高三导数压轴大题题型

导数压轴题题型

1. 高考命题回顾

x

例1已知函数f(x)＝e－ln(x＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷）

(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0.

11xx0

(1)解 f(x)＝e－ln(x＋m)?f′(x)＝e－?f′(0)＝e－＝0?m＝1，

x＋m0＋mx1ex＋－1

定义域为{x|x>－1}，f′(x)＝ex－＝，

x＋mx＋1

显然f(x)在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．

1xx(2)证明 g(x)＝e－ln(x＋2)，则g′(x)＝e－(x>－2)．

x＋2

11xxh(x)＝g′(x)＝e－(x>－2)?h′(x)＝e＋>0，

x＋2x＋2

所以h(x)是增函数，h(x)＝0至多只有一个实数根，

1111

又g′(－)＝－<0，g′(0)＝1－>0，

22e3

2

?1?

所以h(x)＝g′(x)＝0的唯一实根在区间?－，0?内，

?2?

?1?1t设g′(x)＝0的根为t，则有g′(t)＝e－＝0?－

t＋2?2?

1

所以，et＝?t＋2＝e－t，

t＋2

当x∈(－2，t)时，g′(x)g′(t)＝0，g(x)单调递增；

1＋t2t所以g(x)min＝g(t)＝e－ln(t＋2)＝＋t＝>

导数压轴题题型

1. 高考命题回顾

例1已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷）

(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0.

11

(1)解 f(x)＝ex－ln(x＋m)?f′(x)＝ex－?f′(0)＝e0－＝0?m＝1，

x＋m0＋m

ex?x＋1?－11x

定义域为{x|x>－1}，f′(x)＝e－＝，

x＋mx＋1

显然f(x)在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．

1

(2)证明 g(x)＝ex－ln(x＋2)，则g′(x)＝ex－(x>－2)．

x＋2

11

h(x)＝g′(x)＝ex－(x>－2)?h′(x)＝ex＋>0，

x＋2?x＋2?2所以h(x)是增函数，h(x)＝0至多只有一个实数根，

1111

又g′(－)＝－<0，g′(0)＝1－>0，

22e3

2

1

－，0?内， 所以h(x)＝g′(x)＝0的唯一实根在区间??2?

11

－

1－

所以，et＝?t＋2＝et，

t＋2

当x∈(－2，t)时，g′(x)g′(t)＝0，g(x)单调递增；

?1＋t?21t

所以g(x)min＝g(t)＝e－ln(t＋2)＝＋t＝>0，

t＋2t＋2

当m≤2时，有ln(x＋m)≤ln(x

导数压轴题题型

1. 高考命题回顾

x

例1已知函数f(x)＝e－ln(x＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷）

(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0.

11xx0

(1)解 f(x)＝e－ln(x＋m)?f′(x)＝e－?f′(0)＝e－＝0?m＝1，

x＋m0＋mx1ex＋－1

定义域为{x|x>－1}，f′(x)＝ex－＝，

x＋mx＋1

显然f(x)在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．

1xx(2)证明 g(x)＝e－ln(x＋2)，则g′(x)＝e－(x>－2)．

x＋2

11xxh(x)＝g′(x)＝e－(x>－2)?h′(x)＝e＋>0，

x＋2x＋2

所以h(x)是增函数，h(x)＝0至多只有一个实数根，

1111

又g′(－)＝－<0，g′(0)＝1－>0，

22e3

2

?1?

所以h(x)＝g′(x)＝0的唯一实根在区间?－，0?内，

?2?

?1?1t设g′(x)＝0的根为t，则有g′(t)＝e－＝0?－

t＋2?2?

1

所以，et＝?t＋2＝e－t，

t＋2

当x∈(－2，t)时，g′(x)g′(t)＝0，g(x)单调递增；

1＋t2t所以g(x)min＝g(t)＝e－ln(t＋2)＝＋t＝>

第一章 导数及其应用

一， 导数的概念

lim1..已知f(x)?,则?x?0

f(2??x)?f(2)的值是（ ）

?x11A. ? B. 2 C. D. －2

44h?01x变式1：设f??3??4,则lim

A．－１

f?3?h??f?3?为（ ）

2hＢ．－2 C．－3

f?x0??x??f?x0?3?x?变式2：设f?x?在x0可导,则lim等于 ?x?0?x A．2f??x0?

B．f??x0?

C．3f??x0?

D．1

D．4f??x0?

（ ）

导数各种题型方法总结

请同学们高度重视：

首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法

5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在

其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。

最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；

1、此类

导数压轴题题型归纳

1. 高考命题回顾

例1已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷）

(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0.

例2已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且

在点P处有相同的切线y＝4x+2（2013全国新课标Ⅰ卷） （Ⅰ）求a，b，c，d的值

（Ⅱ）若x≥－2时, f(x)?kg(x)，求k的取值范围。 例3已知函数f(x)满足f(x)?f'(1)ex?12. 在解题中常用的有关结论※

(1)曲线y?f(x)在x?x0处的切线的斜率等于f?(x0)，且切线方程为y?f?(x0)(x?x0)?f(x0)。 f?(x0)?0。反之，不成立。 (2)若可导函数y?f(x)在 x?x0 处取得极值，则(3)对于可导函数f(x)，不等式f?(x)?0??0?的解集决定函数f(x)的递增（减）区间。 ?0(?0)恒成立（f?(x) 不恒为(4)函数f(x)在区间I上递增（减）的充要条件是：?x?If?(x)0）. (5)函数f(x)（非常量函数）在区间I上不单调等价于f(x

1.已知函数f?x??ln?1?x??ax的图象在x?1处的切线与直线x?2y?1?0平行． （Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）若方程f?x??1?m?3x?在?2,4?上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； 4（Ⅲ）设常数p≥1，数列

求证：an?1≥an． 20．（本小题满分14分） （Ⅰ）f'(x)??an?满足an?1?an?ln?p?an?（n?N+），a1?lnp．

1111?a， ?f'(1)??a由题意知-a?-?a?1---------3分 x?1222（Ⅱ）由（1）f(x)?ln(1?x)?x,?原方程为4ln(1?x)?x?m， 设g(x)?4ln(1?x))?x，得g'(x)?43?x， ?1?1?x1?x?当3?x?4时g'(x)?0,当2?x?3时，g'(x)?0,g'(3)?0，

g(x)在[2，3]上是增函数，在[3,4]上是减函数。?g(x)max?4ln4?3,又g(2)?4ln3?2,g(4)?4ln5?4.

