数形结合思想的开题报告

高三数学二轮复习理科课件

第三部分

高考专题讲解

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第二十五讲 数形结合思想

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考情分析数形结合思想的实质就是把抽象的数学语言、数量 关系和直观的图形结合起来，它在解选择题和填空题的 时候非常有用，在解答高考大题的时候也可以帮助打开 思路.数形结合作为一种重要的数学思想方法，历年来

一直是高考考查的重点之一，纵观近两年的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题， 可起到事半功倍的效果.从目前高考“注重通法，

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考情分析淡化技巧”的命题原则来看，应重点关注解析几何中图 象的几何意义以及函数图象的充分利用.

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要点串讲数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两 个方面，其应用大致可以分为两种情形：一种是借助形 的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手 段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函 数的性质；另一种是借助于数的精确性和规范严

共19页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第1页

数形结合思想在解题中的应用

陈勇

河南理工大学数学与信息科学学院数学与应用数学专业2009级2班

摘要：数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法,用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质。所谓数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数含义,又揭示其几何直观,使数量关系与空间形式和谐结合在一起的方法。它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。数与形是中学数学研究的两类基本对象,既相互独立,又互相渗透。尤其在坐标系建立以后数与形的结合更加紧密,而且在数学应用中若就数而论缺乏直观性,若就形论缺乏严密性,当二者结合往往可优势互补,收到事半功倍的效果。本文试从函数图像和几何图形两个方面,举例说明“以形助数”在解决数学问题中的一些妙用。

关键词：数学思想；数形结合；以形助数；以数辅形

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§1 引言

1.1数形结合思想的背景

早在数学萌芽时期,人们在度量长度、面积和体积的过程中,就把数和形联系起来了。我国宋元时期,系统地引进了几何问题代数化的方法,用代数

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第3讲 数形结合思想

概述：数形结合思想是教学中的一种重要思想，在解题过程中，?能画出图形的要尽量画出图形，图形能帮助你理解题意，有利于着手解题．

典型例题精析

例．以x为自变量的二次函数y=-x2+2x+m，它的图象与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B，点A在点B的左边，点O为坐标原点．

（1）求这个二次函数的解析式及点A，点B的坐标，画出二次函数的图象； （2）在x轴上是否存在点Q，在位于x轴上方部分的抛物线上是否存在点P，?使得以A、P、Q三点为顶点的三角形与△AOC相似（不包含全等），若存在，请求出点P、点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）∵y=-x2+2x+m与y轴交于C（0，3）， ∴3=m，代入y=-x2+2x+m得y=-x2+2x+3， 令-x+2x+3=0，x-2x-3=0，x1=-1，x2=3． ∴A（-1，0），B（3，0），由y=-x2+2x-1+4， y=-（x-1）2+4，得顶点M（1，4）．

（2）若存在这样的P、Q点，一定是∠PAQ=∠ACO．

∵若∠PAQ=∠CAO，则△ACO∽△AQP不合题意，

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第3讲 数形结合思想

概述：数形结合思想是教学中的一种重要思想，在解题过程中，?能画出图形的要尽量画出图形，图形能帮助你理解题意，有利于着手解题．

典型例题精析

例．以x为自变量的二次函数y=-x2+2x+m，它的图象与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B，点A在点B的左边，点O为坐标原点．

（1）求这个二次函数的解析式及点A，点B的坐标，画出二次函数的图象； （2）在x轴上是否存在点Q，在位于x轴上方部分的抛物线上是否存在点P，?使得以A、P、Q三点为顶点的三角形与△AOC相似（不包含全等），若存在，请求出点P、点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）∵y=-x2+2x+m与y轴交于C（0，3）， ∴3=m，代入y=-x2+2x+m得y=-x2+2x+3， 令-x+2x+3=0，x-2x-3=0，x1=-1，x2=3． ∴A（-1，0），B（3，0），由y=-x2+2x-1+4， y=-（x-1）2+4，得顶点M（1，4）．

（2）若存在这样的P、Q点，一定是∠PAQ=∠ACO．

∵若∠PAQ=∠CAO，则△ACO∽△AQP不合题意，

浅谈数形结合让小学数学课堂更生动

单位： 姓名：

摘要：数学思想方法是数学的灵魂。小学数学虽然不像初高中那样，将数形结合的思想系统化，但作为学习数学的启蒙和基础阶段，数形结合的思想已经渐渐渗透其中，为了更好的学习数与代数、空间与图形两方面的知识做铺垫，同时也在培养学生的抽象思维、解决实际问题方面起较大作用。以数形结合的方法钻研、挖掘教材，让小学生的数学小学更加有趣。 关键词：数形结合 小学数学 抽象 兴趣

数学是一门非常有用处的学科，同时它也是抽象的。现代数学要求我们用数学的眼光来观察世界，用数学的语言来阐述世界。从小学生数学学习心理来看，学生的学习过程不是被动的吸收过程，而是一个以已有知识和经验为基础的重新建构的过程，因此，做中学，玩中学，将抽象的数学关系转化为学生生活中熟悉的事例，将使儿童学得更主动，让学生对数学这门学科更加感兴趣。而兴趣是影响学习活动最直接最活跃最现实的因素，它推动人去探求新的知识，发展新的能力。所以，在我们在传授知识的同时，更应注重如何将知识更生动有趣的呈现给学生。

