分解因式常用方法

因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等 因式分解的一般步骤是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。

注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

2222

(1) (a+b)(a-b) = a-b -----------a-b=(a+b)(a-b)；

222222

(2) (a±b) = a±2ab+b ---------a±2ab+b=(a±b)；

22333322

(3) (a+b)(a-ab+b) =a+b---------a+b=(a+b)(a-ab+b)；

22

分解因式全部方法

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。 注意三原则 1 分解要彻底

2 最后结果只有小括号

3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)） [编辑本段] 基本方法

⑴提公因式法

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；

a

因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）平方差公式：(a+b)(a-b) = a2-b2

(2) 完全平方公式：(a±b)2 = a2±2ab+b2 (3) 立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

(4) 立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) （5）完全立方公式：(a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3 下面再补充两个常用的公式：

(6)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)

因式分解的概念及因式分解方法（一）

教学目的：

使学生能够掌握因式分解的概念以及初步学会因式分解。

教学重点：

1. 应用定义区别因式分解与多项式相乘 2. 提公因式法的正确掌握与灵活应用

教学难点：

能够正确找出公因式

教学过程： 计算

（1）5a(b?3c)?________________

1???s?t??2? （2）?________________

（3）(5m?3n)(5m?3n)?_____________ （4）(x?3)(x?5)?___________________ 答案：（1）5ab?15ac

21s2?st?t24 （2）

（3）25m?9n （4）x?2x?15

1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分

解，也叫做把这个多项式分解因式。 注意：

（1）因式分解的对象是“一个多项式”，掌握这一要点对判断、把握一种变形是否是因式分解提供一定的帮助。

（2）因式分解是一种恒等的变形

（3）因式分解的结果是“整式的积”的形式。

例1. 判断下列各

因式分解的常用方法

提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

22333322

(4) (a-b)(a+ab+b) = a-b ------a-b=(a-b)(a+ab+b)． 下面再补充两个常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；

例.已知a，b，c是?ABC的三边，且a2?b2?c2?ab?bc?ca， 则?ABC的形状是（ ）

A.直角三角形 B等腰三角

常用的因式分解公式

常用的因式分解公式：

待定系数法(因式分解)

待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．

在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．

例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析 由于

(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，

若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解 设

x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n)

=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn， 比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以

原式=(x+2y+3)(x+y+1)．

说明 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下． 例2 分解因式：x4-2x3-

八年级上册数学 知识点整理

分解因式的常用方法

有疑问的题目请发在“51加速度学习网”上，让我们来为你解答

51加速度学习网 整理

一、本节学习指导

本节较为复杂，因式分解大多讲究技巧，于是我们要多做练习，慢慢总结。本节有配套学习视频

二、知识要点

1、 因式分解的思路与解题步骤:

(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;

(2)再看能否使用公式法;

(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;

(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;

(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.

2、 提公共因式法

（1）、 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.

如:ab＋ac＝a（b＋c）

（2）、概念内涵:

(1)因式分解的最后结果应当是“积”;

(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;

(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: ma＋mb-mc=m(a＋b-c)

（3）、易错点:

(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;

(2)公因式是否提“干净”;

(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项

因式分解与提公因式法分解因式（1）

教学目标

1．使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变

形过程中的相反关系。了解事物间的因果关系。

2．使学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分

解因式，培养观察能力。 重点难点

1．重点是让学生识别整式的多项式形式与积的形式。能观察

出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来。

2．难点是让学生识别多项式的所有公因式。

教学过程

一、引入新课 1． 复习练习：计算下式： （1）m（a+b+c） （2）（m+n）（a+b） [教学要点]做整式乘法，运用乘法法则易得：

（1）m（a+b+c）= m a + m b + m c。 （2）（m+n）（a+b）= m a + m b + n

贵州师范大学求是学院本科期末论文（设计）

期末论文（设计）题目 《浅谈多项式因式分解的方法》

学生姓名： 何 娜 科任教师： 龙 伟 锋 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2012级 学 号： 122008011013

2015年 12 月 10 日

第 1 页 共 15 页

多项式因式分解的方法

摘要：在数学学习过程中以及上个学期的实习实践中（上初三的数学课），常常遇到多项式因式分解问题，本文对一元多项式因式分解的方法进行了初步的探索，归纳了一元多项式因式分解的12种方法，给出具体实例，并对每种方法加以评论。 关键词：一元多项式，因式分解

多项式在高等代数中的重要性使我们有必要对多项式进行深入研究。在高等代数中已经证明了数域上的多项式环内的每一个n?n＞0?次多项式都可以分解成这个多项式环内不可约多项式的乘积，并且表达式唯一（因式次序及零次因式的差异除外）。本文将对多项式因式分解的方法进行总结归纳。

因式分解方法归纳总结

第一部分：方法介绍

初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法

和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，进一步着重换元法，待定系数法的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb=m(a+b)

二、运用公式法.

2222

（1）(a+b)(a-b) = a-b ---------a-b=(a+b)(a-b)；

222222

(2) (a±b) = a±2ab+b ——— a±2ab+b=(a±b)；

22333322

(3) (a+b)(a-ab+b) =a+b------ a+b=(a+b)(a-ab+b)；

22333322

(4) (a-b)(a+ab+b) = a-b ------a-b=(a-b)(a+ab+b)． 下面再补充两个常用的公式：

2222

(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；

333222

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；

例.已知a，b，c是?ABC的三边，且a?b?c?ab?bc?ca， 则?ABC的形状是（ ）

A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解：a?b?