圆与相似三角形综合题解题技巧

浙基教育武义校区1对1个性化教学 好老师！好成绩！更自信！ 相似三角形的中考综合题 相似三角形知识点大总结

知识点1 有关相似形的概念 知识点2 比例线段的相关概念

（1）如果选用同一单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n，那么就说这两条线段的比是 ，或写成 ．注：在求线段比时，线段单位要 。

（2）注：①比例线段是有顺序的，如果说a是b,c,d的第四比例项，那么应得比例式为： ．②

ac?(a：b?c：d)中，a、d叫 ，b、c叫 , a、c叫 ，b、d叫 ，d叫 ，bd如果b=c，即 a：b?b：d那么b叫做a、d的 ， 此时有 。 在比例式（3）黄金分割： 。

0

注：黄金三角形：顶角是36的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形

知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）

（1） 基本性质：

注：由一个比例式只可化成一个

三角函数和相似三角形综合题

1、（2017?哈尔滨）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则cosB的值为（ ） A．11515417B．C .D．

4415172、（2017?金华）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值是（ ） A．

3434 B. C. D. 43551，那么sinA的值是（ ） 2C．

3、（2017?聊城）在Rt△ABC中，cosA=

A．

2 2B．

3 23 3

1D．

2

4、（2017?安顺）如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为（ ）

6A．

5

B．

8 5C．

7 5D．

23 5

5、（2017?滨州）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（ ）

A．2+3 B．23 C．3+3 D．33

6、（2017?白银）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°

二次函数与相似三角形

例1 如图1，已知抛物线y??x2?x的顶点为A，且经过原，与x轴交于点O、B。 （1）若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；

（2）连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

．．．．．．．

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况

2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径

① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三．．角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

解:⑴如图1,当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时,CD∥＝O

最新初中数学--相似三角形综合题专项训练

1.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． △ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F． （1）求证：△ACB∽△DCE；（2）求证：EF⊥AB．

【关键词】相似三角形 【答案】 证明：（1）

∵ AC?3,BC?6?3,DC2 CE42 ∴ AC?BC.

DCCE

又 ∠ACB=∠DCE=90°， ∴ △ACB∽△DCE． （2）

∵ △ACB∽△DCE，∴ ∠ABC＝∠DEC． 又 ∠ABC＋∠A =90°，∴ ∠DEC＋∠A=90°． ∴ ∠EFA=90°． ∴ EF⊥AB．

2．将一个量角器和一个含30度角的直角三角板如图（1）放置，图（2）是由他抽象出的几何图形，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OD。 （1） 求证：DB∥CF。

（2） 当OD=2时，若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，求OB。 【关键词】相似、切线

【答案】证明：（1）连接OF，如图 ∵AB且半圆O于F， ∴OF⊥AB。

∵CB⊥AB ，∴BC∥OF。 ∵BC=OD，OD=OF， ∴BC=OF。

∴四边形OBCF是平行四边形

相似三角形中的辅助线添加和相似三角形证明技巧

在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：

一、作平行线 例1. 如图， 的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BCABC延长线相交于F，求证：

BFBD

CFCE

B

A C

F F

证明：过点C作CG//FD交AB于G

小结：本题关键在于AD＝AE这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。

例2. 如图，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·

DF=AC·EF。

分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。

ABEF

欲证AB DF AC ，而这四条线段所在的两个三角形显然

ACDF

不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平

行线。

方法一：过E作EM//AB，交BC于点M，则△EMC∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）。

EM AC AB EC

1、在△ABC中，M在AB上，且 MB=4,AB=12, AC=16,在AC上有一点N,使△AMN与原 三角形相似，则AN的长为________。32 或6 3

2、已知:ΔABC , P是边 AB 上的一点,连 ∠B 结 CP.(1)当∠ACP=________ 时,ΔACP∽ΔABC. (2)当 AC : AP= AB:AC 时, ΔACP ∽ΔABC.理由：∠A是公共角。 两个角对应相等的三角形相似

AC AB AP AC

3、在三角形ABC中， ∠ACB=90°,CD⊥AB于D。8 ①若AD=4,BD=16,则CD=_______; 20 ②若AC=10,AD=5,则AB=______; 12 ③若AD=7,BD=9,则BC=__________; ④若△ACD与△CBD的面积比为1:4. 1:2 AD:CD=_______; AD:BD=______; 1:4 △ACD与△ABC的面 积比为_______; 1:5

4、如图,D、E是ΔABC的边AB、AC上的 点,∠A=350, ∠C= 850,∠AED= 600. 求证:(1) ΔADE∽ΔACB (2) AD· = AE · AB AC证明:(1)∵

