空间几何垂直证明方法

空间几何平行与垂直证明 线面平行

方法一：中点模型法

例：1.已知在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形， E为PC的中点. 求证：PA//平面BDE P D A

练习：

1.三棱锥P_ABC中，PA?AB?AC，?BAC?120?，PA?平面ABC， 点E、F 分别为线段PC、BC的中点，

（1）判断PB与平面AEF的位置关系并说明理由； （2）求直线PF与平面PAC所成角的正弦值。 B

ECBPEAFC2．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD.DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD.

(1)证明：PA∥平面BDE； (2)证明：AC⊥平面PBD.

3.已知空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为

A AB,BC,CD,DA的中点.

求证：AC//平面EFG. HE

DG

B FC

4.已知空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点. 求证：EF //平面BGH. A

H E

D G BF

方法二：平行四边形法

例：1.已知在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，E为P

空间几何平行垂直证明专题训练

? 知识点讲解

一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明

1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质

3) 利用空间平行线的传递性:m//a,m//b?a//b

平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理：

如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

a∥?a??β

a b

?a∥bα

????b5）利用平面与平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

6）利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

a?? b???a∥b7）利用平面内直线与直线垂直的性质：

a?//???????a??a//b????b??b?在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8）利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点

（二）直线与平面平行的证明

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1) 利用直线与平

篇一：线面、面面垂直的证明

线面、面面垂直的证明

广东省珠海市斗门区第一中学 (519100) 冼虹雁

教材版本：普通高中课程标准实验教科书·数学（选修）人民教育出版社（人教版） 年级、科目：高三数学第1轮复习课 第十章 第9课时

一、【教材分析】

近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考查重点．在新课标教材中将立体几何难度要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，是知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重．

预测2011年高考将以多面体为载体直接考查线面位置关系：

（1）考题将可能以选择题、填空题或解答题的形式出现；

（2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考查线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主；

（3）解答题多采用一题多问的方式，这样既降低了起点又分散了难点．

二、【教学目标】

知识与技能目标：（1）理解几种垂直的定义，掌握线面、面面垂直的判定定理；

（2）运用线面、面面垂直的判定定理解决问题．

过程与方法目标：（1）通过直观感知，操作确认的方法归纳

几何证明的基本方法

一．割补法：

1.（全等）如图，点E是BC中点， BAE CDE，求证：AB CD

（相似）如图，点E是BC上一点，BE k EC， BAE CDE，猜想AB、CD的数量关系.

2. （全等）如图，在 ABC中， BAC 90 ，AB AC，CD//BA，点P

是BC上一点，连结AP，过点P做PE AP交CD于E.

探究PE与PA的数量关系.

相似）如图，在 ABC中， BAC 90 ，AB k AC，CD//BA，点P是BC上一点，连结AP，过点P做PE AP交CD于E.

探究PE与PA的数量关系.

--1--

3. （全等）如图，在 ABC中，AB AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD CE，DE交BC于点P.

探究PE与PD的数量关系.

（相似）如图，在 ABC中，AB k AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD CE，DE交BC于点P.

探究PE与PD的数量关系.

4. （全等）如图，在 ABC中， DBC ECB

探究BE与CD的数量关系.

1 A，BD、CE交于点P. 2

（相似）如图，在 ABC中， DBC ECB A，BD、CE交于点P，PB k PC.

探究BE与CD的数量关系.

5．（全等）如图，在 EBC

第一讲：空间几何中的向量方法---------坐标运算与法向量

一、空间向量的坐标运算

??1． 若a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)，则

（1）a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； （2）a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； （3）?a?(?a1,?a2,?a3),??R； （4）a?b?a1b1?a2b2?a3b3； （5）a//b?a1??b1,a2??b2,a3??b3,(b?0,??R)； （6）a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0； （7）a?（8）cos?a,b??22a?a?a12?a2?a3；

a1b1?a2b2?a3b3a?b. ?222222a?ba1?a2?a3?b1?b2?b3?????????例1 已知a?(2,?3,5),b?(?3,1,?4),求a?b,a?b,8a,a?b,的坐标.

????2.若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)

练习1: 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB,PC的中点，且PA=AD=1，

?????求向量MN的坐标.

