离散数学一阶逻辑基本概念

命题演算

? 命题（真值确定但不一定要知道真假，比如“存在外星人”是一个命题，它的真值确定，即使我们不知道真值）

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

原始命题/原子命题 复合命题 逻辑连接词 否定/┐ 合取/∧ 析取/∨

条件/→（┐P∨Q）

双条件（不好意思，双向箭头字符未找到，(P∧Q)∨(┐P∧┐Q)） 真值表 命题公式/公式 命题变元 命题演算

等价（自反性、对称性、传递性，等价变换法俗称“少林派”） 结合律 交换律 分配律

德·摩根律/反演律 双重否定率 代换

蕴含（自反性、反对称性、传递性，蕴含推理法俗称“武当派”，传递法俗称“隔山打牛”） 对偶法则 对偶

不可兼析取（析取符上加一横，异或） 逆条件（条件符上加字母c） 与非/↑ 或非/↓

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

结合力（ ⑴┐⑵∧⑶∨、不可兼析取、↑、↓⑷→、逆条件⑸双条件 ） 析取范式 合取范式

主析取范式（∑=m∨…） 主合取范式（∏=M∧…） 直接推演 P规则 T规则

CP规则（俗称“北冥神功”） 间接推演/间接证明/反

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图论部分 第七章、图的基本概念 7.1 无向图及有向图 无向图与有向图

多重集合: 元素可以重复出现的集合 无序积: A &B ={(x ,y ) | x ∈A ∧y ∈B } 定义 无向图G =, 其中 (1) 顶点集V ≠?，元素称为顶点

(2) 边集E 为V &V 的多重子集，其元素称为无向边，简称边.

例如, G =如图所示, 其中V ={v 1, v 2, …,v 5}, E ={(v 1,v 1), (v 1,v 2),

(v 2,v 3), (v 2,v 3), (v 2,v 5), (v 1,v 5), (v 4,v 5)} ,

定义 有向图D =, 其中

(1) V 同无向图的顶点集, 元素也称为顶点

(2) 边集E 为V ?V 的多重子集，其元素称为有向边，简称边.

用无向边代替D 的所有有向边所得到的无向图称作D 的基图，右图是有向图，试写出它的V 和E

注意：图的数学定义与图形表示,在同构(待叙)的意义下是一一对应的

通常用G 表示无向图, D 表示有向图, 也常用G 泛指 无向图和有向图, 用e k 表示无向边或有向边.

V (G ), E (G ), V (D ), E (D ): G 和D 的顶点集, 边集. n 阶图:

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图论部分 第七章、图的基本概念 7.1 无向图及有向图 无向图与有向图

多重集合: 元素可以重复出现的集合 无序积: A &B ={(x ,y ) | x ∈A ∧y ∈B } 定义 无向图G =, 其中 (1) 顶点集V ≠?，元素称为顶点

(2) 边集E 为V &V 的多重子集，其元素称为无向边，简称边.

例如, G =如图所示, 其中V ={v 1, v 2, …,v 5}, E ={(v 1,v 1), (v 1,v 2),

(v 2,v 3), (v 2,v 3), (v 2,v 5), (v 1,v 5), (v 4,v 5)} ,

定义 有向图D =, 其中

(1) V 同无向图的顶点集, 元素也称为顶点

(2) 边集E 为V ?V 的多重子集，其元素称为有向边，简称边.

用无向边代替D 的所有有向边所得到的无向图称作D 的基图，右图是有向图，试写出它的V 和E

注意：图的数学定义与图形表示,在同构(待叙)的意义下是一一对应的

通常用G 表示无向图, D 表示有向图, 也常用G 泛指 无向图和有向图, 用e k 表示无向边或有向边.

V (G ), E (G ), V (D ), E (D ): G 和D 的顶点集, 边集. n 阶图:

第一篇 数理逻辑

数理逻辑是应用数学方法引进一套符号系统来研究思维的形式结构和规律的学科，它起源于公元十七世纪。十九世纪英国的德·摩根和乔治·布尔发展了逻辑代数，二十世纪三十年代数理逻辑进入了成熟时期，基本内容（命题逻辑和谓词逻辑）有了明确的理论基础，成为数学的一个重要分支，同时也是电子元件设计和性质分析的工具。冯·诺意曼，图灵，克林，? 等人研究了逻辑与计算的关系。基于理论研究和实践，随着1946年第一台通用电子数字计算机的诞生和近代科学的发展，计算技术中提出了大量的逻辑问题，逻辑程序设计语言的研制，更促进了数理逻辑的发展。除古典二值（真，假）逻辑外，还研究了多值逻辑、模态逻辑、概率逻辑、模糊逻辑、非单调逻辑等。不仅有演绎逻辑，也还有归纳逻辑。计算机科学中还专门研究计算逻辑、程序逻辑、时序逻辑等。现代数理逻辑分为四论：证明论，递归论（它们与形式语言语法有关），模型论，公理化集合论（它们与形式语言的语义有关）。

