义

一 选择或判断

1．以下乘积中（ ）是5阶行列式d?aij中取负号的项.

A.a31a45a12a24a53； B.a45a54a

《高等代数》精品课试题库

1 《高等代数》试题库

一、 选择题

1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。

A ．零多项式

B ．零次多项式

C ．本原多项式

D ．不可约多项式

2．设()1g x x =+是6242

()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

3．以下命题不正确的是 （ ）。

A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；

B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；

C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；

D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式

4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。

A . 充分

B . 充分必要

C .必要

D ．既不充分也不必要

5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。

A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =

B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么

重庆大学2003年高等代数考研试题

1．填空题

(1) 设n阶方阵A满足ATA E，其中E是单位矩阵，A 0，则A E 。

(2) 设A,B均为n阶方阵，|A| 2,|B| 3，A 为矩阵A的伴随矩阵，则2A B 1 。

11 1 ，A2 AB E，则B 。0 11(3) 设A 001

x1 x1 x1 (4) 设 x2 2x2 x3 ，其中 x2 R3为任意3维实向量，则线性变 x 3x 2x x 3 3 1 3

1 0 0 换 在基 0 , 1 , 0 下的矩阵表示为 。 0 0 1

(5) 设A是可逆矩阵， 是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A 一定有一个特征值为 。

1 x1 1 12 x 3 无解，则；若此方程有唯23t 2(6) 若方程 t 2 1t 2 x3 0

一解，则t 。

c10 ，0c1(7)

重庆大学2003年高等代数考研试题

1．填空题

(1) 设n阶方阵A满足ATA E，其中E是单位矩阵，A 0，则A E 。

(2) 设A,B均为n阶方阵，|A| 2,|B| 3，A 为矩阵A的伴随矩阵，则2A B 1 。

11 1 ，A2 AB E，则B 。0 11(3) 设A 001

x1 x1 x1 (4) 设 x2 2x2 x3 ，其中 x2 R3为任意3维实向量，则线性变 x 3x 2x x 3 3 1 3

1 0 0 换 在基 0 , 1 , 0 下的矩阵表示为 。 0 0 1

(5) 设A是可逆矩阵， 是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A 一定有一个特征值为 。

1 x1 1 12 x 3 无解，则；若此方程有唯23t 2(6) 若方程 t 2 1t 2 x3 0

一解，则t 。

c10 ，0c1(7)

高等代数——2005年真题

一．（20分）证明：数域F上的一个n次多项式f?x?能被它的导数整除的充要条件是

f?x??a?x?b?，?其中a,b是F中的数?.

n二．（20分）设a1a2?an?0，计算下面的行列式：

1?a111?111?a21?111?1??1111111?1?an

1?a3?????2??2??????4?1三．（15分）已知矩阵A?PQ，其中P???，Q???，Q?，求矩阵A,A2和A100。

?3???2?????1????1?四．（20分）给定线性方程组

?x1?a1x2?a12x3?a13?23?x1?a2x2?a2x3?a2 ? （1） 23?x1?a3x2?a3x3?a323??x1?a4x2?a4x3?a4当a1,a2,a3,a4满足什么条件时，方程组（1）有惟一解？无穷多解？无解？ 五．（20分）设f?X???AX是一实二次型，若有实n维向量X1,X2使得Xf?X1????f?X2???，证明：必存在实n维向量X0?0使f?X0??0。

六．设W是齐次线性方程组

?2x1?x2?x3?x4?3x5?0

高等代数——2005年真题

一．（20分）证明：数域F上的一个n次多项式f?x?能被它的导数整除的充要条件是

f?x??a?x?b?，?其中a,b是F中的数?.

