二次函数经典例题20题

二次函数最值问题 专题 第 4 讲

一、兴趣导入（Topic-in）: 二、学前测试(Testing):

重点梳理： 1、二次函数一般形式为：y?ax2?bx?c (a?0) 顶点式为： 。 2、结合二次函数y?ax2?bx?c (a?0)的图像可知： 当x满足 时，y随着x的增大而增大； 当x满足 时，y随着x的增大而减小。

3、数形结合讨论最值问题， 1）在X取任意实数时有： ?当a?0时，图像开口 ，函数在x?处取得最小值为，无最大值；

?当a?0时，图像开口 ，函数在x?处取得最大值为，无最小值．

2）函数中m?x?n时有： ?当a?0时，数形结合分类讨论函数的最值问题： 1）当m??

最大值为 。 2）当?

最大值为 。 3）当n??

最大值为

二次函数课本改编总汇

武汉市光谷实验中学九年级数学组 主讲：颜永洪

一、根据图象建模

23.1（九下P10例4）要在一个圆形广场中央修建一个音乐喷泉，在广场中央竖直安装一根水管，

在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线水柱在与广场中央的水平距离为1m处达到最高，且最高为3m，水柱落地处离广场中央3m，建立如图所示的直角坐标系， y（1）求抛物线的解析式

（2）问水管应多长？

3（3）当音乐喷泉开始喷水时，在广场中央有一身高为1.5米的男孩未及时跑到喷泉外， 问该男孩离广场中央的距离m的范围为多少时，才不会淋湿衣裳。 O13

23．2（九下P10例4改）某公园在一个圆心角为1200的扇形OEF的草坪上的圆心O处竖一根垂直的柱子OA，在A处安装一个自动喷水装置，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线落下，

10

且水柱恰好落在草坪的边缘，下图分别是主视图和俯视图，若OA= 米，喷出的水流在距O

3水平距离为2米的地方到达最高点B，且B距地面距离为6米， （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式 （2）扇形草坪的半径OE的长

（3）若在△OEF中再造一个矩形花坛MNGH，使G，H在OE，OF上，M，N在EF上，问

中考二次函数经 典习题课

二次函数考点 1、二次函数的定义 2、二次函数的图像及性质 3、求解析式的三种方法 4、a,b,c符号的确定 5、抛物线的平移法则 6二次函数与一元二次方程的关系 7二次函数的综合运用

1、二次函数的定义 定义： y=ax² + bx + c ( a 、 b 、 c 是常数， a≠0) 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式 练习：1、y=-x² ,y=2x² -2/x,y=100-5 x² ,y=3 x² -2x³ +5,其中是二次函数的有____个。 2.当m_______时,函数y=(m+1)χ 是二次函数？m2 m

- 2χ+1

2、二次函数的图像及性质y 0(0,c)

(0,c)

y

b 4ac b 2 2a , 4a

x b 4ac b 2 2a , 4a

0

x

抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值

y=ax2+bx+c(a>0) b 4ac b 2 2a , 4a b 直

1.（10贵阳）某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现 这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元） 满足一次函数，其图象如图所示.

(1)每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元） 的函数表达式是 ．

x）元

(2)求该商场每天销售这种商品的销售利润y（元）与每件的销售价格x

(3)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加?

2.（10包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数

y kx b，且x 65时，y 55；

x 75时，y 45．

（1）求一次函数

y kx b的表达式；

（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．

3.( 08 河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为

（吨）时，所需的全部费用

，

（万元）与

满足关系式

，投入市场

后当年

1.（10贵阳）某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现 这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元） 满足一次函数，其图象如图所示.

(1)每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元） 的函数表达式是 ．

x）元

(2)求该商场每天销售这种商品的销售利润y（元）与每件的销售价格x

(3)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加?

2.（10包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数

y kx b，且x 65时，y 55；

x 75时，y 45．

（1）求一次函数

y kx b的表达式；

（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．

3.( 08 河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为

（吨）时，所需的全部费用

，

（万元）与

满足关系式

，投入市场

后当年

《二次函数》章末检测题

(时间:120分钟 满分:150分)

班级: ;姓名:

一、选择题:(本大题10个小题,每小题4分,共40分)在每个小题的下面,都给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中只有一个是正确的,请将正确答案的代号填在题后的括号中. 1.(2011北京市)抛物线y=x-6x+5的顶点坐标为( A ) A.(3,-4) B.(3,4)

2

C.(-3,-4) D.(-3,4)

2.(2011聊城市)下列四个表示函数的图象中,当x<0时,函数值y随自变量x的增大而减小的是( D )

A.

