空间应力状态的概念

荆楚理工学院教案

第八章 应力状态和强度理论

授课班级 教学目标 教学内容 掌握平面应力状态及解析法和应力圆法；了解强度理论的应用。 1、 应力状态概念 2、 应力状态求解 3、 三向应力状态 4、 四种强度理论 重点：解析法和应力圆法求解点的应力状态。 难点：解析法和应力圆法求解点的应力状态。 板书、课题讨论 8 4节，每节2学时 重点难点 教学方法与手段 总学时 学时分配 讲课提纲： 本章与前几章在研究对象上的不同之处。

回顾：内力图：FN、Mn、FQ、M--一根（杆、轴、梁）

?FNmax、Mnmax—一段?强度计算?

F、M—一面（危险截面）?max?Qmax本章：应力状态— 一点。

第一节 应力状态的概念

一、为什么要研究一点的应力状态？ 简单回顾： 拉压：

??s?F 强度条件：??N??????n

?A?b?n扭转：

1

强度条件：?max??s?M?n??????n

?Wn?b?n

弯曲：

强度条

件

：

???s??nMmax????????max??Wz??b??n ???s??FQmaxSz?n???????????maxIz?b?b??n?但，到目前为止尚不能对如第4点的应力情况进行校核，因此：

1、

1.1 状态空间描述的概念

系统一般可用常微分方程在时域内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程，这是相当困难的。经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系统，得到联系输入－输出关系的传递函数，基于传递函数设计单输入－单输出系统极为有效，可从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。但传递函数对系统是一种外部描述，它不能描述处于系统内部的运动变量；且忽略了初始条件。因此传递函数不能包含系统的所有信息。由于六十年代以来，控制工程向复杂化、高性能方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、输出量、误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而可能处理复杂的时变、非线性、多输入－多输出系统的问题，但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。于是需要用新的对系统内部进行描述的新方法－状态空间分析法

k1y1M1v1k22y2vM2fB1B2

要保证从信号抽样后的离散时间信号无失真地恢复原始时间连续信号，必须满足： （1）信号是频带受限的；

（2）采样率至少是信号最高频率的两倍

那么理想采样频谱中，

基带频谱以及各次谐波调制频谱彼此是不重迭的，用一个带宽为?

一点应力状态概念及其表示方法

凡提到“应力”，必须指明作用在哪一点，哪个（方向）截面上。因为受力构件内同一截面上不同点的应力一般是不同的，通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。例如，图8-1弯曲梁横截面上各点具有不同的正应力与剪应力；

图8-2通过轴向拉伸杆件同一点的不同（方向）截面上具有不同的应力。

２．一点处的应力状态是指通过一点不同截面上的应力情况，或指所有方位截面上应力的集合。应力分析就是研究这些不同方位截面上应力随截面方向的变化规律。如图8-3是通过轴向拉伸杆件内

点不同（方向）截面上

的应力情况（集合）

３．一点处的应力状态可用围绕该点截取的微单元体（微正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况来表示。如图8-4（a,b）为轴向拉伸杆件内围绕取的两种微元体。

点截

特点：根据材料的均匀连续假设，微元体（代表一个材料点）各微面上的应力均匀分布，相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向相反；互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系。

§8-２平面应力状态的工程实例

１．薄壁圆筒压力容器

为平均直径，为壁厚

由平衡条件

得轴向应力： （8-1a）

图8-5c（Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ为相距为 的横截面，H-H为水平径向面）

由平衡条件或, 得

一 一点的应力状态与应力张量

二 主应力与应力不变量

对于一般空间问题，一点的应力状态可以由九个应力分量表示，如P点处应力状态在直角坐标系可表示为

??x?xy?xz???S??ij???yx?y?yz?

??zx?zy?z??? 如图1-1所示。在固定受力情况下，应力分量大小与坐标轴方向有关，但由弹性力学可知，

新旧坐标的应力分量具有一定变换关系。通常，我们称这种具有特定变换关系的一些量为张量。式（1-1）就是应力张量，它是二阶张量。因为它具有?xz=?zx，?xy=?yx，?yz=?zy。 已知物体内某点P的九个应力分量，则可求过该点的任意倾斜面上的应力。在P点处取出一无限小四面体oabc (图1-2)

它的三个面分别与x,y,z三个轴相垂直。另一方面即任意斜面，它的法线N，其方向余弦为l,m,n。分别以dF、dFx、dFy、dFz代表abc 、obc 、oac、 oab三角形面积。

dFx?ldF??dFy?mdF? （1.2）

?dFz?ndF? 在三个垂直于坐标的平面上有应力分量，在倾斜面abc上有合应力PN,它可分解为正应力

222 ?N及切向剪应力?N，即PN??N??NPN沿坐标轴方向分量为xN,yN，zN

装 订 线

实 验 报 告

系 姓名 预定时间

实验名称 用MATLAB分析状态状态空间模型

专业 学号

实验时间

自动化

班 授课老师 实验台号

一、目的要求 1、掌握线性定常系统的状态空间表达式。学会在MATLAB 中建立状态空间模型的方 法。 2、掌握传递函数与状态空间表达式之间相互转换的方法。学会用MATLAB 实现不同 模型之间的相互转换。 3、熟悉系统的连接。学会用MATLAB 确定整个系统的状态空间表达式和传递函数。 4、掌握状态空间表达式的相似变换。掌握将状态空间表达式转换为对角标准型、约当标准型、能控标准型和能观测标准型的方法。学会用MATLAB 进行线性变换。 二、原理简述 三、仪器设备 PC 计算机，MATLAB 软件 四、线路示图 装 订 线

