线性规划在数学建模中的应用

线性规划 学术论文

线性规划在数学建模中的应用

摘要：

线性规划是运筹学中发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法，英文缩写LP。它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。

本文在阅读了大量材料的基础上，集中体现了线性规划是如何应用到数学建模中去的。并且在利用数学建模的思想以线性规划为工具可以解决哪些实际问题，为我们的生活提供哪些便利。本文大体上可分为三章，第一章主要对线性规划和数学建模这两个理论做简要描述。并且叙述这两个理论的发展历程，以及研究的背景及意义。第二章主要介绍线性规划在数学建模中的应用，其中包括现在性规划在物流运输中的应用，线性规划在经济生活中的应用，以及线性规划在现代管理中的应用，并且配备了相应的例子。第三章主要讨论线性规划在实际应用方面应注意哪些细节，并对第二章的数学模型进行优化，以及对最优解方面的讨论。 关键词：线性规划 数学模型 物流运输 经济生活 现代管理

Abstract:

Linear programmin

应用一：

某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t需耗A种矿石8t、B种矿石8t,煤5t;生产乙种产品1t需耗A种矿石4t,B种矿石8t,煤10t。每吨甲种产品的利润是500元，每吨乙种产品的利润是400元。工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过320t、B种矿石不超过400t、煤不超过450t。甲、乙两种产品应各生产多少能使利润总额达到最大？

解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t 利润总额为z元，那么

?8x?4y?320?8x?8y?400???5x?10y?450?x?0???y?0，

z?500x?400y

（30，20）

作出以上不等式组所表示的可行域。

作直线l：5x+4y=0，把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=500x+400y取最大

?2x?y?80?x?y?50

值，解方程组?得M的坐标为（30，20）

答：应生产甲产品 30t、乙产品20t ，能使利润总额最大。 应用二：

某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A、B两种规格金属板，每张面积分别为2m2与3m2。用A种规格金属板每张可造甲种产品3个，乙种产品5个；用

第四章 线性规划在工商管理中的应用 §1 §2 §3 §4 §5 人力资源分配的问题 生产计划的问题 套裁下料问题 配料问题 投资问题管 理 运 筹 学1

§1

人力资源分配的问题

例1.某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机 和乘务人员数如下：班次 1 2 3 4 5 6 时间 6:00 —— 10:00 10:00 —— 14:00 14:00 —— 18:00 18:00 —— 22:00 22:00 —— 2:00 2:00 —— 6:00 所需人数 60 70 60 50 20 30

设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并 连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员， 既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?管 理 运 筹 学2

§1

人力资源分配的问题

解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数, 这样我们建立如下的数学模型。

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件：s.t. x1 + x6 ≥ 60 x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥

线性规划和概率论的应用论文

郑州师范学院 10级数学系 数学与应用数学二班

李玲玲 15036131624

1

线性规划及概率统计的应用和体会

摘要：随着现代生产的规模越来越大，各个部门的相互联系越来越密切和复杂，

在生产的组织与计划、交通与运输、财贸等方面都要求有新的数学方法来

为他们服务。所以我对学习线性规划、概率统计比较感兴趣，对它的应用的总结他的思考较多。

应用：一个工厂或车间有各种不同类型的车床各若干台，各种不同车床

生产各种零件的效益不同，在一个生产周期，应如何安排各车床的生产时间使得成套的产品总量最大，根据问题运用运筹学知识，统筹安排，列出约束条件，追寻整个问题的某个整体指标最优的安排方案，以使人力物力消耗最少而所获经济效益最高。篮球赛中若一方胜四场（不出现平局），为什么实力相差越大比赛次数越少，实力相当比赛次数越多。

体

红十字会善款投资优化设计

摘要

作为慈善机构，某省红十字会为救助四川灾区患病儿童，打算将救灾的剩余善款存入银行或购买国库券，为了充分利用这笔善款，必须要做出合理的分配方案来提高每年的救助金额，并且保证在n年末仍保留原有善款数额，才能最大限度使用剩余善款。

为了给红十字会提供一种最优方案，本文本着为红十字会设计一种能最大限度使用善款存款本息且n年末仍保留原有善款数额的原则，以n年内用于存款或购买国库券的利息额之和的最大值为目标函数，运用线性规划的相关知识，并通过LINGO软件对模型进行求解，递出了一种符合题目要求的最优分配方案。

关键词：线性规划，LINGO软件

一、问题的重述

某省红十字会打算将四川特大地震后全国人民捐款救灾的剩余善款存入银行或购买国库券。

红十字会计划在n年内用此剩余善款的部分本息救助患病儿童，并使每年的救助金额大致相同，且在n年内仍保留原有善款数额。

通过设计最佳的使用方案，提高每年的救助金额，帮助红十字会在如下情况下，设计这笔剩余善款的使用方案，并对M?5000万元，n?10年给出具体结果。

（1） 只在银行存款而不购买国库券； （2） 既可存款也可以购买国库券；

（3） 红十字会在剩余的善款到位后的第三年要举行成

数学建模 非线性规划(xin)

