一元二次不等式解法例题

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《一元二次不等式及其解法》典型例题透析

类型一：解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式

（1）x?5x?0； （2）x?4x?4?0； （3）?x?4x?5?0 思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析：

（1）方法一：

因为??(?5)2?4?1?0?25?0

所以方程x?5x?0的两个实数根为：x1?0，x2?5 函数y?x2?5x的简图为：

2222

因而不等式x?5x?0的解集是{x|0?x?5}.

2?x?0?x?0方法二：x?5x?0?x(x?5)?0?? 或?

x?5?0x?5?0??2解得??x?0?x?0 或 ?，即0?x?5或x??.

?x?5?x?52因而不等式x?5x?0的解集是{x|0?x?5}.

（2）方法一：

因为??0，

方程x2?4x?4?0的解为x1?x2?2. 函数y?x?4x?4的简图为：

2

所以，原不等式的解集是{x|x?2}

方法二：x?4x?4?(x?2)?0（当x?2时，(x?2)?0） 所以原不等式的解集是{x|x

一元二次不等式的解法练习设计

一、选择题

1.不等式-6x2-x+2≤0的解集是( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A.{x|-23≤x≤12} B.{x|x≤-23或x≥12} C.{x|x≥12} D.{x|x≤-23} 2.如果不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为?,那么( )

A.a<0,Δ>0 B.a<0,Δ≤0 C.a>0,Δ≤0 D.a>0,Δ≥0

3.函数y=x2?x?12的定义域是( ) （定义域表示求自变量x的取值范围）A.{x|x<-4或x>3} B.{x|-4

5.对于任意实数x不等式ax2+2ax-(a+2)<0恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.-1≤a≤0 B.-1≤a＜0 C.-1＜a≤0 D.-1

6.设集合M={x|0≤x＜2,集合N={x|x2-2x-3

7.已知函数y=ax2?2x?3,x的变化范围是全体实数,则实数a的取值范围是( A.a>0 B.a≥

13C.a≤1D.0＜a≤13 3 二、非选择题（解答题做在背面） 8.若不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-

120恒成立,则k的取值范围是______.

10.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集是B. (1)求A∩B; (2)若不等式x2+ax+b<0的解集是A∩B,求ax2+x+b<0的解集.

用心 爱心 专心

)

3.2一元二次不等式及其解法

【学习目标】

1.掌握一元二次不等式的解法，体会数形结合的思想； 2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系； 3.能利用一元二次不等式解决简单的实际问题. 【要点梳理】

要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：x2?5x?0.一元二次不等式的一般形式：ax2?bx?c?0(a?0)或ax2?bx?c?0(a?0).

设一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两根为xx21、2且x1?x2，则不等式ax?bx?c?0的解集为

?xx?x21或x?x2?，不等式ax?bx?c?0的解集为?xx1?x?x2?

要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(a?0)成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系

对于一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两根为x21、x2且x1?x2，设??b?4ac，它的解按照

??0，??0，??0可分三种情况，相应地，二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图像与x轴的位置关系也

分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式ax2?bx?c?0(a?0)或ax2

不等式第二讲：一元二次不等式

一、一元二次不等式的解法

判别式??b?4ac 方程2??0 有两个不等实根 ??0 有两个相等实根 ??0 无实根 f(x)?ax2?bx?c?0 二次函数 y y y y?ax2?bx?c(a?0) 的图象 不等式O x1 x2 x O x1?x2x O x ax?bx?c?0(a?0) 的解集 不等式ax?bx?c?0 22?x|x?x1或x?x2? ?b?xx???? 2a??R (a?0)的解集 二、总结规律： ?x|x1?x?x2? ? ? 1、方程f(x)?0的实根是函数y?f(x)的图像与x轴的交点，也是函数y?f(x)的零点。 2、方程f(x)?0的根就是不等式解集的端点，不等式解集的端点就是方程f(x)?0的根。 3、不等式大于0的解集就是方程的根之外，小于0就是方程的两根之间；（大于取两根之外，小于取两根之间）（开口向上，即二次系数大于0）

?a?04、①不等式ax?bx?c?0恒成立的条件是?；

??0?2②不等式ax?bx?c?0恒成立的条件是?2?a?0

???05、如果函数y?f(x)在区间?a,b?上的图像是连续不断的一条曲线，并且有

f(a)?f(b)?0，那么函数y

很好的课件哦

含参数的一元二次不等式

很好的课件哦

复习引入 一元二次方程、 一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等 式的相互关系及其解法： 式的相互关系及其解法： = b 2 4 ac二次函数

>0y0 x1

=0y

<0yx

y = ax2 +bx+c(a > 0)的图像 一元二次方程

x2 x

0x1 = x 2

0x无实根

ax +bx+c = 0(a > 0)2

b b2 4ac x1 = 2a b + b2 4ac x2 = 2a1 2

有两个相等实根

的根

b x1 = x2 = 2a

ax2 + bx+ c > 0(a > 0)的解集

{x x < x 或x > x } x x ∈ R且 x ≠ 2ba

x∈ Rφ

ax2 +bx+c < 0(a > 0)的解集

{x x < x < x }1 2

φ

很好的课件哦

复习引入

解一元二次不等式的一般步骤1:确定二次项系数的符号 ： 2:判别△(能十字相乘法的不需判别) :判别△ 能十字相乘法的不需判别) 3:由1;2两个步骤画出不等式所对应函 ： ; 两个步骤画出不等式所对应函 数的大致图

