函数几何尺

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第三讲二次函数与几何图形

一、二次函数与角

1、已知抛物线y=ax+bx+c过点A（0，2）． （1）若点（﹣

，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；

2

（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°． ①求抛物线的解析式；

②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．

二、二次函数与直角三角形

1、如图1，抛物线y=ax+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）． （1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上． ①求四边形ACFD的面积； ②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．

2

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三、二次函数与等腰三角形

1、如图，

尺规作图

（丰台）9. 如图，△ABC中，AC＜BC，如果用尺规作图的方法在BC上

A

确定一点P，使PA+PC=BC，那么符合要求的作图痕迹是

A B

（延庆）9. 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出 A O B AOB的依据是 A．（SAS）

B．（SSS）

C．（AAS） D．（ASA）

B

C

（石景山）16．阅读下面材料：

在数学课上，老师请同学思考如下问题：

小轩的主要作法如下：

老师说：“小轩的作法正确．” 请回答：⊙P与BC相切的依据是____________________________________．

（朝阳）16．阅读下面材料： 数学课上，老师提出如下问题：

尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．

已知：直线AB和AB上一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．

小艾的作法如下：

所以直线CF就是所求作的垂线． 径作弧，交AB于D，E两点； （2）分别以点D和点E为圆心，大于（3）作直线CF．

如图，（1）在直线AB上取一点D，使点D与点C不重合，以点C为圆心，CD长为半

1

DE长为半径作弧，两弧相交于点F； 2

老师表扬了小艾的作法是对的．

请回答：小艾这样作图的依据是_______

利用几何知识求函数最值

数学与应用数学专业2011级 艾 英

摘要：解析几何是用代数研究几何，反过来，若能根据代数问题的结构特征，联想几何背景，建立解几模型，然后再利用解析几何的有关公式、性质、图形特征、位置关系探求解法。这对于开拓思路，提高和培养分析问题、解决问题的能力大有裨益。在下面我们就来探讨当所给函数具有某种几何意义时，求函数的最值采用建立解析几何基本模型的方法，把函数的最值转化为求两点间的距离，两点连线的斜率，点到直线的距离，直线的截距，定比分点公式，二次曲线等。通过上面的方法使我们在解决某些用代数方法解决函数最值中相当繁琐的问题简化。使解题变得更轻松。

关键字；解析几何；函数；最值；

Geometric kowledge seeking the most value function

Ludengrong

School of Mathematics, Mathematics and Information and Applied Mathematics 2006 Instructor: Zhang Sanhua

Abstract: Algebraic geometry analytic geometry is, i

1.如图，双曲线)0(＞k x

k

y =

经过矩形QABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D 。若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ） （A ）x y 1=（B ）x

y 2=

（C ） x y 3= （D ）x y 6=

2.如图，已知点A 、B 在双曲线x

k y =（x ＞0）上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与BD 交于点P ，

P 是AC 的中点，若△ABP 的面积为3，则k ＝ ．

3.已知：如图，正比例函数

y ax =的图象与反比例函数k

y x

=的图象交于点()32A ，．

（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；

（2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ （3）()M m n ，是反比例函数图象上的一动点，其中03m <<，过点M 作直线MN x ∥轴，交

y 轴于点B ；过

点A 作直线AC y ∥轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．

4.如图，已知双曲线)0k (x

k

y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交

于点

如何用几何画板画出函数图象

在解析几何中，抛物线是平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹，我们可通过尺规作图在平面内很容易找到这样的点，在用几何画板的轨迹工具就可画出抛物线。

1、新建一个绘图，选择菜单里的“图表”，鼠标单击“建立坐标轴”。

2、选择X轴，右击鼠标显示快捷菜单，选择作图，对象上的点；确保该点处在被选中状态，选择工具栏里的“标出文本&标签”工具，鼠标单击刚画出的点，将显示出该点的“标签”（假设为“M”）。选择工具栏里的“选择&平移”工具，鼠标单击M点，按住Shift键，鼠标单击X轴，右击鼠标显示快捷菜单，选择作图，作垂线 。准线作好了。

3、选择X轴，右击鼠标显示快捷菜单，选择作图，对象上的点；确保该点处在被选中状态，选择工具栏里的“标出文本&标签”工具，鼠标单击刚画出的点，将显示出该点的“标签”（假设为“F”）。点F为抛物线的焦点。

4、 选择垂线 ，右击鼠标显示快捷菜单，选择作图，对象上的点。确保该点处在被选中状态，选择工具栏里的“标出文本&标签”工具，鼠标单击刚画出的点，将显示出该点的“标签”（假设为“N”）。选择点N，按住Shift键，鼠标单击直线 。右击鼠标显示快捷菜单，选择作图，作垂线 。选择点N和点F，右击鼠

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一次函数几何应用----面积专题

典例讲习

考点一：由坐标引发的面积问题：

b一次函数y?kx?b与y轴交于A(0,b)、x轴交于B(?,0)，则坐标三角形面积S?AOBkb2?。 2k例1：如图，直线y=2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．则S?AOB的面积为 ． 变式：设直线y?kx?k?1和直线y?(k?1)x?k（k是正整数）及X轴围成的三角形的面积为Sk，求S1?S2?S2?...?S2014的值。