第1-1章 命题逻辑

学习要求: 掌握命题，命题公式，重言式，等价式，蕴涵式等基本概念，能利用逻辑联结词或真值表，等价式与蕴涵式进行命题演算和推理；学习范式时与集合的范式进行对比。

表述客观世界的各种现象，表述人们的思想，表

第一篇 数理逻辑

数理逻辑是应用数学方法引进一套符号系统来研究思维的形式结构和规律的学科，它起源于公元十七世纪。十九世纪英国的德·摩根和乔治·布尔发展了逻辑代数，二十世纪三十年代数理逻辑进入了成熟时期，基本内容（命题逻辑和谓词逻辑）有了明确的理论基础，成为数学的一个重要分支，同时也是电子元件设计和性质分析的工具。冯·诺意曼，图灵，克林，? 等人研究了逻辑与计算的关系。基于理论研究和实践，随着1946年第一台通用电子数字计算机的诞生和近代科学的发展，计算技术中提出了大量的逻辑问题，逻辑程序设计语言的研制，更促进了数理逻辑的发展。除古典二值（真，假）逻辑外，还研究了多值逻辑、模态逻辑、概率逻辑、模糊逻辑、非单调逻辑等。不仅有演绎逻辑，也还有归纳逻辑。计算机科学中还专门研究计算逻辑、程序逻辑、时序逻辑等。现代数理逻辑分为四论：证明论，递归论（它们与形式语言语法有关），模型论，公理化集合论（它们与形式语言的语义有关）。

第1-1章 命题逻辑

学习要求: 掌握命题，命题公式，重言式，等价式，蕴涵式等基本概念，能利用逻辑联结词或真值表，等价式与蕴涵式进行命题演算和推理；学习范式时与集合的范式进行对比。

表述客观世界的各种现象，表述人们的思想，表

集合论部分

第三章、集合的基本概念和运算

3.1 集合的基本概念集合的定义与表示

集合与元素

集合 没有精确的数学定义

理解：一些离散个体组成的全体组成集合的个体称为它的元素或成员 集合的表示

列元素法 A={ a, b, c, d }

谓词表示法 B={ x | P(x) }

B 由使得 P(x) 为真的 x 构成常用数集

N, Z, Q, R, C 分别表示自然数、整数、有理数、

实数和复数集合，注意 0 是自然数.

元素与集合的关系：隶属关系

属于 ，不属于

实例

A={ x | x R x2-1=0 }, A={-1,1}

1 A, 2 A

注意：对于任何集合 A 和元素 x (可以是集合)，

x A和 x A 两者成立其一，且仅成立其一.

集合之间的关系

包含（子集） A B x (x A x B)

不包含 A B x (x A x B)

相等 A = B A B B A

不相等 A B

真包含 A B A B A B

不真包含 A B

思考：

第一篇 数理逻辑

数理逻辑是应用数学方法引进一套符号系统来研究思维的形式结构和规律的学科，它起源于公元十七世纪。十九世纪英国的德·摩根和乔治·布尔发展了逻辑代数，二十世纪三十年代数理逻辑进入了成熟时期，基本内容（命题逻辑和谓词逻辑）有了明确的理论基础，成为数学的一个重要分支，同时也是电子元件设计和性质分析的工具。冯·诺意曼，图灵，克林，? 等人研究了逻辑与计算的关系。基于理论研究和实践，随着1946年第一台通用电子数字计算机的诞生和近代科学的发展，计算技术中提出了大量的逻辑问题，逻辑程序设计语言的研制，更促进了数理逻辑的发展。除古典二值（真，假）逻辑外，还研究了多值逻辑、模态逻辑、概率逻辑、模糊逻辑、非单调逻辑等。不仅有演绎逻辑，也还有归纳逻辑。计算机科学中还专门研究计算逻辑、程序逻辑、时序逻辑等。现代数理逻辑分为四论：证明论，递归论（它们与形式语言语法有关），模型论，公理化集合论（它们与形式语言的语义有关）。

第1-1章 命题逻辑

学习要求: 掌握命题，命题公式，重言式，等价式，蕴涵式等基本概念，能利用逻辑联结词或真值表，等价式与蕴涵式进行命题演算和推理；学习范式时与集合的范式进行对比。

表述客观世界的各种现象，表述人们的思想，表

《数理逻辑》课程作业参考答案

周晓聪(isszxc@89d6bc01b52acfc789ebc917)

中山大学计算机科学系,广州510275

2010年1月11日

第一章命题逻辑的基本概念

作业1.1判断下列语句是否是命题，并对命题确定其真值：

(1)火星上有生命存在.

