高数第一章题库及答案

高等数学第一章习题

一、填空

1.设y?f(x)的定义域是(0,1]，?(x)?1?lnx，则复合函数y?f[?(x)]的定义域为 2. 设y?f(x)的定义域是[1,2],则f(1)的定义域 。 x?1?13.设f(x)????10?x?1 ， 则f(2x)的定义域 。

1?x?25.设f(x)的定义域为(0,1)，则f(tanx)的定义域

6. 已知f(x)?sinx,f[?(x)]?1?x2，则?(x)的定义域为 。 7. 设f(x)的定义域是?0,1?,则f(ex) 的定义域 8.设f(x)的定义域是?0,1?,则f(cosx) 的定义域

sinx?x?2??3x?6?? 11.lim(1?2)x＝

9. lim＝ 10.limx??x??x??xx?5x?2?1711612.当x??时，

1是比x?3?x?1 的无穷小 x13.当x?0时，31?ax2?1与cosx?1为等价无穷小，则a? 14.若数列{xn}收敛，则数列{xn}是否有界 。

15.若limf(x)?A（A为有限数），而limg(x)不存在则lim[f(x)?g

第1次作业

二选择题

4， 下面三个函数中，不是初等函数的是（ ）；

A,y={ B,y={

x,0?x?12?x,1?x?2;

x,x?0?x,x?0

C,y=sgnx

解答：基本初等函数：幂函数 y=x ，指数函数 y=a ，对数函数 y=loga ，三角函数 ，反三角函数，初等函数和基本函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数。

axx第2次作业

四，根据数列极限定义证明

1，lim (n?1?n)=0

n??2证明: lim (n?1?n)=limn??21n?1?n2n??

0<

1 n2n?1?n2<

1对于任给的??0，取N=[

1]于是当n>N时，有 2?1n?1?n2-0

3n?n33, lim? n??2n2?12证明：

?0???1,限定n?3,对于任给的??0，取N=max{3,[

13?]},于是当n>N2?2时，有

3n2?n32n?332n2?1?2=

2(2n2?1)<

2n?4n2?9<12n?3

五，对于数列 {xn }，若x2k?1 ?a (k??) , x2k ?a 证明：xn?a(n??). 证明：???0

{

?k1?0,?k?k1,x2k?a???k2?0,?k?k2,x

2k?1?a?

第一章 函数与极限

第一章 函数与极限答案

第一节 映射与函数

1.填空题: （1）x??1,??x?1?1?x?0x??2； （2）y??； （3）{0}； （4）a；

0?x?1???xx?2

2?x?32?(x-1）x?1 （5）， x；（6）f(x-1)??x?3?x2. 选择题:

（1）C ； （2）A ； （3） B ； （4）B； （5） B； （6）C； （7）C ； 3． a?2,b?1,c?0；4． 2(1?x2)；

g(x?1)?2x2?5x?3；

?(?x)2?x2?x?0x?05. f(?x)??，即： f(x)??22?(?x)?(?x)?x?0?x?xx?06. 解：2f(x)?f(1?x)?x2 （1）

令x?1?t 得

2f(1?t)?f(t)?(1?t)2

2f(1?x)?f(x)?(1?x)2 （2）

x2?2x?1由（1）和（2）得；f(x)?

37． （1）y?|sinx|； （2）y?sin|x|； （3）y?2sinx.

2

8．设f[g(x)]由y?f(u),u?g(x)复合而成

第一章 函数与极限 第一节 映射与函数

1、 填空题.

x,0 x 1

x, 1 x 0

(1) x|x 2,x 1 , (2) , (3) 0 ， (4) a, (5) x 1 2,x 2

1 1 x 0 3 x,2 x 3x, x. (6) ..

2、 选择题.

(1) B (2) A (3) B (4) B (5) B (6) C (7)C

3、(1) 解: 因为 g(x 1) 2x 3x 1 2(x 1) (x 1) 2 比较系数，知 a 2,b 1,c 2.

