随机变量x若服从标准正态分布其方差为

2012届安吉高级中学高三数学（理）计数原理与概率统计复习导学案（主备人：鲍利人 ）

10．8 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

班级 姓名

一、学习目标：

1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．

2．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 二、学习建议：

1．把握基本题型； 2．强化方法选择．

三、自主预习：（请用7分钟左右的时间完成，如若困难可先解决知识链接再解题） 1．某学习小组的一次数学考试成绩为： 分 数 频 数 频 率 分数×频率 95 2 96 4 97 3 98 1 填写表格的三、四两行，并求出①该学习小组这次考试的平均分；②表格的第四行的4个数据之和。 根据你的结果，解析你的发现。

知识链接1．

1．离散型随机变量的均值与方差的概念

若离散型随机变量X的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn (1)期望：称E(X)＝_____________________为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离

第三章 多维随机变量及其分布

随机向量的定义：

随机试验的样本空间为S={?}，若随机变量X1(?),X2(?),…,Xn(?)定义在S上，则称（X1(?),X2(?),…,Xn(?)）为n维随机变量（向量）。简记为（X1,X2,…,Xn）。

二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。

对（X,Y）研究的问题： 1．（X,Y）视为平面上的随机点。研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint

2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度；

marginal

3．X与Y的相互关系；

4．（X,Y）函数的分布。

§ 3.1 二维随机变量的分布

一．离散型随机变量 1．联合分布律

定义3.1 若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。

设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(xi,yj), i，j=1,2…,取这些值的概率为

pij=P{(X,Y)=(xi,yi)}=p{X=xi,Y=yi}i,j=1,2,…

1-7-2 随机变量分布列、期望、方差

1．在一次考试中，5名同学的数学、物理成绩如下表所示：

学生 数学(x分) 物理(y分) A1 89 87 A2 91 89 A3 93 89 A4 95 92 A5 97 93 (1)根据表中数据，求物理分y对数学分x的回归方程； (2)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．

n

?xi－x??yi－y?^^^^^i∑^－＝1附：回归方程y＝bx＋a中，b＝，a＝y－bx，其中x，y为样本平n∑ ?xi－x?2＝

i1

均数．

2．某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有1,2,3三个问题，每位参赛者按问题1,2,3的顺序做答，竞赛规则如下：

①每位参赛者计分器的初始分均为10分，答对问题1,2,3分别加1分，2分，3分，答错任一题减2分；

②每回答一题，积分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于12分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，累计分数仍不足12分时，答题结束，淘汰出局．

311

已知甲同学回答1,2,3三个问题正确的概率依次为，，，且各题回答正确与否相

2.1 随机变量及其

分布函数一、随机变量 二、分布函数

一、随机变量例1 抛一枚硬币,观察正面 1,反面 2出 现的情况: 样本空间 ={ 1, 2} 引入一个定义在 上的函数 X : 1, 1 X X ( ) 0, 2

由于试验结果的出现是随机的,因此 X( )的取值也是随机的

例2 从包含两件次品(a1,a2)和三件正品 (b1,b2,b3)的五件产品中任意取出两件:样本空间为: ={{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1}, {a2,b2},{a2,b3},{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3}}

以X表示抽取的两件产品中包含的 次品个数,则X是定义在 上的一个函数 即 X=X( ),

具体写出这个函数如下: 0 , ( b 1 , b 2 ), ( b 1 , b 3 ), ( b 2 , b 3 ) 1 , ( a 1 , b 1 ), ( a 1 , b 2 ), ( a 1 , b 3 ) X X ( ) ( a 2 , b 1 ), ( a 2 , b 2 ), ( a 2 , b 3 ) 2,

2.1 随机变量及其

分布函数一、随机变量 二、分布函数

一、随机变量例1 抛一枚硬币,观察正面 1,反面 2出 现的情况: 样本空间 ={ 1, 2} 引入一个定义在 上的函数 X : 1, 1 X X ( ) 0, 2

由于试验结果的出现是随机的,因此 X( )的取值也是随机的

例2 从包含两件次品(a1,a2)和三件正品 (b1,b2,b3)的五件产品中任意取出两件:样本空间为: ={{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1}, {a2,b2},{a2,b3},{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3}}

以X表示抽取的两件产品中包含的 次品个数,则X是定义在 上的一个函数 即 X=X( ),

具体写出这个函数如下: 0 , ( b 1 , b 2 ), ( b 1 , b 3 ), ( b 2 , b 3 ) 1 , ( a 1 , b 1 ), ( a 1 , b 2 ), ( a 1 , b 3 ) X X ( ) ( a 2 , b 1 ), ( a 2 , b 2 ), ( a 2 , b 3 ) 2,

