全概率公式与贝叶斯公式的区别与联系

3.全概率公式和贝叶斯公式

【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》 第一章第§5的条件概率中的全概率公式和贝叶斯公式

【教材分析】：前面讲到的条件概率是概率论的基本概念，下一节的独立性和条件概率关系紧密，而乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式是与条件概率有密切关系的公式，因此掌握此概念及计算公式为后续学习打下基础。 【学情分析】： 1、知识经验分析

前一节已经学习了条件概率和乘法公式，学生已经掌握了事件的概率的基本计算方法。

2、学习能力分析

学生虽然具备一定的基础知识和理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。 【教学目标】： 1、知识与技能

掌握全概率公式和贝叶斯公式以及计算。 2、过程与方法

由本节内容的特点，教学中采用启发式教学法，应用实际问题逐步推导出全概率公式和贝叶斯公式。

3、情感态度与价值观

通过学习，培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，树立学生善于创新的思维品质和严谨的科学态度。 【教学重点、难点】： 重点：掌握全概率公式和贝叶斯公式并会适当的应用。 难点：全概率公式

全概率公式和贝叶斯公式

测习题

The latest revision on November 22, 2020

1.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1,2车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率。

解：设B={从仓库中随机提出的一台是合格品}

A i ={提出的一台是第i 车间生产的}，i=1,2

则有分解B=A 1B ∪A 2B

由题意P(A1)=2/5,P(A2)=3/5,P(B|A1)=0.85,P(B|A2)=0.88

由全概率公式P(B)=P(A 1)P(B|A 1)+P(A 2)P(B|A 2)=0.4*0.85+0.6*0.88=0.868.

2.盒中有a 个红球，b 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c 个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率。

解：设A={第一次抽出的是黑球}，B={第二次抽出的是黑球}，则B AB AB =+， 由全概率公式()()()()()

P B P A P B A P A P B A =+， 由题意(),(|),(),(|)b b

令狐文艳

令狐文艳 1.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1,2车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率。

令狐文艳

解：设B={从仓库中随机提出的一台是合格品}

A i ={提出的一台是第i 车间生产的}，i=1,2

则有分解B=A 1B ∪A 2B

由题意P(A1)=2/5,P(A2)=3/5,P(B|A1)=0.85,P(B|A2)=0.88 由全概率公式P(B)=P(A 1)P(B|A 1)+P(A 2)P(B|A 2)=0.4*0.85+0.6*0.88=0.868.

2. 盒中有a 个红球，b 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c 个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率。

解：设A={第一次抽出的是黑球}，B={第二次抽出的是黑球}，则B AB AB =+， 由全概率公式

()()()()()P B P A P B A P A P B A =+， 由题意

(),(|),(),(|)b b c a b P A P B A P A P B A a b a b c a b

令狐文艳

令狐文艳 1.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1,2车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率。

令狐文艳

解：设B={从仓库中随机提出的一台是合格品}

A i ={提出的一台是第i 车间生产的}，i=1,2

则有分解B=A 1B ∪A 2B

由题意P(A1)=2/5,P(A2)=3/5,P(B|A1)=0.85,P(B|A2)=0.88 由全概率公式P(B)=P(A 1)P(B|A 1)+P(A 2)P(B|A 2)=0.4*0.85+0.6*0.88=0.868.

2. 盒中有a 个红球，b 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c 个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率。

解：设A={第一次抽出的是黑球}，B={第二次抽出的是黑球}，则B AB AB =+， 由全概率公式

()()()()()P B P A P B A P A P B A =+， 由题意

(),(|),(),(|)b b c a b P A P B A P A P B A a b a b c a b

浅谈贝叶斯公式及其应用

摘 要

贝叶斯公式是概率论中很重要的公式，在概率论的计算中起到很重要的作用。本文通过对贝叶斯公式进行分析研究，同时也探讨贝叶斯公式在医学、市场预测、信号估计、概率推理以及工厂产品检查等方面的一些实例，阐述了贝叶斯公式在医学、市场、信号估计、推理以及产品检查中的应用。为了解决更多的实际问题，我们对贝叶斯公式进行了推广，举例说明了推广后的公式在实际应用中所适用的概型比原来的公式更广。从而使我们更好地了解到贝叶斯公式存在于我们生活的各个方面、贝叶斯公式在我们的日常生活中非常重要。

关键词：贝叶斯公式 应用 概率 推广

第一章 引言

贝叶斯公式是概率论中重要的公式，主要用于计算比较复杂事件的概率,它实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。贝叶斯公式出现于17世纪，从发现到现在，已经深入到科学与社会的许多个方面。它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.贝叶斯公式在实际中生活中有广泛的应用，它可以帮助人们确定某结果（事件