五、内容步骤、数据处理 题1-1 已知系统的传递函数 （1）建立系统的TF 与ZPK 模型。 运行结果如下： >> num=4; den=[1 5 7 3 0]; Gtf=tf(num,den); >> Gtf T

实验一 状态空间的Matlab描述

实验目的：

1、 熟悉Matlab中矩阵的基本输入与运算（包括加、减、乘、求逆、转置等运算） 2、 熟练掌握利用Matlab建立控制系统的数学模型及进行线性变换的方法

实验内容：

1、 矩阵的基本输入与运算。

给定两个矩阵，求其加、减、乘、逆阵(求取矩阵逆阵的函数为inv（）)及转置，进行乘、逆阵运算时，注意行列限制。

2、 利用Matlab建立系统的各种数学模型各种模型之间如何进行转换 A、 传递函数模型

Y(s)bmsm?bm?1sm?1???b1s?b0W(s)??n

U(s)s?an?1sn?1???a1s?a0用以下命令建立传递函数模型：sys?tf(num,den)

num?[bm,bm?1,?,b0] 表示传函分子向量，各元素为分子多项式中各项系数，阶

次由高到低；

den?[1,an?1,an?2,?,a0] 表示传函分母向量，各元素为分母多项式中各项系数，

阶次由高到低。

注意：若多项式中有缺项，则向量中相应位置处系数为0；若为多输入-多输出系统，则bi为m?r实系数矩阵，num的行数与输出变量的个数相等。

B、 零极点增益模型

W(s)?Kg?(s?z)im?(s?pj?1

第二章 状态空间分析法

2－1 状态、状态变量、状态空间、状态方程、动态方程

任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，每个状态都可以用最小的一组(一个或多个)独立的状态变量来描述。

设系统有n个状态变量x1，x2，…，xn，它们都是时间t的函数，控制系统的每一个状态都可以在一个由x1，x2，…，xn为轴的n维状态空间上的一点来表示，用向量形式表示就是:

X = (x1，x2，…，xn)T

X称作系统的状态向量。

设系统的控制输入为：u1，u2，...，ur，它们也是时间t的函数。记：

U = (u1，u2，...，ur)T

那么表示系统状态变量X(t)随系统输入U(t)以及时间t变化的规律的方程就是控制系统的状态方程，如式（2－1）所示。

………………………………………………………

………（2－1）

其中 F = (f1，f2，...，fn)T 是一个函数矢量。

设系统的输出变量为y1，y2，...，ym，则Y = (y1，y2，...，ym)称为系统的输出向量。表示输出变量Y(t)与系统状态变量X(t)、系统输入U(t)以及时间t的关系的方程就称作系统的输出方程，如式2－2所示。

T

………………………………………………

………….

西安石油大学 自动控制理论课程设计

基于状态空间法的课题解法

摘要

本文通过在首先介绍了状态空间法的解题步骤，优点。

并引入了可用于开发和仿真的matlab 7.0，包括编写

matlab语言实现状态空间问题的解决方法以及在

simulink中进行系统的仿真和传递函数的调整，通过虚

拟操作，完成一个系统的调节。

关键词：matlab 仿真 传递函数 系统 调节

摘要........................................................................................1 1.课程任务设计书.................................................................3 原题..................................................................................3 设计要求..........................................................................3

第9章 线性系统的状态空间分析与综合

重点与难点

一、基本概念

1．线性系统的状态空间描述 （1）状态空间概念

状态 反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。

状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少）变量，它对于确定系统的运动状态是必需的，也是充分的。

状态向量 以状态变量为元素构成的向量。

状态空间 以状态变量为坐标所张成的空间。系统某时刻的状态可用状态空间上的点来表示。

状态方程 状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一般是关于系统的一阶微分（或差分）方程组。

输出方程 输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。

状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。线性定常系统状态空间表达式一般用矩阵形式表示：

??Ax?Bu?x (9.1) ??y?Cx?Du（2）状态空间表达式的建立。系统状态空间表达式可以由系统微分方程、结构图、传递函数等其他形式的数学模型导出。

（3）状态空间表达式的线性变换及规范化。描述某一系统的状态变量个数（维数）是确定的，但状态变量的选择并不唯一。某一状态向量经任

学生姓名： 刘吕 学号： 20121562 实验题目： 传递函数到状态空间的实现 课程名称： 计算机仿真

一、实验目的：

? 理解并掌握传递函数转换为状态空间方程的方法 ? 理解状态初值的计算方法

二、实验内容：

? 应用MATLAB编写一个可以实现传递函数到状态空间方程的可控可观规范

型的m文件。并用相应例题验证程序的正确性。

? 完善该程序使其可以用来计算状态初值。并用相应的例题验证程序的正确

性。

? 程序中需要考虑分子分母同阶以及分母首系数不为1的两种情况。

三、报告内容：

（1） 给出m文件的程序框图，及验证结果，并记录出现的错误，并给出解决的方

案。若没有得到解决，请说清楚你的问题

（2） 状态初值的求解，请给出相应的验证结果，并计算与精确解之间的误差。 四、实验原理：

b0sn?b1sn?1?…?bn?1s?bn1、传递函数为G(s)?

a0sn?a1sn?1?…?an?1s?an其状态空间模型能控标准型为：

?0?0A???…???an10…?an?101