抛物线焦点弦的几个常用结论

[很全]抛物线焦点弦的有关结论

知识点1：若AB是过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F的弦。设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则

p2（1）x1x2?；（2）y1y2??p2

4证明：如图，

（1）若AB的斜率不存在时，

p2p依题意x1?x2?,?x1x2?

24A y x o B F p??若AB的斜率存在时，设为k,则AB:y?k?x??，与y2?2px联立，得

2??p?k2p22?222k?x???2px?kx?k?2px??0

24??2??p2p2?x1x2?. 综上：x1x2?.

44yy（2）?x1?1,x2?2，?y12y22?p4?y1y2??p2,

2p2p但y1y2?0,?y1y2??p2 （2）另证：设AB:x?my?p与y2?2px联立，得y2?2pmy?p2?0,?y1y2??p2 222知识点2：若AB是过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F的弦。设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则（1）AB?x1?x2?p;（2）设直线AB的倾斜角为?，则AB?证明：（1）由抛物线的定义知

ppAF?x1?,BF?x2?,

222p。 sin2?A y ?AB?AF?BF?x1?x2?p （2）若??900

[很全]抛物线焦点弦的有关结论

知识点1：若AB是过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F的弦。设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则

p2（1）x1x2?；（2）y1y2??p2

4证明：如图，

（1）若AB的斜率不存在时，

p2p依题意x1?x2?,?x1x2?

24A y x o B F p??若AB的斜率存在时，设为k,则AB:y?k?x??，与y2?2px联立，得

2??p?k2p22?222k?x???2px?kx?k?2px??0

24??2??p2p2?x1x2?. 综上：x1x2?.

44yy（2）?x1?1,x2?2，?y12y22?p4?y1y2??p2,

2p2p但y1y2?0,?y1y2??p2 （2）另证：设AB:x?my?p与y2?2px联立，得y2?2pmy?p2?0,?y1y2??p2 222知识点2：若AB是过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F的弦。设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则（1）AB?x1?x2?p;（2）设直线AB的倾斜角为?，则AB?证明：（1）由抛物线的定义知

ppAF?x1?,BF?x2?,

222p。 sin2?A y ?AB?AF?BF?x1?x2?p （2）若??900

江夏一中2013届文科数学一轮复习专题讲座

抛物线焦点弦问题

抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下： 一.弦长问题：

2

例1 斜率为1的直线经过抛物线y 4x的焦点，与抛物线相交AB两点，求线段AB的长。

二.通径最短问题：

2

例2：已知抛物线的标准方程为y 2px，直线l过焦点，和抛物线交与A.B两点，求AB的最小值并

求直线方程。

三．两个定值问题：

2

例3：过抛物线y 2px的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为x1、x2、y1、y2，

p22

求证：x1y1 ，y1y2 p。

4

四．一个特殊直角问题：

2

例4：过抛物线y 2px(P 0)的焦点F的直线与抛物线交与A、B两点，若点A、B在抛物线的准

线上的射影分别是A1，B1求证： A1FB1 90。

五．线段AB为定长中点到y轴的最小距离问题

2

例5：定长为3的线段AB的两端点在抛物线y x上移动，设点M为线段AB的中点，求点M到y 轴

的最小距离。

六．一条特殊的平行线

例6：过抛物线焦点的一条直线与它交与两点P、Q,经过点P 和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴。

七．一个特殊圆

例7：求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。

八．

关于抛物线焦点弦的弦长公式补充

(1)已知：抛物线的方程为

y2?2px(p?0)，过焦点F的弦AB交抛物线于A B两点，

且弦AB的倾斜角为?，求弦AB的长。 解：由题意可设直线AB的方程为y?k(x?p?)(??)将其代入抛物线方程整理得：

224k2x2?(4pk?8p)x?12pk122?0 ，且k?tan?

?pk?2p，

x2设A,B两点的坐标为(x,y),(x,y) 则：x?x2212k21x2?p42

|AB|?1?k2(x1?x2)2?4x1x2?2p(sin?)2

当???2时，斜率不存在，sin??1，|AB|=2p.即为通径

而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。 现在我们来探讨这个问题。

(2)已知：抛物线的方程为

x2?2py(p?0)，过焦点的弦AB交抛物线于A,B两点，

直线AB倾斜角为?，求弦AB的长。

解：设A,B的坐标为(故AB的方程为y?x1,y),(x2,y)，斜率为k(k?tan?)，而焦点坐标为(0,)，

12p2p?kx，将其代入抛物线的方程整理得： 22x2?2pkx?p?0,从而x1?x2?2pk,x1x2??p，

22弦长为：|

抛物线的几个常见结论及其应用

抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。

结论一：若AB是抛物线y2 2px(p 0)的焦点弦（过焦点的弦），且A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：