B.

C.

D.

2

3.(2012广州市)将二次函数y=x的图象向下平移一个单位,则平移以后的二次函数的解析式为( A )

22

A.y=x-1 B.y=x+1

C.y=(x-1) D.y=(x+1)

4.(2012株洲市)如图,已知抛物线与x轴的一个交点A(1,0),对称轴是x=-1,则该抛物线与x轴的另一交点

2

2

坐标是( A )

A.(-3,0) B.(-2,0) C.x=-3

D.x=-2

5. (2012巴中市)对于二次函数y=2(x+1)(x-3),下列说法正确的是( C ) A. 图象的开口向下

B. 当x>1时,y随x的增大而减小 C. 当x<1时,y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线x=-1

6.(2012

二次函数中档题 一、选择题

1.抛物线y??x?2??3可以由抛物线y?x平移得到,则下列平移过程正确的是( )

22A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 。B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 。 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位

2?x?1?1?x≤3????2.已知函数y??，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）

2???x?5??1?x＞3?A．0 B．1

2C．2 D．3

3.如图为抛物线y?ax?bx?c的图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正

确的是（ ） A．a＋b=－1 B． a－b=－1 C． b<2a D． ac<0

4.若二次函数y=ax+bx+c的x与y的部分对应值如下表：

2

X y

-7 -27

-6 -13

-5 -3

-4 3

-3 5

-2 3

则当x=1时，y的值为

A.5 B.-3 C.-13 D.-27

25.如图所示的二次函数y

二次函数经典解答题

1．如图，抛物线y＝ax2+bx的对称轴为y 轴，且经过点（，），P为抛物线上一点，A （0，）．

（1）求抛物线解析式；

（2）Q为直线AP上一点，且满足AQ＝2AP．当P运动时，Q在某个函数图象上运动，试写出Q点所在函数的解析式；

（3）如图2，以P A为半径作⊙P与x轴分别交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求点P的横坐标．

【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx的对称轴为y轴，则b＝0，将点（，），代入y＝ax2，即可求解；

（2）分点Q在点P下方（点Q位置）、点Q在点P上方（点Q′位置），两种情况分别求解；

（3）分AM＝AN、AM＝MN、AN＝MN，三种情况分别求解．

【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx的对称轴为y轴，则b＝0，

将点（，），代入y＝ax2并解得：a ＝，

故抛物线的表达式为：y ＝x2；

（2）设点Q的坐标为（x，y），点P（m ，m2），

①当点Q在点P下方时（点Q位置），

∵AQ＝2AP，

∴P为AQ的中点，

第1 页共3 页

由中点公式得：m ＝x ，m2＝，

整理得：y ＝x2﹣；

②当点Q在点P上方时（点Q′位置），

同理可得：y ＝﹣x2+；

Q点所在函数的解析式为：y ＝

一. 定义型 例1. 已知函数解：由一次函数定义知

是一次函数，求其解析式。

，

，故一次函数的解析式为y=-6x+3。

注意：利用定义求一次函数y=kx+b解析式时，要保证k≠0。如本例中应保证m-3≠0。 二. 点斜型

例2. 已知一次函数y=kx-3的图像过点(2, -1)，求这个函数的解析式。

解： 一次函数 的图像过点(2, -1)，

，即k=1。故这个一次函数的解析式为y=x-3。

变式问法：已知一次函数y=kx-3 ，当x=2时，y=-1，求这个函数的解析式。 三. 两点型

例3.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2, 0)、(0, 4)，则这个函数的解析式为_____。

解：设一次函数解析式为y=kx+b，由题意得

，

四. 图像型

故这个一次函数的解析式为y=2x+4

例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。

解：设一次函数解析式为y=kx+b由图可知一次函数 的图像过点(1, 0)、(0, 2)

有

五. 斜截型

故这个一次函数的解析式为y=-2x+2

例5. 已知直线y=kx+b与直线y=-2x平行，且在y轴上

二次函数应用题及压轴题

1．（2014?眉山）“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱． （1）现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？ （2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？ 2．（2014?台州）某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨．

（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；

（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润=销售总收入﹣经营总成本）． ①求w关于x的函数关系式；

②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？

（3