多元函数微分法及其应用思维导图

第八章 多元函数微分法及其应用

(A)

1．填空题

?2z?2z(1)若z?f?x,y?在区域D上的两个混合偏导数， ，则在D上，

?x?y?y?x?2z?2z。 ??x?y?y?x(2)函数z?f?x,y?在点?x0,y0?处可微的 条件是z?f?x,y?在点?x0,y0?处的偏导数存在。

(3)函数z?f?x,y?在点?x0,y0?可微是z?f?x,y?在点?x0,y0?处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域

(1)z?x?y；(2)u?arccos3．求下列各极限

1?cos(x2?y2)sinxyxy(1)lim； (2)lim； (3)lim2

x?0(x?y2)x2y2x?0x?0xxy?1?1y?0y?0y?0zx?y22

?3z?3z4．设z?xln?xy?，求2及。 2?x?y?x?y5．求下列函数的偏导数 (1)z?arctg23y；(2)z?ln?xy?；(3)u?exyz。 xdz。 dtdu7．设u?ex?y?z?，x?t，y?sint，z?cost，求。

dt6．设z?uv2?tcosu，u?et，v?lnt，求全导数

?x2?y2?z?8．曲

第七章 多元函数微分法及其应用

第一节 多元函数的基本概念

一、平面点集n 维空间

1．区域

由平面解析几何知道, 当在平面上引入了一个直角坐标系后, 平面上的点p 与有序二元实数组(x , y )之间就建立了一一对应. 于是, 我们常把有序实数组(x , y )与平面上的点P 视作是等同的. 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.

二元的序实数组）（y x ,的全体，即},),{(2R y x y x R R R ∈=?=就表示坐标平面。

坐标平面上具有某种性质p 的点的集合，称为平面点集，记作

}),(),{(p y x y x E 具有性质=

邻域：

设),(000y x P 是xOy 平面上的一个点，δ是某一正数 与点),(000y x P 距离小于δ的点),(y x P 的全体 称为点0P 的δ邻域 记为),(0δP U ， 即

}|| |{),(00δδ<=PP P P U 或} )()( |) ,{(),(20200δδ<-+-=y y x x y x P

U 邻域的几何意义: U (P 0, δ)表示xOy 平面上以点P 0(x 0, y 0)为中心、δ>0为半径的圆的内部的 点P

(x , y )的全体.

点P 0的去心δ邻域, 记作) ,(0δP U , 即

}||0 |{) ,(00δδ<<=P P P P U .

注: 如果不需要强

第八章 多元函数的微分法及其应用

习题 8－1

1. 指出下列平面位置的特殊性质：

（1）2x?3y?20?0 （2）3x?2?0

（3）4y?7z?0 （4）x?y?z?0 解 （1）因为方程中缺变量z, 所以该平面平行于z轴.

（2）因为方程中缺变量y、z, 所以该平面平行于yz平面即垂直于x 轴.

（3）因为方程中缺变量x且不含常数项, 所以该平面平行于x轴且经过原点（0，0，0）. （4）因为方程中缺常数, 所以该平面通过原点（0，0，0）.

2. 求下列轨迹的方程：

（1）与点(3,0,?2)的距离为4个单位的点的轨迹;

（2）与两定点P(c,0,0)和Q(?c,0,0)的距离之和等于2a(a?0)的点的轨迹; （3）与z轴和点(1,3,?1)等距离的点之轨迹;

（4）与yz平面的距离为4，且与点(5,2,?1)的距离为3的点之轨迹.。 解 设动点为M(x,y,z)，则

（1）点M(x,y,z)与点(3,0,?2)的距离为 整理得动点M(x,y,z)的轨迹为

(x?3)2?(y?0)2?(z?

第八章 多元函数微分法及其应用

第一节 多元函数的极限与连续

1.填空

（1）设f?x,y??3x?2y,则f?xy,f?x,y???3xy?6x?4y. （2）设f?y,??x?y?2??x?y,则fx?xy?1?x,y??x?2?x?0?.