<<含参数的一元二次不等式的解法>>教案

高二年级 数学 何二敏

一． 教学目标：

1. 使学生掌握含参数的一元二次不等式的解法。 2. 使学生掌握数形结合、分类讨论、等价转换的数学思想方法。

3. 使学生掌握分类讨论的标准有三个：二次项系数、判别式、根的大小。

4. 与学生共同学习社会主义核心价值观的相关内容 （1） 建立有中国特色社会主意 的共同理想； （2） 弘扬民族精神和时代精神； （3） 树立社会主义荣辱观；

（4） 马克思主义指导思想是社会主义核心价值体

系的灵魂。

二． 教学重、难点：

1. 重点：使学生掌握含参数的一元二次不等式的解法。 2. 难点：数形结分类讨论、等价转换等数学思想的应用和理解，分类讨论的标准。 三． 课型： 习题课。

四．课时安排：两课时。

一、按x2项的系数a的符号分类，即a?0,a?0,a?0; 例1 解不等式：ax2??a?2?x?1?0

教师：解一元二次不等式时解集形式是什么？

学生：大于在两边，小于在中间。

教师：这个结论确定吗？请同学们画出图形进行观察。 学生：前提条件是二次项系数是正数。 教师：本题中二次项系数的正负确定吗？ 学生：不确定，需要进行讨论。

教学：对。然后呢，

一元一次不等式的解法反思

王秀梅

在讲完不等式的性质后，我们根据学生情况安排4个课时学习解一元一次不等式，我们的设想是：第一课时：在简单理解不等式的基本性质的基础上，类比一元一次方程的解法，学习如何解一元一次不等式，注意其中的区别与联系（即类比思想），学会用数轴直观的表示不等式的解集（数形结合思想）；第二课时：熟练解一元一次不等式；第三课时和第四课时：一元一次不等式的应用。

由于本节课计算课，因此整个教学活动教师的讲解比较重要。在教学过程中不能急于求成，适时给予恰当的引导。再通过范例与学生共同经历解一元一次不等式的过程。

一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法十分相似，解一元一次方程的依据是等式的性质，而解一元一次不等式的依据是不等式的性质，所以讲授新课之前先复习了不等式的性质和前面刚学过的一元一次不等式的定义。对于一元一次不等式解法的教学中采用探究式的教学方法，首先鼓励学生运用不等式的性质和不等式的解集自主尝试求解，再交流解答过程，并进行适当的归纳总结。类比解方程的方法，并比较其异同。让学生非常清楚地看到不等式的解法与方程的解法的步骤是相同的，只是第一步去分母和最后一步系数化为1，可能使得不等号的方向改变。

在教学过程中，由于通过简单的类

一元一次不等式与一元一次不等式组的解法

知识点回顾

1．不等式用不等号连接起来的式子叫做不等式．常见的不等号有五种： “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”． 2．不等式的解与解集

不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．

不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．

不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点。解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左。

说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值． 3．不等式的基本性质（重点）

(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．如果a?b，那么

a?c__b?c

(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果a?b,c?0，那么ac__bc（或

ab___） cc （3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a?b,c?0那么ac__bc（或

ab___） cc说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有：

①若a－b＞0，则a大于b ；②若a－b＜0，则a小于b ；③若a

一元二次不等式及其解法

一、学习目标

1．熟练掌握一元二次不等式的解法及其应用．

2．理解二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解之间的关系．

二、基础知识

1

．

一

元

二

次

不

等

式

的

定

义： ． 2、二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解之间的关系．

3．指数、对数型不等式常使用

三、基础检测

1．不等式(x 2)(x 3) 0的解集是 ．

2

2．不等式4x 12x 9 0的解集是．

3．函数y 4．不等式

4x x2 9的定义域是 ．

x 1

0的解集是 ． x 2

5． 不等式(x2 4x 5)(x2 4) 0的解集是 6．函数y lg(x2 3x 2)的定义域是 7．若点P(四、例题

【例1】解下列不等式

(1) x2 2x 3 0;(2)x2 x 1 0;(3)x2 x 30 0;(4)4x(1 x) 1 0．

【例2】解关于x的不等式x2 2ax 3a2 0．

变式：解关于x的不等式2x2 ax 2 0．

【例3】．解不等式

2

【例4】． 解关于x的不

一元二次不等式及其解法

一、学习目标

1．熟练掌握一元二次不等式的解法及其应用．

2．理解二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解之间的关系．

二、基础知识

1

．

一

元

二

次

不

等

式

的

定

义： ． 2、二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解之间的关系．

3．指数、对数型不等式常使用

三、基础检测

1．不等式(x 2)(x 3) 0的解集是 ．

2

2．不等式4x 12x 9 0的解集是．

3．函数y 4．不等式

4x x2 9的定义域是 ．

x 1

0的解集是 ． x 2

5． 不等式(x2 4x 5)(x2 4) 0的解集是 6．函数y lg(x2 3x 2)的定义域是 7．若点P(四、例题

【例1】解下列不等式

(1) x2 2x 3 0;(2)x2 x 1 0;(3)x2 x 30 0;(4)4x(1 x) 1 0．

【例2】解关于x的不等式x2 2ax 3a2 0．

变式：解关于x的不等式2x2 ax 2 0．

【例3】．解不等式

2

【例4】． 解关于x的不