由于g(2)?g(4)?2ln9e?0?g(2)?g(4). 25?a的取值范围是[4ln5?4,4ln4?3).------------------------------------------

导数:

1.已知函数f?x??xlnx. （1）求函数f?x?的极值点；

（2）若直线l过点（0，—1），并且与曲线y?f?x?相切，求直线l的方程；

（3）设函数g?x??f?x??a?x?1?，其中a?R，求函数g?x?在?1,e?上的最小值.（其中e为自然对数的底数）

【答案】 解：（1）f??x??lnx?1,x＞0.……………………1分

1,f??1

而f??x?x?x,＞0?lnx+1＞0?x＞e＜0?lnx?1＜0?0＜＜e

?f?x??0,1????1,????

所以在?e?上单调递减，在?e?上单调递增.………………3分 x?1 所以e是函数f?x?的极小值点，极大值点不存在.…………………4分

（2）设切点坐标为

?x0,y0?，则y0?x0lnx0,切线的斜率为lnx0?1,

所以切线l的方程为

y?x0lnx0??lnx0?1??x?x0?.……………………5分

又切线l过点?0,?1?，所以有?1?x0lnx0??lnx0?1??0?x0?.

解得

x0?1,y0?0.

所以直线l的方程为y?x?1.………………………………………………7分

导数:

1.已知函数f?x??xlnx. （1）求函数f?x?的极值点；

（2）若直线l过点（0，—1），并且与曲线y?f?x?相切，求直线l的方程；

（3）设函数g?x??f?x??a?x?1?，其中a?R，求函数g?x?在?1,e?上的最小值.（其中e为自然对数的底数）

【答案】 解：（1）f??x??lnx?1,x＞0.……………………1分

1,f??1

而f??x?x?x,＞0?lnx+1＞0?x＞e＜0?lnx?1＜0?0＜＜e

?f?x??0,1????1,????

所以在?e?上单调递减，在?e?上单调递增.………………3分 x?1 所以e是函数f?x?的极小值点，极大值点不存在.…………………4分

（2）设切点坐标为

?x0,y0?，则y0?x0lnx0,切线的斜率为lnx0?1,

所以切线l的方程为

y?x0lnx0??lnx0?1??x?x0?.……………………5分

又切线l过点?0,?1?，所以有?1?x0lnx0??lnx0?1??0?x0?.

解得

x0?1,y0?0.

所以直线l的方程为y?x?1.………………………………………………7分

变换句式 三大题型

选用句式要求考生能根据不同的对象、场合、目的等，选用恰当的、与情景相符合的句式；变换句式要求考生能够根据特定的题目要求，在保持原句意思不变的前提下，对所提供的语言材料进行变换。

题型一 整散句变换

(2015·山东卷)用排比的修辞方式，改写下面画线部分。要求：①句式一致；②字

数相等；③与上文语意连贯；④不改变原意。(4分)

长途跋涉后，我终于在林中寻到这幽深澄碧的水潭。这潭水，可以将我的容颜映照在它明镜一般的水面上；我把这潭水当作激发我诗兴的佳酿；这潭水还可以成为我的墨池，供我笔走龙蛇。

解题思维

本题考查散句变整句的能力。完成本题可分三步。

第一步，研究例句句式特点。可以改为主动式和使动式两种形式。 第二步，确定修辞手法。原文运用比喻、整体上修改后构成排比。 第三步，调整理顺句序。依据逻辑顺序，组织文字写出答案。

答案：(示例1)如明镜，让我映照容颜；似佳酿，助我激发诗兴；若墨池，供我笔走龙蛇。

(示例2)可以成为明镜，映出我疲惫的容颜；可以当作佳酿，激发我豪迈的诗性；可以作为墨池，浸润我婉转的笔锋。

(2015·福建卷)阅读下面的文字，请将画线的句子改写成排比句。(要求：不得改变

原意。)(3分)

焦裕禄是闻名全国、

整理：beijingdaxue gaojiejack ◇导数专题

目 录

一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1） 二、交点与根的分布 （23） 三、不等式证明 （31）

（一）作差证明不等式

（二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式

四、不等式恒成立求字母范围 （51）

（一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数

（三）恒成立之讨论字母范围

五、函数与导数性质的综合运用 （70） 六、导数应用题 （84）

七、导数结合三角函数 （85）

书中常用结论(zhongdianzhangwo) ⑴sinx?x,x?(0,?)，变形即为点连线斜率小于1. ⑵ex?x?1 ⑶x?ln(x?1) ⑷lnx?x?ex,x?0.

sinx?1，其几何意义为y?sinx,x?(0,?)上的的点与原x一、导数单调性、极值、最值的直接应用

1. （切线）设函数f(x)?x2?a.

（1）当a?1时，求函数g(x)?xf(x)在区间[0,1]上的最小值； （2）当a?0时，曲线y?f(x)在点P(x1,f(x1))(x1?a)处的切线为l，l与x轴交于点A(x2,0)求证：x1?x2?a.

1

解：(1)a?1时，g(x