《概率论与数理统计》内容提要及习题详解 第三章 多维随机变量及其概率分布 第 17 页 共 13 页

第三章 多维随机变量及其概率分布

【内容提要】

一、二维随机变量及其分布函数

【定义】设X?X(?),Y?Y(?)是定义于随机试验E的样本空间?上的两个随机变量，则称(X,Y)

为二维随机变量，称F(x,y)?P?X(?)?x,Y(?)?y?为其联合分布函数，而称:

F1(x)?P?X(?)?x?及F2(y)?P?Y(?)?y?分别为X,Y的边缘分布函数。

二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)具有如下性质: ⑴．非负性: ?x,y?R，有0?F(x,y)?1；

⑵．规范性: ?x,y?R，有F(x,??)?F(??,y)?0,F(??,??)?1； ⑶．单调性: 当x(或y)固定不变时，F(x,y)是y(或x)的单增函数； ⑷．右连续性: ?x,y?R，有F(x?0,y?0)?F(x,y)；

⑸．相容性: ?x,y?R，有F(x,??)?F1(x),F(??,y)?F2(y)； ⑹．特殊概率: 若x1?x2,y1?y2，则

P(x1?X?x2,y1?Y?y2)?F(x2,y2)?F(x1,y2)?F(x2,y

2013版高考数学一轮复习精品学案：第十一章 计数原理、概

率、随机变量及其分布 11.3随机变量及其分布

【高考新动向】

一、离散型随机变量及其分布列 1．考纲点击

（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；

（2）理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。 2．热点提示

（1）高考中对本节考查的重点是分布列的概念及其求法以及期望和方差的有关内容； （2）多以选择、填空的形式考查分布列的特点、服从超几何分布的随机变量的概率。 二、二项分布及其应用 1．考纲点击

（1）了解条件概率和两个事件相互独立的概念； （2）理解n次独立重复试验的模型及二项分布； （3）能解决一些简单的实际问题。 2．热点提示

（1）在选择、填空中考查条件概率、相互独立事件及n次独立重复试验的概率； （2）在解答题中考查这些概率，或者综合考查分布列、均值与方差等。 三、离散型随机变量的均值与方差 1．考纲点击

（1）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念；

（2）能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。 2．热点提示

（1）以选择、填空题的形式考查离散型随机变量均值与方差的概念和计算； （

2．1．1离散型随机变量

教学目标：

知识目标：1.理解随机变量的意义；

2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量 的例子；

3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.

能力目标：发展抽象、概括能力，提高实际解决问题的能力. 情感目标：学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣. 教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概率”的基础上，学习随机变量和统计的一些知识．学习这些知识后，我们将能解决类似引言中的一些实际问题 教学过程：

一、复习引入：

展示教科书章头提出的两个实际问题(有条件的学校可用计算机制作好课件辅助教学)，激发学生的求知欲 某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，?，命中10环等结果，即可能出现的结果可能由0，1，??10这11个数表示；

某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果可以由0，1，2，3，

2．1．1离散型随机变量

教学目标：

知识目标：1.理解随机变量的意义；

2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量 的例子；

3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.

能力目标：发展抽象、概括能力，提高实际解决问题的能力. 情感目标：学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣. 教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概率”的基础上，学习随机变量和统计的一些知识．学习这些知识后，我们将能解决类似引言中的一些实际问题 教学过程：

一、复习引入：

展示教科书章头提出的两个实际问题(有条件的学校可用计算机制作好课件辅助教学)，激发学生的求知欲 某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，?，命中10环等结果，即可能出现的结果可能由0，1，??10这11个数表示；

某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果可以由0，1，2，3，

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11．2 离散型随机变量的期望与方差

高考试题

1．（2005年江苏）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，

9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（D）

A．9.4,0.484 B．9.4,0.016 C．9.5,0.04 D．9.5,0.016 提示：本题考查了统计数据中平均数、方差有关概念、公式及有关计算等：

7个数据中去掉一个最高分和一个最低分后，余下的5个数为：9.4，9.4，9.6，9.4， 9.5，则平均数为：x?s29.4?9.4?9.6?9.4?9.5522?9.46?9.5，即x?9.5，方差为：

2?15[(9.4?9.5)?(9.4?9.5)?????(9.5?9.5)]?0.016，即 s2?0.016，故

选D.

2．（2005年全国卷三）设l为平面上过点（0，1）的直线，l的斜率等可能地取?22,?3，

5252?,0,,3,22，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望

Eξ= .

[答案]

47

13提示：原点到过点（0，1）且斜率为?22、2