(2)12是质数。

(3)香山比华山高。

(4)x+y=2。

(5)这盆茉莉花真香！

(6)结果对吗？

(7)这句话是错的。

(8)假如明天是星期天，那么学校放假。

解答：

(1)“火星上有生命存在”是命题，但现在不能确定其真值；

(2)“12是质数”是命题，其真值为假；

(3)“香山比华山高”是命题，其真值为假；

(4)“x+y=2”不是命题，因为含有公认是变量的东西，从而不具有确定的真值；

(5)“这盆茉莉花真香！”是感叹句，因而不是命题；

(6)“结果对吗？”是疑问句，因而不是命题；

(7)“这句话是错的”是语义悖论，因而不是命题；

(8)“假如明天是星期天，那么学校放假”是命题，其真值为真。

点评：实际上，确定一个具体命题的真值不是数理逻辑研究的内容，但是不能说一个命题没有真值。

作业1.2令p表示今天很冷，q表示正在下雪，将下列命题符号化：

(1)如果正在下雪，那么今天很冷。

(2)今天很冷当且仅当正在下雪。

(3)

数字逻辑课件

《数字逻辑》

第2章

逻辑代数基础

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学习目标1.学习逻辑代数的基本概念。 2.掌握逻辑代数的基本定理及规则的应用。 3.熟练掌握逻辑函数表达式的形式与变换方 法。 4.熟练掌握逻辑函数的卡诺图和代数法简化 方法。

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第2章2.1 2.2 2.3 2.4

逻辑代数基础

逻辑代数的基本概念 逻辑代数的基本定理及规则 逻辑函数表达式的形式与变换 逻辑函数的简化

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2.1

逻辑代数的基本概念

逻辑常量 2.1.2 逻辑变量 2.1.3 基本逻辑运算 2.1.4 逻辑函数的表示2.1.1

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2.1.1

逻辑常量 值不变 只有0、1两种 不能比大小

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2.1.2

逻辑变量

值可以变化。 取值只有0和1两种,仅表示相互矛盾、 相互对立的两种逻辑状态。 分输入变量和输出变量。 N个变量的输入组合最多有2的n次方。 变量的命名：A,B3。

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2.1.3

基本逻辑运算

在逻辑代数中，最基本的逻辑运算有与、或、 非三种 。 最基本的逻辑关系有三种：与逻辑关系、或 逻辑关系、非逻辑关系。 实现基本逻辑运算和常用复合逻辑运算的单 元电路称为逻辑门电路。它们是组成数字系 统的基本单元电路。 主要掌握集成逻辑门电路

(1) 程序中，滤波函数Lpf()和LpfLInMs()的数学原理如下： 滤波时间为tf，计算周期为tc（即?t?tc） 低通滤波一阶惯性环节传递函数G(s)?1 tfs?1则y(s)?G(s)?x(s)?x(s)

tfs?1y(s)?s?tf?y(s)?x(s)

反拉式变换，得到：

dyx(t)?y(t)? …………(1) dttf由前向欧拉法(两相邻离散点之间的间隔较小时，用一阶差商取代一阶导数)，可知：

dyyk?1?ykyk?1?yk?? …………(2) dt?ttc联立(1)(2)，得到

x?yyk?1?yk? tftctc(x?y) tf因此：yk?1?yk?若不用滤波时间tf表示，而用滤波截至频率?c表示 则可以表示为yk?1?yk?tc??c(x?y)

?c与tf的关系为：?c?1/tf

(2) 程序中，一阶惯性滤波函数LpfI()的数学原理如下： 计算周期为tc，滤波截至频率?c，计算周期为tc（即?t?tc）

1一阶惯性滤波传递函数G(s)?tftfs?1??c1??cs?11 s??c按照(1)的推导过程，易推出：yk?1?yk?tc?(x??c