4例2、（乌鲁木齐中考）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y??x?4分别交x轴，y轴于点

3A、B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A′OB′．

（1）求直线A′B′的解析式；（2）若直线A′B′与直线l相交于点C，求△A′BC的面积．

变式（宜宾中考）已知：如图，在平面直角坐标系xoy中，一次函数y?轴交于A、B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A′OB′． （1）求直线A′B′的解析式；

（2）若直线A′B′与直线AB相交于点C，求S△A′BC：S△ABO的值．

3x?3的图象与x轴和y4

一次函数几何综合题

1．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半

2

轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x﹣7x+12=0的两个根（OA＞OB）． （1）求点D的坐标．

（2）求直线BC的解析式．

（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】 【解析】 试题分析：（1）解一元二次方程求出OA、OB的长度，过点D作DE⊥y于点E，根据正方形的性质可得AD=AB，∠DAB=90°，然后求出∠ABO=∠DAE，然后利用“角角边”证明△DAE和△ABO全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=OA，AE=OB，再求出OE，然后写出点D的坐标即可； （2）过点C作CM⊥x轴于点M，同理求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；

（3）根据正方形的性质，点P与点B重合时，△PCD为等腰三角形；点P为点B关于点C的对称点时，△PCD为等腰三角形，然后求解即可．

2

试题解析：（1）x﹣7x+12=0， 解得x1=3，x2=4， ∵OA＞OB， ∴OA=4，OB=3，

过D作DE⊥

隐函数定理及其在几何上的应用

【摘要】 隐函数(组)是函数关系的另一种表现形式。讨论隐函数(组)的存在性、连续性与可微性，是深刻了解这类函数本身的需要。同时在求以隐函数(组)的形式为方程出现的曲线和曲面的切线或切平面时，都要用到隐函数(组)的微分法。 【关键词】隐函数存在惟一性定理、隐函数可微性定理 、隐函数组定理、隐函数定理在几何上的应用 1 定理及证明

隐函数存在惟一性定理

设方程 F?x,y??0 中的函数F?x,y?满足以下四个条件： (i) 在以 (ii)

为内点的某一区域D ; (初始条件 );

;

上连续 ;

(iii) 在D内存在连续的偏导数(iv)

.

则在点P0的某邻域U?P0??D内 , 方程F?x,y?＝0唯一地确定一个定义 在某区间x??x0??,x0???内的隐函数y?f?x?，使得 ⑴ 当f?x0??y0 ，x??x0??,x0??? 时， 有?x,f?x???U?P0?且F?x,f?x???0 ；

⑵ 函数f?x?在区间x??x0??,x0???内连续。 证 首先证明隐函数的存在与惟一性． 证明过程归结起来有以下四个步骤

(a) “一点正, 一片正

几类典型光栅尺的性价比分析和使用要求简介

摘要：本文介绍了光栅尺的基本原理和分类。并列举了实际生产中的几种典型光 栅尺，介绍了其技术参数、安装步骤和使用方法，通过比较，得出性价比分析。 关键词：光栅尺；技术参数；摩尔纹

Abstract: This paper introduces the basic principle of grating ruler and

classification. And enumerates several typical light in actual production.Grating ruler, introduces the technical parameters, the installation steps and method of use, by comparison, it is concluded that ratio of analysis.

Keyword: grating ruler；technical parameters；Moore grain

1.光栅尺简介

光栅尺位移传感器（简称光栅尺），是利用光栅的光学原理工作的测量反馈装置。光栅尺位移传感器经常应用于数控机床的闭环伺服系

简介：“动尺变短”的说法，来自于《论动体的电动力学》出现之前，而人们却把它说成是相对论带来的观念变革，本来就属于张冠李戴。经典运动学所定义的“位移”，即使是对于发生在地面上的运动而言，严格地讲都不能适用；因为运动物体所通过的径迹都是弧，而所谓“位移”却指的是弦。

只需要把物体的自然状态分为地上的和空中的两类，你就会清楚牛顿所谓的惯性，实际上是对真正惯性的严重扭曲；他的惯性定律，即使是对于地面上物体的高速运动，都不能适用，而把这种只能近似地用于描述非自然运动的所谓“惯性定律”作为典范，去指斥、批驳相对论是毫无理由的。

文中列举的“蜗牛与城铁赛跑”，已经非常明确地揭示出，由于经典运动学定义的“位移”，对于在地面上所做的低速运动都是一种近似，当然就更不能适用于描述在空间中做高速运动的现象了。

“动尺变短”只是一种假象，真实情况则是：自然界根本就不存在直线运动！经典运动学定义的“位移”，对于高速运动是绝对不能再适用的。

动尺为什么会“变短”

通常都说“动钟变慢、动尺变短”，是相对论带来的对“时间、空间”认知上的观念变革；实际上这种说法并不正确。 本文只讨论与“尺”相关的问题。 1. “动尺变短”的由来

自古以来，“空间”这个概念就来源于事物