正弦定理和余弦定理知识点总结

正弦定理和余弦定理

一、正、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 a2＝b2＋c22bccosA； 内容 abc＝＝sin Asin Bsin C＝2R b2＝c2＋a22cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC (1)a＝2Rsin A，b＝2RsinB，c＝2RsinC； abc(2)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R； (3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；变形 a＋b＋cabc(4)＝＝＝； sin A＋sin B＋sin Csin Asin Bsin C(5)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A 二、对三角形解的个数的探究 正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： 1．已知两角和任意一边，求另两边和另一角； 2．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．

第一类问题有唯一解，当三角形的两角和任一边确定时，三角形就被唯一确定． 第二类问题的三角形不能唯一确定，可能出现一解、两解或无解的情况． 下面以已知a，b和A，解三角形为例加以说明．

法一;由正弦定理、正弦函数的有界性及三

1.1正弦定理和余弦定理

基本要求：

1. 能证明正弦定理、余弦定理．

2. 能理解正弦定理、余弦定理在讨论三角形边角关系时的作用． 3. 能用正弦定理、余弦定理解斜三角形．

4. 理解用正弦定理、余弦定理讨论三角形解的情形． 重点：正弦定理和余弦定理及其推导．

难点：用正弦定理解三角形时解的个数的讨论． 考点结构分析：

1. 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等，即：

1abc??． sinAsinBsinC2. 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦积的两倍，即：

2a2?b2?c2?2bccosA． b2?c2?a2?2cacosB． c2?a2?b2?2abcosC．

3. 余弦定理推论：

b2?c2?a2cosA?．

2bcc2?a2?c2cosB?．

2caa2?b2?c2cosC?．

2ab4. 重要结论：

C的对边，A?B?C?a?b?c?sinA?sinB?sinC．b、（1） 在?ABC中， a、c分别为A、B、

（2） 在?ABC中，给定A、B的正弦或余弦值，则C有解（即存在）的充要条件是cosA?cosB?0． 5. 解斜三角形的类型：

（1） 已知两角一边，用正

1.1正弦定理和余弦定理

基本要求：

1. 能证明正弦定理、余弦定理．

2. 能理解正弦定理、余弦定理在讨论三角形边角关系时的作用． 3. 能用正弦定理、余弦定理解斜三角形．

4. 理解用正弦定理、余弦定理讨论三角形解的情形． 重点：正弦定理和余弦定理及其推导．

难点：用正弦定理解三角形时解的个数的讨论． 考点结构分析：

1. 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等，即：

1abc??． sinAsinBsinC2. 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦积的两倍，即：

2a2?b2?c2?2bccosA． b2?c2?a2?2cacosB． c2?a2?b2?2abcosC．

3. 余弦定理推论：

b2?c2?a2cosA?．

2bcc2?a2?c2cosB?．

2caa2?b2?c2cosC?．

2ab4. 重要结论：

C的对边，A?B?C?a?b?c?sinA?sinB?sinC．b、（1） 在?ABC中， a、c分别为A、B、

（2） 在?ABC中，给定A、B的正弦或余弦值，则C有解（即存在）的充要条件是cosA?cosB?0． 5. 解斜三角形的类型：

（1） 已知两角一边，用正

一、选择题

1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c＝( )

A．52

106 3

2、在 ABC中，已知b B．2 D．6 2,c 1,B 45 ，则a=（ ）

2 1 D. 3 2 A. 6 2 B. 26 2 C. 2

3、在 ABC中，若a 2bsinA，则B= （ ）

A. 30 B. 60 C. 30或150 D. 60或120

2224、在 ABC中，已知a c b ab，则 C （ ）

A. 60 B. 45或135 C. 120 D. 30

5、在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC为( )

A．直角三角形 B．等腰直角三角形

C．等边三角形 D．等腰三角形

6、在 ABC中，a:b:c 3:5:7，则 ABC的最大角是 （ ）

A. 30 B. 60 C. 90 D. 120

37．在△ABC中，已知B＝45°，c＝2，b＝，则

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考点17 正弦定理和余弦定理

一、选择题

1.（2012·湖南高考理科·Ｔ7）在△ABC中，AB=2 AC=3 AB·BC=1，则BC=（ ）

【解题指南】利用向量的数量积计算公式，和余弦定理组成方程组解出BC的值。

uuuruuur【解析】选A.由AB?BC

uuur

2BCcos(p-B)=1,cosB=-1.2BC

1,

由余弦定理

AC2=AB2+BC2-2AB BCcosB.即9=4+BC2-4BCcosB 5=BC2+4BC

1,

2BCBC2=3,\BC=

故选A.

2.（2012·湖南高考文科·Ｔ8）在△ABC中，

，BC=2，B =60°，则BC边上的高等于（ ）

A

．

B.

C. D.

【解题指南】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容.根据余弦定理和直角三角形中的三角函数定义，列出方程组，解出答案。 【解析】选B.