非线性规划 (Nonlinear Programming)第一章 一般的非线性规划问题§1.1 问题概论

(模型) min s .t

f (x)

g i ( x ) 0, i 1,..., m h j ( x ) 0, j 1,..., n1

数学建模 非线性规划(xin)

(两类问题)无约束极值问题与约束极值问题

(一些基本定义)梯度

df df T f ( x) ( ,..., ) dx1 dxn

Hesse矩阵

H ( x)

f11 f m1

f1n f mn

Jaccobi矩阵

f1T F ( x ) f T n 2

数学建模 非线性规划(xin)

§ 1.2 最优解分类 (注：不一定存在)

定义1.2.1 整体(全局)最优解 定义1.2.2 局部最优解 (已有算法基本都是求局部 最优解的)§ 1.3 凸集与凸函数 定义1.3.1 凸集 定义1.3.2 (严格)凸函数 称定义在凸集K上的实值 ，有： 函数f (x)为凸函数，若 x1,x2 K及 01 f ( x1

线性规划

数学建模案例之线性规划 奶制品的生产与销售

2010.10

线性规划

引优化问题及其一般模型：

言

优化问题是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中 最常遇到的问题之一。例如： 设计师要在满足强度要求等条件下选择材料的尺寸， 使 结构总重量最轻； 公司经理要根据生产成本和市场需求确定产品价格，使所获 利润最高； 调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各供应点 到需求点的运量和路线，使运输总费用最低； 投资者要选择一些股票,债券下注,使收益最大,而风险最小 …………

线性规划

引

言

一般地，优化模型可以表述如下：

min z f ( x ) s.t . gi ( x ) 0 ,= 1, , i 2, m这是一个多元函数的条件极值问题，其中 x = [ x 1 , x 2 , … , x n ]。

许多实际问题归结出的这种优化模型，但是其决策变量个数 n 和约束条件个数 m 一般较大，并且最优解往往在可行域的边界上取得，这样就不 能简单地用微分法求解，数学规划就是解决这类问题的有效方法。

线性规划

引数学规划模型分类:

言

“数学规划是运筹学和管理科学中应用及其广泛的分支。在许多情况下， 应用数学规划取得的如此成功，以致它的用途

学科分类号 110

黑龙江科技大学

本科学生毕业论文

题 目 线性规划在垃圾运输问题的应用 Linear programming is applied in waste transportation problem 姓 名 *** 学 号 2011*** 院 （系） 理学院 专业、年级 数学与应用数学 指导教师 **** 2015年6月12日

摘 要

我们知道,随着市场经济发展迅速，竞争也随之加快。为了能在这激烈的市场竞争中立足，企业都谋取最大的利润，最

运筹学第四章

第四章线性规划在工商管理中的应用

运筹学第四章

第四章 线性规划在工商管理中的应用一、 人力资源分配问题 二、 生产计划的问题 三、 套裁下料问题 四、 配料问题

五、 投资问题2

运筹学第四章

一、人力资源分配的问题

运筹学第四章

P39 例1. (司乘人员安排问题)某昼夜服务的公交路线每天各时间段 内所需司机和乘务人员数如下：班次 1 2 3 4 5 6 时 间 所需人数 60 70 60 50 20 304

6:00~10:00 10:00~14:00 14:00~18:00 18:00~22:00 22:00~ 2:00 2:00 ~ 6:00

运筹学第四章

设司机和乘务人员分别在各时间段一

开始时上班，并连续工作八小时。

运筹学第四章

问：该公交路线怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最 少司机和乘务人员？

运筹学第四章

文字模型

运筹学第四章

文字模型目 标： 最小化所需司机和乘务人员数约束条件：

班次1正在工作的司乘人员数≥班次1所需人数60班次2正在工作的司乘人员数≥班次2所需人数70

班次3正在工作的司乘人员数≥班次3所需人数60班次4正在工作的司乘人员数≥班次4所需人数50 班次5正在工作的司乘人员数≥班次5所需人数20 班次6正在工作

例1 (任务安排)某厂计划在下月内生产4种产品B1，B2，B3，B4。每种产品都可用三条流水作业线A1，A2，A3中的任何一条加工出来．每条流水线（Ai）加工每件产品（Bj）所需的工时数(i＝1,2,3,j=1,2,3,4)、每条流水线在下月内可供利用的工时数及各种产品的需求均列表于4.1中．又A1，A2，A3三条流水线的生产成本分别为每小时7，8，9元。现应如何安排各条流水线下月的生产任务，才能使总的生产成本最少？ 产品 每件产品耗时数 流水线 A1 A2 A3 需求量/件 B1 B2 B3 B4 2 1 3 2 3 2 4 4 1 2 1 2 200 150 250 300 可用工时数 1500 1800 2000 生产成本 7 8 9

例2 (外购合同)某公司下月需要B1，B2，B3，B4四种型号的钢板分别为1000，1200，1500，2000吨。它准备向生产这些钢板的A1，A2，A3三家工厂订货。该公司掌握了这三家工厂生产各种钢板的效率（吨/小时）及下月的生产能力（小时），如表4.2所示。而它们销售各种型号钢板的价格如表4.3所示。该公司当然希望能以最少的代价