2

g(t) 2t t 2. (2) 解: 由(1)可知，

2

g(x 1) 2(x 1) (x 1) 2 2x2 5x 1. 所以

2

2

xxx

f(sin) 1 1 2sin2 2 2sin2

222 4、解: 由题意知,

2

f(x) 2 2x 所以, .

( x)2, x 0

f( x) 2

( x) x, x 0 5、解:

x2,x 0 2

x x,x 0.

2

2f(x) f(1 x) x.6、, (1) 2 2f(1 x) f(x) (1 x) , (2)

(1

第一篇 高 等 数 学

第一章 函数 极限 连续

第一节 函 数

一、基本知识

1．函数的概念 （1）定义 设数集D?R，则称映射f:D?R为定义在D上的函数，通常简记为 y?f(x),x?D 其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df,即Df?D． 函数定义中，对于每一个x?D．按照对应法则f，总有唯一确定的值y与之对应，这个值称为函数f在x处的函数值，记作f(x)，即y?f(x)．因变量y与自变量x的这种依赖关系，通常称为函数关系．函数值f(x)的全体构成集合称为函数f的值域，记作Rf或f(D)，即

Rf?f(D)??yy?f(x),x?D?． （2）函数的常用表示法 ①公式法：如y?2x?1等， ②表格法：如三角函数表、对数表等， ③图示法：如温度记录仪记录的某地某天的温度曲线；医学上常用的心电图等． （3）分段函数 定义域内由两个或两个以上数学表达式分段表示的函数叫做分段函数． 函数关系y?f(x)不一定是由一个或几个数学表达式所构成，可能是由普通语言描述的，也可能是一幅图或一张表．总之，函数关系的实质是自变量与因变量之间的“对应关系”，而与表达形式无关，对于分段函数

第一章 数与式

第一节 实数及其计算

一、知识要点 1．实数的分类

有理数与无理数统称为实数. 无限不循环的小数叫无理数. 2．相反数、倒数、绝对值

若a，b互为相反数，则 a+b =0 . 若a，b互为倒数，则 ab=1 .

非负数的绝对值是它本身， 非正数的绝对值是它的相反数. 3．平方根、算数平方根、立方根

正数的平方根有两个，它们互为 相反数 ，0的平方根是 0 ，负数没有平方根. 正数a的正的平方根叫算数平方根；0的算数平方根是 0 . 正数的立方根是 正数，负数的立方根是 负数，0的立方根是 0 . 4．数轴

数轴的三要素：原点，正方向，单位长度. 5．实数的大小比较

在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数 大 .

负数 小于 0，两个负数比较大小的时候，绝对值大的反而 小 . 6．科学记数法

n

绝对值大于10的数表示为±a×10，其中 1≤ a <10 .

-n

绝对值小于1的数表示为±a×10，其中1≤ a <10 .

二、考纲要求

1．实数及相关概念的理解 2．数轴

3．近似数和科学记数法 4．实数的运算

三、思想方法

实数的分类及运算能力，科学计数法的实际运用

四、典型例析

《第一章 有理数》

一．技能考查

1.画数轴并表示有理数；

2.求一个数（比如-3）的相反数与绝对值；

3.比较有理数的大小（比如 -2.5与-2）；

二．例题示范

【例1】在数轴上画出表示0，1.5，-3及它们的相反数的点，并把它们按从小到大的顺序用“<”号连接起来。

【例2】某工厂生产一批零件，根据要求，圆柱体的内径可以有0.03毫米的误差，抽查5个零件，超过规定内径的记作正数，不足的记作负数，检查结果如下：+0.025毫米，-0.035毫米，+0.016毫米，-0.010毫米，+0.041毫米。