222

设AB c，在△ABC中，由余弦定理知AC AB BC 2AB BC cosB，

22

c7 c 4 2 2 c c

第6节 正弦定理和余弦定理及其应用

课时训练 练题感 提知能 【选题明细表】

一、选择题

1.(2013广东湛江十校联考)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知b=2,B=30°,C=15°,则a等于( A ) (A)2 (B)2 (C)- (D)4 解析:A=180°-30°-15°=135°, 由正弦定理

=

,得=,

即a=2.故选A.

2.(2014四川攀枝花模拟)已知△ABC的一个内角是120°,三边长构成公差为4的等差数列,则三角形的面积是( D ) (A)10 (B)30 (C)20 (D)15 解析:设A、B、C所对边长分别为b-4,b,b+4,

则cos 120°=∴b2-10b=0,

∴b=10或b=0(舍去), ∴b=10,b-4=6,

,

∴三角形的面积

S=×10×6×=15.故选D.

3.已知△ABC,sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶,则此三角形的最大内角的度数是( B )

(A)60° (B)90° (C)120°

正弦定理 余弦定理

一、一周知识概述

本周主要学习了正弦定理、余弦定理的推导及其应用，正弦定理是指在一个三角形

中，各边和它所对角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何

一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB, c2=a2＋b2－2abcosC．通过两定理的学习，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用这两个定理去解斜三角形，学会用计算器解决解斜三角形的计算问题，熟悉两定理各自解决不同类型的解三角形的问题．认识在三角形中，已知两边和其中一边的对角解三角形，产生多解的原因，并能准确判断解的情况． 二、重点知识讲解 1、三角形中的边角关系

在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有 （1）角与角之间的关系：A＋B＋C＝180°； （2）边与角之间的关系：

正弦定理：

余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA b2＝c2＋a2－2accosB c2＝a2＋b2－2abcosC 射影定理：a＝bcosC＋ccosB b＝ccosA＋acosC c＝acosB＋bcosA

2、正弦定理的另三种表示形式：

3、余弦定理的另一种表示形式：

4、正弦定

正弦定理、余弦定理

基础练习

1．在△ABC中：

（1）已知A?45?、B?30?、a?53，求b；

（2）已知B?75?、C?45?、a?6，求c． 2．在△ABC中（角度精确到1°）：

（1）已知b?15、c＝7、B＝60°，求C； （2）已知a?6、b＝7、A＝50°，求B． 3．在△ABC中（结果保留两个有效数字）： （1）已知a＝5、b＝7、C＝120°，求c；

（2）已知b?33、c＝7、A＝30°，求a． 4．在△ABC中（角度精确到1°）： （1）已知a?6、b＝7、c?9，求A； （2）已知a?33、b?4、c?79，求C．

5．根据下列条件解三角形（角度精确到1°，边长精确到0.1）： （1）A?37?，B?60?，a?5； （2）A?40?，B?45?，c?7； （3）B?49?，a?5，b?3； （4）C＝20 ，a＝5，c＝3； （5）a?4，b?7，C?80?； （6）a?10，b?13，c?14． 6．选择题：

（1）在△ABC中，下面等式成立的是（ ）．

A．abcosC?bccosA B．absin

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

必修5 正弦定理、余弦定理

二、教学目标

（1）熟练的掌握正弦定理、余弦定理及其简单的应用。

（2）在正、余弦定理应用过程中，体会利用函数与方程的数学思想处理已知量与未知量的关系。

利用等价转化的数学思想、分类讨论的数学思想应用正弦定理、余弦定理解题。

三、知识要点分析

1、正弦定理的有关知识（设△ABC 的,,A B C ∠∠∠所对的边是a ，b ，c ，外接圆半径是R ） 正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===，

由正弦定理得（i ）2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C ++====++

（ii ）::sin :sin :sin a b c A B C =。

正弦定理应用：（1）已知一边和两角求其余的边和角。

2、三角形的面积公式

（1）1,(2a a S a h h a =

?是边上高）（h a 是a 边上的高）（2）111S sin sin sin 222ab C bc A ac B ===。 （3） 1(),(2S a b c r r =++?是内切圆半径） 3、余弦定理的有关知识。（设△A, B, C ABC ∠∠∠的三个角所

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

必修5 正弦定理、余弦定理

二、教学目标

（1）熟练的掌握正弦定理、余弦定理及其简单的应用。

（2）在正、余弦定理应用过程中，体会利用函数与方程的数学思想处理已知量与未知量的关系。

利用等价转化的数学思想、分类讨论的数学思想应用正弦定理、余弦定理解题。

三、知识要点分析

1、正弦定理的有关知识（设△ABC 的,,A B C ∠∠∠所对的边是a ，b ，c ，外接圆半径是R ） 正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===，

由正弦定理得（i ）2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C ++====++

（ii ）::sin :sin :sin a b c A B C =。

正弦定理应用：（1）已知一边和两角求其余的边和角。

2、三角形的面积公式

（1）1,(2a a S a h h a =

?是边上高）（h a 是a 边上的高）（2）111S sin sin sin 222ab C bc A ac B ===。 （3） 1(),(2S a b c r r =++?是内切圆半径） 3、余弦定理的有关知识。（设△A, B, C ABC ∠∠∠的三个角所