一、 数学概念的理解借助形的直观，丰富学生的感性认识

小学生处于生长发育阶段，随着年龄的

德宏师范高等专科学校 毕 业 论 文

系部：数学系 姓名：李 宏 学号：20130732103

班级：2013级初等教育理科

班

1

德宏师范高等专科学校数学系毕业论文

目录

【摘 要】 ........................................................... 1 【关键词】数形结合；小学数学；教学应用 ............................... 1 引 言 ................................................................ 1 1数学结合思想的简要概述 ............................................. 1

1.1数形结合思想的涵义 ............................................ 2 1.2数形结合在数学中的应用范围 .................................... 2 2数形结合在小学数学中的意义和价值 ................................... 2

2.1数形结合是开启

“数形结合”思想在小学数学中的运用

数形结合是小学数学中常用的、重要的一种数学思想方法。数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，揭示数和形之间的内在联系，实现抽象概念和具体形象表象之间的转化，发挥学生的思维。

数学家张广厚曾说：“数学无疑是一门高度抽象的学科，需要人们具有高度的抽象思维能力，但是也同样需要很强的几何直观能力。抽象思维如果脱离直观，一般是很有限度的，同样，在抽象中如果看不出直观，一般说明还没有把握住问题的实质。”在小学数学中，运用数形结合的思想，充分利用“形”把题中的数量关系形象、直观地表示出来，如通过作线段图、树形图、集合图、数轴等，帮助学生理解抽象的数量关系、数学概念，培养学生“在抽象中看出直观”的意识和能力，增强学生解决问题的能力。

一、运用“数形结合”思想开展概念数学

学习并非对于教师所授予的知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程。数学意义所指的是人们一致公认的事物的性质、规律以及事物之间的内在联系，是比较抽象的概念。数学概念的抽象性、枯燥性使得教学效果不尽如人意，而“数形结合”能使比较抽象的概念转化为

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系部：数学系 姓名：李 宏 学号：20130732103

班级：2013级初等教育理科

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1

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目录

【摘 要】 ........................................................... 1 【关键词】数形结合；小学数学；教学应用 ............................... 1 引 言 ................................................................ 1 1数学结合思想的简要概述 ............................................. 1

1.1数形结合思想的涵义 ............................................ 2 1.2数形结合在数学中的应用范围 .................................... 2 2数形结合在小学数学中的意义和价值 ................................... 2

2.1数形结合是开启

浅谈数形结合思想在初中数学教学中的应用

摘要：本文主要介绍数学思想方法，及其在初中数学教学中的应用。

关键词：数形结合思想；数量关系；图形关系。

数形结合思想是指将数与图形结合起来解决问题的一种思维方式。一般地，人们把代数称为“数”，而把几何称为“形”，数与形表面看是相互独立，其实在一定条件下它们可以相互转化，数量问题可以转化为图形问题，图形问题也可以转化为数量问题。在数学教学中，由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深学生对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于学生分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。抓住数形结合思想教学，不仅能够提高学生数形转化能力，还可以提高学生迁移思维能力。 数形结合思想在数学几乎全部的知识中，处处以数学对象的直观表象及深刻精确的数量表达这两方面给人以启迪，为问题的解决提供简捷明快的途径。它的运用，往往展现出“柳岸花明又一村”般的数形和谐完美结合的境地。著名的数学家华罗庚先生曾作过精辟的论述：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事非。切

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“数形结合”思想在小学数学教学中应用的研究

龙游县塔石镇中心小学课题组

负责人：黄秀清 成员：徐根 郑素莹 柴巧云 郑丽萍

一、课题的现实背景与意义 （一）课题研究的现实背景

众所周知数与形这两个基本概念，是数学的两块基石，可以说全部数学大体上都是围绕这两个基本概念的提炼、演度、发展而展开的，在数学发展进程中，数和形常常结合一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定的条件下互相转化。

数与形的内在联系，也使许多代数学和数学分析的课题具有鲜明的直观性，而且往往由于借用了几何术语或运用了与几何的类比从而开拓了新的发展方向，例如，线性代数正是借用了几何中的空间，线性等概念与类比方法，把自己充实起来，从而获得了迅猛的发展。

数学学习，不单纯是数的计算与形的研究，其中贯穿始终的是数学思想和数学方法。其中，“数形结合”无疑是比较重要的一种。“数”与“形”既是数学的两个基本概念，也是数学学习的两个重要基础，它们分别发展的同时又互相渗透、互相启发着，共同推动着数学科学的向前发展。

（二）研究本课题的现实意义

在现实世界中，数与形是不可分离地结合在一起的，这是直观与抽象相结合、感知与思维相结合的体现。数与形相结合不仅是数学自身