（1）指出哪些产品符合要求；

（2）指出符合要求的产品中哪个质量最好。

【例3】（1）比较a 与a 2-的大小；

（2）若1-x 和y 互为相反数，求y x +的值。

【例4】有理数a 在数轴上对应点的位置如图，则a ，-a ，1的大小关系是怎样的？（用“<”号连接）

三．A 组作业题

1.如果+30m 表示向东走30m ，那么向西走40m 表示为_______；

2.如果a 的相反数是2，那么a 等于_________；

3.在数13.9,2),3(,2.1,4+-+---中，负数有____________________；

4.若数轴上表示互为相反数的两个点之间

第一章 教育与教育学

一、选择题

1．“以僧为师”，“以吏为师”是古代什么时期的教育特征？ ( ) A．中国 B．埃及 C．希腊 D．罗马

2．以培养有文化修养和多种才能的政治家和商人为教育目的的是古代 ( ) A．斯巴达 B．埃及 C．希腊 D．雅典

3．以培养忠于统治阶级的强悍的军人为教育目的是古代 ( ) A．希腊 B．埃及 C．斯巴达 D．雅典

4．以注重身心的和谐发展，教育内容比较丰富，教育方法比较灵活为特征的 是古代 ( ) A．希腊 B．埃及 C．斯巴达 D．雅典

5．以强调军事体育训练和政治道德灌输，教育内容单一，教育方法比较严厉为特征 是古代 ( ) A．希腊 B．埃及 C．斯巴达 D．雅典

6．初等义务教育普遍实施于 ( )

A．古代 B．文艺复兴后的欧洲 C．近代 D．现代 7．以“教育的终身化”为教育特征的是 ( )

A．古代 B．文艺复兴后的欧洲 C．近代 D．现代 8．以“教育的民主化”为教育特征的是 ( )

A．古代 B．文艺复兴后的欧洲 C．近代 D．现代 9．以“教育的多元化”是为教育特征的是 ( ) A．古代 B．文艺复兴后的欧洲 C．近代 D．现代 10．反映孔子教育思想的文献是 ( )

A．《学记》 B

热力学第一定律

22. 某双原子理想气体1mol从始态350K，200Kpa经过如下四个不同的过程到达各自的平衡态。求各过程的功： （1）恒温可逆膨胀至50Kpa；

（2）恒温反抗50 Kpa恒外压膨胀50Kpa； （3）绝热可逆膨胀至50Kpa；

（4）绝热反抗50Kpa恒外压膨胀到50Kpa。 解：（1） W=-?V1V2PdV???V2V1RT/VdV=RTlnV1/V2=RTlnP2/P1

W=8.314*350ln(50/200)=-4.034KJ

(2) W=-P2*（V2-V1）=-P2*(RT/P2-RT/P1)=P2/P1*RT-RT

=-3/4RT=-3/4*8.314*350=-2.183KJ (3) γ=Cpm/Cvm=7/2R/5/2R=1.4

绝热过程方程：（T2/T1）*(P2/P1)(1-γ)/γ=1 T2/350=(200/50)-0.4/1.4

T2=350*(1/4)0.4/1.4=235.5K

W=△U=Cvm*(T2-T1)=5/2*R*(235.5-350)=-2.38KJ

习题1.1

1、写出下列随机试验的样本空间.

（1）生产产品直到有4件正品为正，记录生产产品的总件数. （2）在单位园中任取一点记录其坐标. （3）同时掷三颗骰子，记录出现的点数之和. 解：（1）??{4,5,6,7,8?} （2）??{(x.y)x2?y2?1} （3）??{3,4,5,6,7,8,9,10,?,18}

2、同时掷两颗骰子，x、y分别表示第一、二两颗骰子出现的点数，设事

C表示件A表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”，B表示“点数之差为零”，“点

数之积不超过20”，用样本的集合表示事件B?A，BC，B?C.

解：B?A?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5),(6.6)}

BC?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4)}

B?C?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5),(6.6),(4.6),(6.4),(5.6),(6.5)}

3、设某人向靶子射击3次，用Ai表示“第i次射击击中靶子”（i?1,2,3），试用语言描述下列事件.

（1）A1?A2 （2）(A1?A2)A3 （3）A1A2?A2A2 解：（1）第1，2次都没有中靶

（2）第三次中靶且第1