（3）设z?z?y?x?1.

y?f?x?1,若当y?1时z?x,则函数f??x??x?2x,

2（4）函数u?arccosz222的定义域是 {?x,y,z?x?y?z?0,x?y?0}.

22222x?y（5）函数z?24x?y222ln(1?x?y)2的定义域是

{(x,y)0?x?y?1,x?y24},此定义域

可用平面图形表示为（图8.1）

（6）函数z?ln?1?x2?y2?在x?y?1

22是间断的.

解 （1）f(xy,f(x,y))?3(xy)?2f(x,y)

=3xy?2(3x?2y)?3xy?6x?4y.

（2） 令y?u,x?yxuv?1?v,可解得x?2图 8.1

uv?1,y?u,于是

2 f(u,v)? （3）于式 z?再令 ?u, f(x,y)?x?xy?1.

y?f(x?1)中令y?1得x?1?f(x

第八章 多元函数微分法及其应用

第一节 多元函数的极限与连续

1.填空

（1）设f?x,y??3x?2y,则f?xy,f?x,y???3xy?6x?4y. （2）设f?y,??x?y?2??x?y,则fx?xy?1?x,y??x?2?x?0?.

（3）设z?z?y?x?1.

y?f?x?1,若当y?1时z?x,则函数f??x??x?2x,

2（4）函数u?arccosz222的定义域是 {?x,y,z?x?y?z?0,x?y?0}.

22222x?y（5）函数z?24x?y222ln(1?x?y)2的定义域是

{(x,y)0?x?y?1,x?y24},此定义域

可用平面图形表示为（图8.1）

（6）函数z?ln?1?x2?y2?在x?y?1

22是间断的.

解 （1）f(xy,f(x,y))?3(xy)?2f(x,y)

=3xy?2(3x?2y)?3xy?6x?4y.

（2） 令y?u,x?yxuv?1?v,可解得x?2图 8.1

uv?1,y?u,于是

2 f(u,v)? （3）于式 z?再令 ?u, f(x,y)?x?xy?1.

y?f(x?1)中令y?1得x?1?f(x

高等数学 多元函数微分法及其应用习题

第七节 方向导数与梯度

习题 8-7

1. 求下列函数在指定点M0处沿指定方向l的方向导数:

π

(1) z=cos(x+y), M0(0,), (3,l= 4);

2l=. (2) u=xyz, M0(1,1,1), (1,1,1)

解 (1) 由方向l=(3, 4)可求出与l同向的单位向量为

34

el=(, ,

55

因为函数可微分, 且

z x

π(0,2

= sin(x+y)

π(0,)2

= 1,

z y

π(0,)2

= sin(x+y)

π(0,2

= 1,

故所求方向导数为

z l

π(0,2

341

=( 1) +( 1) ( =.

555

(2) 函数u=xyz在平面上处处可微, 则

u u u u

=cosα+cosβ+cosγ, l x y z

因为

u u u u u u

=yz,=xz,=xy, 所以在点(1,1,1)处有===1. x y z x y z

由l

=(1,1,1)得l=, 于是

cosα=cosβ=cosγ=

故所求方向导数为

,

u

l

(1,1,1)

=11+1=.

2. 求函数z=ln(x+y)在抛物线y2=4x上点(1,2)处, 沿着这抛物线在该点处与x轴正向夹角为锐角的切线方向的方向导数.

解 先求切

多元函数微分法及其应用习题

第三节 三重积分的计算

习题 9-3

1. 化三重积分I=∫∫∫f(x,y,z)dxdydz为直角坐标系中的三次积分, 其中积分区

Ω

域Ω分别是:

(1) Ω={(x,y,z)0≤x≤2,1≤y≤3,0≤z≤2};

(2)

由锥面z=与平面z=1围成的闭区域;

(3) 由双曲抛物面z=xy及平面x+y=1,z=0围成的闭区域; (4) 由曲面z=x2+2y2及z=2 x2围成的闭区域. 解 (1) 易知∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫dx∫dyf(x,y,z)dz.