p2

x1x2 ，y1y2 p2。

4

例：已知直线AB是过抛物线

y2 2px(p 0)焦点F，求证：

11为定值。 AFBF

结论二：（1）若AB是抛物线y2 2px(p 0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则

AB

2P（α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）

2sin

最短。

例：已知过抛物线

y2 9x的焦点的弦AB长为12，则直线AB倾斜角为 。AB倾斜角为

2 或。 33

结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

例：已知AB是抛物线相切。

(2)分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆与直线AB

（1）以AB为直径的圆与抛物线的准线y2 2px(p 0)的过焦点F的弦，求证：

结论四：若抛物线方程为y2 2px(p 0)，过（2p，0）的直线与之交于A

关于抛物线焦点弦的一个性质及其证明

江苏省盱眙县马坝高级中学（211751） 赵建宏

p性质：设线段AB是过抛物线 y2?2px(p?0)的焦点F(,0) 的弦，记

2112AF?m,BF?n, 则??。

mnp本文给出下列九种证法：

p 的垂线AM、BN，再作2AP?x轴，BQ?x轴，垂足分别为M、N、P、Q。

证法一：如图一,过A、B分别作准线x??由抛物线定义得：AM?AF?m,BN?BF?n,FK?p 于是

y ?BN?FP?PK?FK?AN?KF?m?p,FQ?FK?KQ?FKp?n, A易知：△APF∽△FQB

FPAFy m?pm112?,即?，整理得：??. ∴A FQBFp?nnmnpM

K O N B Q F P C K O M ，

2 E ）（ 1 x F N B x 图一

D 图二 1

证法二：接图一,分别取MN、AB中点C、E,连结CE、CF、AC、FN及FM,延长AB交MN于D(如图二）.

∵AM?AF?m，BN?BF?n.

11m?n∴∠1＝（180o－∠NBA），∠2＝（180o－∠MAB），CE?

222AM∥BN 又∵

∴∠NBA＋∠MAB＝180o ，∴∠1＋∠2＝90o ∴∠M

与抛物线有结论

抛物线中有一些常见、常?y?k(x?p?)用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题2??y2?2px?时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。

p2结论一：若AB是抛物线y?2px(p?0)的焦点弦（过焦点的弦），且A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：x1x2?，

42y1y2??p2。

证明：因为焦点坐标为F(

22pp,0),当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为： y?k(x?)， 222y12y22p4p2由得: ky?2py?kp?0 ∴y1y2??p，x1x2?。 ???2p2p4p24当AB⊥x轴时，直线AB方程为x?p2x1x2?。

4p，则y1?p，y2??p，∴y1y2??p2，同上也有：2例：已知直线AB是过抛物线y2?2px(p?0)焦点F，求证：

11?AFBF为定值。

pp，BF?x2?，又22证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由抛物线的定义知：AF?x1?p2。 AF+BF=AB，所以x1+x2=AB-p，且由结论一知：x1x2?4则：1?1?AF?BF?AFBFAF?BFABABAB2 =?（常数） ?222ppppp

“点差法”公式在抛物线中点弦问题中的妙用

圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就抛物线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。

定理 在抛物线y?2mx(m?0)中，若直线l与抛物线相交于M、N两点，点P(x0,y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMN?y0?m.

2??y1?2mx1,??(1)证明：设M、N两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，则有?2

??y2?2mx2.??(2)2(1)?(2)，得y1?y2?2m(x1?x2).

22?y2?y1?(y2?y1)?2m.

x2?x1y2?y1,y2?y1?2y0.

x2?x1又?kMN??kMN?y0?m.

注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物

选修2-1 第二章 圆锥曲线 2.4抛物线 2.4.2抛物线的简单几何性质

普通高中课程标准实验教材选修( ) 普通高中课程标准实验教材选修(2-1)

抛物线习题课( ) 抛物线习题课(1)

选修2-1 第二章 圆锥曲线 2.4抛物线 2.4.2抛物线的简单几何性质

复习

一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线 平面内与一个定点 和一条定直线l 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 抛物线. 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点 定点 叫做抛物线的焦点 叫做抛物线的焦点. 定直线l 叫做抛物线的准线 准线. 定直线 叫做抛物线的准线N lM

· ·F

即:

MF ︳ ︳ , 则点 M 的轨迹是抛物线。 若 =1 MN ︳ ︳

注意：定点不在定直线上。 注意：定点不在定直线上。

选修2-1 第二章 圆锥曲线 2.4抛物线 2.4.2抛物线的简单几何性质

练习4.到定点(3,5)与定直线2x+3y-21=0的距离相等的点的轨迹 4.到定点(3,5)与定直线2x+3y-21=0的距离相等的点的轨迹 到定点(3,5)与定直线2x+3y 是( A.圆 A.圆 C.线段 C.线段

D)B.抛物线 B

篇一：抛物线定义及标准方程

一、 复习预习

复习双曲线的基本性质，标准方程以及方程的求法、应用

二、知识讲解

(一)导出课题

我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．

请大家思考两个问题：

问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？

在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？

问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？

在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．

引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．

(二)抛物线的定义

1．回顾

平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？

2．简单实验

如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用