1、在△ABC中，M在AB上，且 MB=4,AB=12, AC=16,在AC上有一点N,使△AMN与原 三角形相似，则AN的长为________。32 或6 3

2、已知:ΔABC , P是边 AB 上的一点,连 ∠B 结 CP.(1)当∠ACP=________ 时,ΔACP∽ΔABC. (2)当 AC : AP= AB:AC 时, ΔACP ∽ΔABC.理由：∠A是公共角。 两个角对应相等的三角形相似

AC AB AP AC

3、在三角形ABC中， ∠ACB=90°,CD⊥AB于D。8 ①若AD=4,BD=16,则CD=_______; 20 ②若AC=10,AD=5,则AB=______; 12 ③若AD=7,BD=9,则BC=__________; ④若△ACD与△CBD的面积比为1:4. 1:2 AD:CD=_______; AD:BD=______; 1:4 △ACD与△ABC的面 积比为_______; 1:5

4、如图,D、E是ΔABC的边AB、AC上的 点,∠A=350, ∠C= 850,∠AED= 600. 求证:(1) ΔADE∽ΔACB (2) AD· = AE · AB AC证明:(1)∵

《相似三角形》说课稿

各位领导、老师下午好！

今天我说的内容是：人教版九年级数学下册《相似三角形》

我将从教材分析、学情分析、教学模式、教学设计、板书设计、课堂评价6个方面来对本课进行说明 一、 说教材

1、教材所处的地位和作用

《相似三角形》是义务教育数学课程标准实验教材。相似三角形的知识是在全等三角形的基础上的拓广和发展,相似三角形承接全等三角形,从特殊的相等到一般的成比例予以深化,另外相似三角形的性质还是研究相似多边形性质的基础，也是今后研究圆中线段关系的有效工具。同时对后续教学内容起奠基作用，也为学生今后学习和生活更好的运用数学做准备。 2、教学目标

（1）知识目标 探索相似三角形、相似多边形的性质，会运用相似三角形、相似多边形的性质解决有关问题；

（2）能力目标 通过教学渗透类比的思想方法，培养学生探究新知识的能力及运用所学知识解决实际问题的能力。

（3）情感目标： 让学生在探求知识的活动过程中体会成功的喜悦，从而增强其学好数学的信心。

3、教学重点、难点：

本课重点是深入理解认识相似三角形的概念 难点是 ①相似三角形性质的应用；

②促进学生有条理的思

相似三角形教案

一、教学目标

知识与技能

1. 理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。

2. 能用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解决简单的问题。

过程与方法

1. 经历探索相似三角形性质的过程，并在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体验解决问题策略的多样性。

2.在探索实践中培养学生分析问题、解决问题的能力。

情感态度与价值观

1. 在获得知识的过程中培养学习的自信心 ，知道数学来源于生活有服务于生活。

2. 敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题.

二、重点难点

重点

理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。

难

点

相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解．

三、学情分析

相似三角形的周长与面积在初中数学和中考中占有重要的位置，同时，在日常生活生产中也有广泛的应用，因此这是一节很重要的课题。学生已学习相似形的性质和判定，以及全等三角形的有关知识，在此基础上研究本节课，学生应感到并不困难。

四、教学过程设计

教学知： ABC∽ A’B’C’，根据相似的定义，我们有哪些结论？

2、

比例线段

一、比例线段

1.线段的比

在同一长度单位下，两条线段长度的比值，叫做这两条线段的比．

!注意：（1）两条线段的比，与长度单位的选择无关，但必须选同一个长度单位，其比

值是一个没有单位的正实数； （2）两条线段的比中，a叫做比的前项，b叫做比的后项；

（3）在地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺．

2、比例线段

在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即

那么这四条线段叫做成比例线段．简称比例线段． 或a∶b＝c∶d，

线段a、b、c、d成比例，表示为或a∶b＝c∶d（称其为比例式），其中a、b、c、

d叫做组成比例的项，a、d叫做比例外项，b、c叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第

四比例项．

若作为比例内项是两条相同的线段，即a∶b＝b∶c或

c的比例中项． ，那么线段b叫做线段a和

例1、已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否为成比例线段．

（1）a＝16cm，b＝8cm，c＝5cm，d＝10cm；

（2）a＝8cm，b＝0.05dm，c＝0.60cm，d＝10cm．

分析：

先把它们按从小到大的顺序排列，由比例线段的基本性质知ad＝bc，即如果第一、四

两个数的积等于第二、三两个数的积，则四条线段成比例，否则不成