n二．（20分）设a1a2?an?0，计算下面的行列式：

1?a111?111?a21?111?1??1111111?1?an

1?a3?????2??2??????4?1三．（15分）已知矩阵A?PQ，其中P???，Q???，Q?，求矩阵A,A2和A100。

?3???2?????1????1?四．（20分）给定线性方程组

?x1?a1x2?a12x3?a13?23?x1?a2x2?a2x3?a2 ? （1） 23?x1?a3x2?a3x3?a323??x1?a4x2?a4x3?a4当a1,a2,a3,a4满足什么条件时，方程组（1）有惟一解？无穷多解？无解？ 五．（20分）设f?X???AX是一实二次型，若有实n维向量X1,X2使得Xf?X1????f?X2???，证明：必存在实n维向量X0?0使f?X0??0。

六．设W是齐次线性方程组

?2x1?x2?x3?x4?3x5?0

宝贝

第二讲带余除法与整除性; 带余除法与整除性; 最大公因子, 最大公因子, 辗转相除法

宝贝

GA02

§1- 2带余除法与整除性

定义 4:i)设f ( X ) = an X n + + a1 X + a0 , c ∈ F , 则f (c) = an c + + a1c + a0 , 称为f ( X )在c点的值。n

ii )若 f ( c ) = 0, 称 c 为 f ( X ) 在 F 中的根或零点， 也称 c 为 f ( X ) = 0的解或根。 2

宝贝

定理2:i )余数定理 f ( X ) = ( X c)q( X ) + f (c). ii )零点定理 f (c) = 0 ( X c) f ( X ).c为f ( X )的根 f ( X ) = ( X c ) q( X )。设 f ( X ) = ( X c ) g ( X ), ( g ( X ) ∈ F ( X ), c ∈ F , g ( c ) ≠ 0, m ≥ 1) 则称 c 为 f ( X )的 m 重根。当 m = 1时称 c 为单根。m

宝贝

定理3 定理 3:域F 上的n次多项式f ( X )在F中 最多有n个根 (重根按重数计入)

目录

2017年郑州大学联合培养单位新乡学院915高等代数考研题库（一） (2)

2017年郑州大学联合培养单位新乡学院915高等代数考研题库（二） (10)

2017年郑州大学联合培养单位新乡学院915高等代数考研题库（三） (18)

2017年郑州大学联合培养单位新乡学院915高等代数考研题库（四） (24)

2017年郑州大学联合培养单位新乡学院915高等代数考研题库（五） (30)

第1 页，共35 页

第 2 页，共 35 页

2017年郑州大学联合培养单位新乡学院915高等代数考研题库（一）

说明：①本资料为VIP 包过学员内部使用资料。涵盖了历年考研常考题型和重点题型。

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一、分析计算题

1． 计算n 阶行列式

【答案】

2． 设

为两个不全为零的多项式，n 为正整数.证明：

【答案】①若则显然 _ 反之，

设

下

证若不然，则必有不可约多项

式

从而

这与

矛盾.

②证法I 设且令

则

于是由①知

从而由（2）得

因此

证法II 设f , g 的次数都大于零，且

其中为首系数是1的不可约多项式，与为非负整数.于是得

令则于是由（3），（4）得且

第 3 页，共 35 页

3． 设变换：定义为

（1）证明：是线性

目录

2017年北京科技大学国家材料服役安全科学中心825高等代数考研仿真模拟题（一） (2)

2017年北京科技大学国家材料服役安全科学中心825高等代数考研仿真模拟题（二） (6)

2017年北京科技大学国家材料服役安全科学中心825高等代数考研仿真模拟题（三） (10)

2017年北京科技大学国家材料服役安全科学中心825高等代数考研仿真模拟题（四） (13)

2017年北京科技大学国家材料服役安全科学中心825高等代数考研仿真模拟题（五） (18)

第1 页，共22 页

第 2 页，共 22 页

2017年北京科技大学国家材料服役安全科学中心825高等代数考研仿真模拟题（一）

说明：①本资料为VIP 学员内部使用，严格按照2017考研最新题型及历年试题难度出题。

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一、计算题

1． 把抛物线y 2

=4ax 及直线x=x 0（x 0>0）所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转题的体积。

【答案】该体积即为

，x=x 0及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所得，因此体积为

2． 把对坐标的曲线积分

化成对弧长的曲线积分，其中L 为:

（1）在xOy 面内沿直线从点（0，0）到点（l ，l ）;