初中数学几何动点经典例题

初中数学几何模型 中点模型 【模型1】倍长 1、 倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交 AABDCBEDCFE ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【模型2】遇多个中点，构造中位线 1、 直接连接中点；2、连对角线取中点再相连 【例1】在菱形ABCD和正三角形BEF中，∠ABC=60°，G是DF的中点，连接GC、GE． （1）如图1，当点E在BC边上时，若AB=10，BF=4，求GE的长； （2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段GC、GE有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明； （3）如图3，当点F在CB的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明. DGFEABAGGFBABECDCDCE图1图2图3F 1 【例2】如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接DE、EF，且AE=AF，?DAE??BAF． (1)求证：CE=CF； (2)若?ABC?

中考数学压轴题型研究（一）——动点几何问题

例1：在△ABC中，∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM, (1)求△ABC的面积；

(2)现有动点P从A点出发，沿射线AB向点B方向运动，动点Q从C点出发，沿射线CB也向点B方向运动。如果点P的速度是4CM/秒，点Q的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半？

B (3)在第（2）问题前提下，P,Q两点之间的距离是多少？

C

A 例2: ()已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点， P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从A点出发，沿A →B → C →E运动，到达点E.若点P经过的路程为自变量x，△APE的面积为函数y， （1）写出y与x的关系式

(2)求当y＝

1时，x的值等于多少？ 3

例3：如图1 ，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，动点P从B点出发，沿梯形的边由B→C → D → A 运动，设点P运动的路程为x ,△ABP的面积为y , 如果关于x 的函数y的图象如图2所示 ，那么△ABC 的面积为（

动点问题专题训练

1、如图，已知△ABC中，AB?AC?10厘米，BC?8厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与

A △CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度B 从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

D Q P C 32、直线y??x?6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，

4同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出A、B两点的坐标；

（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；

48（3）当S?时，求出点P的坐标，并直接写出以点

5O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．

P x y B O Q A

3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8

解析几何经典例题

圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用

例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。

图1

解析：易知

故

在中，

。

则点M的轨迹方程为

二、双曲线定义的深层运用

例2. 如图2，为双曲线

的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。

的两焦点，P为其上一动点，从

图2

解析：不妨设P点在双曲线的右支上， 延长F1M交PF2的延长线于N， 则即

，

在

故点M的轨迹方程为

三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3，AB为抛物线短距离。

的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最

图3

解析：易知抛物线的准线l：，

作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M”

则

即M到直线的最短距离为2

故M到直线y＝－1的最短距离为。

评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地，求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4.

解析几何经典例题

圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用

例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。

图1

解析：易知

故

在中，

。

则点M的轨迹方程为

二、双曲线定义的深层运用

例2. 如图2，为双曲线

的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。

的两焦点，P为其上一动点，从

图2

解析：不妨设P点在双曲线的右支上， 延长F1M交PF2的延长线于N， 则即

，

在

故点M的轨迹方程为

三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3，AB为抛物线短距离。

的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最

图3

解析：易知抛物线的准线l：，

作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M”

则

即M到直线的最短距离为2

故M到直线y＝－1的最短距离为。

评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地，求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4.

立体几何与平面解析几何的交汇问题

在教材中，立体几何与解析几何是互相独立的两章，彼此分离不相联系，实际上，从空间维数看，平面几何是二维的，立体几何是三维的，因此，立体几何是由平面几何升维而产生；另一方面，从立体几何与解析几何的联系看，解析几何中的直线是空间二个平面的交线，圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）是平面截圆锥面所产生的截线；从轨迹的观点看，空间中的曲面（曲线）是空间中动点运动的轨迹，正因为平面几何与立体几何有这么许多千丝万缕的联系，因此，在平面几何与立体几何的交汇点，新知识生长的土壤特别肥沃，创新型题型的生长空间也相当宽广，这一点，在高考卷中已有充分展示，应引起我们在复习中的足够重视。

一、动点轨迹问题

这类问题往往是先利用题中条件把立几问题转化为平面几何问题，再判断动点轨迹。 例1定点A和B都在平面?内，定点P??，PB??，

C是?内异于A和B的动点，且PC?AC。那么，动点C在平面?内的轨迹是（ ） A. 一条线段，但要去掉两个点 B. 一个圆，但要去掉两个点 C. 一个椭圆，但要去掉两个点 D. 半圆，但要去掉两个点

例2若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到平面BCD距离与

动点问题专题训练

1、如图，已知ABC

△中，10

AB AC

==厘米，8

BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD

△与

CQP

△是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度

为多少时，能够使BPD

△与CQP

△全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度

从点B同时出发，都逆时针沿ABC

△三边运动，求经过多长时间点P

与点Q第一次在ABC

△的哪条边上相遇？

2、直线

3

6

4

y x

=-+与坐标轴分别交于A B

、两点，动点P Q

、同时从O点出发，

同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，

点P沿路线O→B→A运动．

（1）直接写出A B

、两点的坐标；

（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ

△的面积为S，求出S

与t之间的函数关系式；

（3）当

48

5

S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点

O P Q

、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．

1

2 3如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y =－2x －8分别与x 轴，y 轴相交于A ，

B 两点，点P

初中数学基础知识及经典例题

综合知识讲解

第一章 应知应会知识点

2.1 代数篇

一 数与式 （一）有理数 1 有理数的分类 2 数轴的定义与应用 3 相反数 4 倒数 5 绝对值

6 有理数的大小比较 7 有理数的运算 （二）实数 8 实数的分类 9 实数的运算 10 科学记数法 11 近似数与有效数字 12 平方根与算术根和立方根 13 非负数

14 零指数次幂 负指数次幂 （三)代数式

15 代数式 代数式的值 16 列代数式 （四）整式 17 整式的分类

初中数学基础知识及经典例题

18 整式的加减 乘除的运算 19 幂的有关运算性质 20 乘法公式 21 因式分解 （五）分式 22 分式的定义 23 分式的基本性质 24 分式的运算 （六）二次根式 25 二次根式的意义 26 根式的基本性质 27 根式的运算 二 方程和不等式 （一）一元一次方程

28 方程 方程的解的有关定义 29 一元一次的定义 30 一元一次方程的解法 31 列方程解应用题的一般步骤 （二）二元一次方程 32 二元一次方程的定义 33 二元一次方程组的定义

34 二元一次方程组的解法（代入法消元法 加减消元法） 35 二元一次方程组的应用 （三）一元二次方程 36 一元二次方程的定

经典难题（一）

1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初二）

G

2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150． 求证：△PBC是正三角形．（初二）

A

P D

A

D

O

F

B

C E

B C

第 1 页 共 21 页

3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、

A D

D2 A2 CC1、DD1的中点．

A1

D1 求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）

B1

C1

B2

4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BCF 的延长线交MN于E、F． 求证：∠DEN＝∠F．

N

A D C E B C2

C

M B

经典难题（二）

1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M． （1）求证：AH＝2OM；

（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）

A O · H E B M D C 第 2 页 共 21 页

2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于

初中数学动点问题练习题

1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形边

ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的

AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点BAB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运

MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；

时运动终止），过点M、N分别作动的时间为t秒．

1、线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形（2）线段MN在运动的过程中，四边形

MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面

C Q

积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

2、如图，在梯形

P

A M N

B

ABCD中，AD∥BC，AD?3，DC?5，AB?42，∠B?45?．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒． （1）求BC的长．

（2）当MN∥AB时，求t的值．

（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．

A D N

B C

M

3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点 A的坐标为(6，0)，点