二、空间直角坐标系中平面

1

（8下）5、如图17所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、

b满足a?b?(a?4)2?0．

CyOAxP（1）如图17，若C的坐标为（－1，0），且AH⊥BC于点H， AH交OB于点P，试求点P的坐标；

（2）如图18，连接OH，求证：∠OHP＝45°；

BHCyOAH图17 B Px图18 （3）如图19，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM－S△ADN的值是否发生改变，如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．

DMAONxy

B图19

2

23．（本题满分12分）已知，如图1，在平面直角坐标系中，直线l1:y??x?4与坐标轴分别相交于点A、B，与直线l2:y??（1）求点C的坐标；

（3）如图2，点P是第四象限内一点，且∠BPO=135°，连接AP，探究AP与BP的位置关系，并证明你的结论.

1x，相交于点C， 3

25．（12分） 如图，直线y=x+1交x轴于点A，交y轴于点C，OB=3OA，M在直线AC上，AC=CM.（1）求直线BM的解

浅谈初中数学几何证明题解题方法

内容摘要：几何证明题的一般结构由已知条件和求证目标组成。做几何证明题的一般步骤：审题，寻找证明的思路，书写证明过程

关键词：几何证明 条件 结论 .执因索果 执果索因 辅助线

初中学生正处于自觉形象思维向逻辑思维的过度阶段，几何证明，是学生逻辑思维的起步。这种思维方式学生刚接触，会遇到一些困难。许多学生在几何证明这里“跌倒了”，丧失了信心，以至于几何越学越糟。为此，我根据自己几年的数学教学实践，就初中数学中几何证明题的一般结构，解题思路进行初步探讨。

学好几何证明，起步要稳，要求学生在学习几何时要扎扎实实，一步一个脚印，在掌握好几何基础知识的同时，还要培养学生的逻辑思维能力。 一、几何证明题的一般结构

初中几何证明题的一般结构由已知条件和求证目标两部分（即前提和结论）组成。已知条件是几何证明的前提，指题目中用文字和符号直接给出的明确条件，也包括所给图形中暗含的条件。求证指题目要求的经过推理最终得出的结论。已知条件是题目既定成立的、毋庸置疑而且必然正确的。求证是几何证明题的最终目标，就是根据题目给出的已知条件，利用数学中的公理、定理、性质，

几何证明、求值依据

④证明一个平面的法向量垂直于另一个平面内的两条不共线向量（需说明两个平面不重合）.

有法可依、有理可据

1、证明线线平行常用的方法：

①基本性质4；

②直线与平面平行的性质定理；

③两个平面平行的性质定理；

④直线和平面垂直的性质定理；

⑤平面几何中的定理等；

⑥证明两条直线的方向向量共线（需说明它们不重合）.

4、证明线线垂直常用的方法：

①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线都垂直；

②如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么也垂直于另一条；

③三垂线定理（逆定理）；

④勾股定理；

⑤一些常见平面几何图形（需简单证明）； ⑥证明两条直线的方向向量垂直.

2、证明线面平行常用的方法：

①直线与平面平行的判定定理；

②如果两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面；

③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（需说明直线不在平面内）；

④证明直线的方向向量可以被平面内的两个不共线向量分解（需说明直线不在平面内）.

5、证明线面垂直常用的方法：

①直线和平面垂直的判定定理；

②两个平面垂直的性质定理；

③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面；

空间中的垂直关系复习学案

课标要求：通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：

◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 ◆ 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：

◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 基础知识回顾：

1、 证明线线垂直：如果一条直线l和一个平面α垂直，那么l和平面α内的任意一条直线都垂直。（线面垂直?线线垂直）

2、线面垂直：方法一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（线线垂直?线面垂直）

方法二：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直+线线垂直?线面垂直）

3．面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（线面垂直?面面垂直）

4、垂直?平行：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行 典例解析

题型1：线线垂直问题

例1．如图1所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1，A1B1，BC，CD

内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 第7讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

一、选择题

1.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则( ) A.l∥α C.lα

B.l⊥α D.l与α相交

解析 ∵n＝－2a，∴a与平面α的法向量平行，∴l⊥α. 答案 B

→→→

2.若AB＝λCD＋μCE，则直线AB与平面CDE的位置关系是( ) A.相交 C.在平面内

B.平行

D.平行或在平面内

→→→→→→

解析 ∵AB＝λCD＋μCE，∴AB，CD，CE共面. 则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内. 答案 D

3.已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则下列点P中，在平面α内的是( ) A.P(2，3，3)

C.P(－4，4，0) D.P(3，－3，4)

→

解析 逐一验证法，对于选项A，MP＝(1，4，1)， →→

∴MP·n＝6－12＋6＝0，∴MP⊥n，

∴点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内. 答案 A

4.(2017·西安月考)如图，F是正方体ABCD－A