01

Ω

(2) 如图9.40, 区域Ω在xOy面上的投影

区域是圆域x+y≤1, 故

2

2

2

3

2

∫∫∫f(x,y,z)dxdydz

Ω

=∫dx∫

1

1y1f(x,y,z)dz.

(3) Ω的顶z=xy和底面z=0的交线为x区域由x轴,y轴和直线x+y=1所围成. 于是Ω可用不等式表示为:0≤z≤xy, 0≤y≤1 x, 0≤x≤1, 因此

∫∫∫

Ω

f(x,y,z)dxdydz=∫dx∫

11 x0

dy∫

xy0

f(x,y,z)dz.

22 z=x+2y,

(4) 如图9.41, 由

2

z=2 x

得x+y=1, 故区域Ω在xOy区域是圆域x2+y2≤1, 于

复合函数微分法与隐函数微分法

一、复合函数微分法复习： 一元复合函数 y f (u), u ( x)

dy dy du 求导法则 dx du dx微分法则 dy f (u)du f (u) ( x)dx要求：熟练掌握多元复合函数求导的链式法则

1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理：若函数u=u(t),v=v(t)都在点t可导，函数z=f(u,v) 在点(u,v)处偏导数连续，则复合函数z=f(u(t),v(t)) 在点t可导，且有链式法则： z

dz z du z dv dt u dt v dt(1)z只有一个自变量 (2)z有两个中间变量 (3)两个中间变量u,v都只一个自变量

u t

v t

证明略

推广： 设z=f(u,v,w) ,u=u(t),v=v(t),w=w(t) ,

则z=f(u(t),v(t),w(t))对t的导数为

z u t v t w t

全 导 数 公 式

dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt

dz z du z dv dt u dt v dt

2、复合函数的中间变量均为多元函数的情

多元函数微分法

第八章 多元函数微分法一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用 一元函数微分学 推广 多元函数微分学

注意: 善于类比, 区别异同.1

多元函数微分法

一、基本概念1. 多元函数 (1) 区域 邻域 : U ( P0 ,δ), U ( P0 ,δ) 区域 连通的开集n

y

o

P0x

z

R 空间 {( x1 , x2 xn ) xi R}

(2) 多元函数概念 定义域及对应规律 n 元函数 u f ( P ) f ( x1 , x2 , , xn )

z x2 y2

P D R常用

n

x

y

二元函数 z f ( x , y ) (图形一般为空间曲面) 三元函数u f ( x , y, z ) (无几何直观)2

多元函数微分法

arcsin( 3 x 2 y 2 ) 的定义域. 例1. 求 f ( x , y ) 2 x y

3 x2 y2 1 2 x 2 y 2 4 解: 2 2 x y 0 x y 所求定义域为:

y x

o

2

D {( x, y ) | 2 x 2 y 2 4, x y

第三节 多元复合函数微分法

第三节 复合函数的微分法一. 复合函数的微分法 dy dy du = 一元复合函数的微分法则--链导法:(1).z = f [ ( x),ψ ( x)]dx du dx

推广

定理1 设 u = (x) 和 v = ψ (x) 都在点x可导,而z=f(u,v)在对应点 (u,v)可微,则复合函数 z = f [ ( x),ψ ( x)] 在点x可导,且 全导数dz f du f dv = + dx u dx v dx

u z v x

(证明略) 注:1.上述定理可推广到所有的多元复合函数.

2. 因为多元复合函数类型复杂,所以不要死记公式,要学会用 复合关系图.

例如: z = f (u , v, w), u = ( x), v = ψ ( x), w = h( x)dz f du f dv f dw = + + dx u dx v dx w dx

z

u v w

x

u z v

x y

(2).z = f [ ( x, y ),ψ ( x, y )]

定理2 设 u = ( x, y ) 和 v = ψ ( x, y ) 都在点(x,y)可偏导,而z=f(u,v) 在对应点(u,