B）发生的最可能原因。

目前，社会在飞速发展，市场竞争日趋激烈，决策者必须综合考察已往的信息及现状从而作出综合判断，决策概率分析越来越显示其重要性。其中贝叶斯公式主要用于处理先验概率与后验概率

课程：现代信号处理

专业：信号与信息处理

贝叶斯与卡尔曼滤波的区别

贝叶斯原理的实质是希望用所有已知信息来构造系统状态变量的后验概率密度，即用系统模型预测状态的先验概率密度，再用最新的观测数据进行修正，得到后验概率密度。通过观测数据来计算状态变量取不同值的置信度，由此获得状态的最优估计。

卡尔曼滤波是贝叶斯滤波的一种特例，是在线性滤波的前提下，以最小均方误差为最佳准则的。采用最小均方误差准则作为最佳滤波准则的原因在于这种准则下的理论分析比较简单，因而可以得到解析结果。贝叶斯估计和最大似然估计都要求对观测值作概率描述，线性最小均方误差估计却放松了要求，不再涉及所用的概率假设，而只保留对前两阶矩的要求。

扩展卡尔曼滤波和无迹卡尔曼滤波都是递推滤波算法，它们的基本思想都是通过采用参数化的解析形式对系统的非线性进行近似，而且都是基于高斯假设。

EKF其基本思想是围绕状态估值对非线性模型进行一阶Taylor展开，

然后应用线性系统Kalman滤波公式。主要缺陷有两点：（1）必须满足小扰动假设，即假设非线性方程的理论解与实际解之差为小量。也就是说EKF只适合非线性系统，对于强非线性系统，该假设不成立，此时EKF性能极不稳定，甚至发散；（2）必须计算Jaco

课程：现代信号处理

专业：信号与信息处理

贝叶斯与卡尔曼滤波的区别

贝叶斯原理的实质是希望用所有已知信息来构造系统状态变量的后验概率密度，即用系统模型预测状态的先验概率密度，再用最新的观测数据进行修正，得到后验概率密度。通过观测数据来计算状态变量取不同值的置信度，由此获得状态的最优估计。

卡尔曼滤波是贝叶斯滤波的一种特例，是在线性滤波的前提下，以最小均方误差为最佳准则的。采用最小均方误差准则作为最佳滤波准则的原因在于这种准则下的理论分析比较简单，因而可以得到解析结果。贝叶斯估计和最大似然估计都要求对观测值作概率描述，线性最小均方误差估计却放松了要求，不再涉及所用的概率假设，而只保留对前两阶矩的要求。

扩展卡尔曼滤波和无迹卡尔曼滤波都是递推滤波算法，它们的基本思想都是通过采用参数化的解析形式对系统的非线性进行近似，而且都是基于高斯假设。

EKF其基本思想是围绕状态估值对非线性模型进行一阶Taylor展开，

然后应用线性系统Kalman滤波公式。主要缺陷有两点：（1）必须满足小扰动假设，即假设非线性方程的理论解与实际解之差为小量。也就是说EKF只适合非线性系统，对于强非线性系统，该假设不成立，此时EKF性能极不稳定，甚至发散；（2）必须计算Jaco

课程：现代信号处理

专业：信号与信息处理

贝叶斯与卡尔曼滤波的区别

贝叶斯原理的实质是希望用所有已知信息来构造系统状态变量的后验概率密度，即用系统模型预测状态的先验概率密度，再用最新的观测数据进行修正，得到后验概率密度。通过观测数据来计算状态变量取不同值的置信度，由此获得状态的最优估计。

卡尔曼滤波是贝叶斯滤波的一种特例，是在线性滤波的前提下，以最小均方误差为最佳准则的。采用最小均方误差准则作为最佳滤波准则的原因在于这种准则下的理论分析比较简单，因而可以得到解析结果。贝叶斯估计和最大似然估计都要求对观测值作概率描述，线性最小均方误差估计却放松了要求，不再涉及所用的概率假设，而只保留对前两阶矩的要求。

扩展卡尔曼滤波和无迹卡尔曼滤波都是递推滤波算法，它们的基本思想都是通过采用参数化的解析形式对系统的非线性进行近似，而且都是基于高斯假设。

EKF其基本思想是围绕状态估值对非线性模型进行一阶Taylor展开，

然后应用线性系统Kalman滤波公式。主要缺陷有两点：（1）必须满足小扰动假设，即假设非线性方程的理论解与实际解之差为小量。也就是说EKF只适合非线性系统，对于强非线性系统，该假设不成立，此时EKF性能极不稳定，甚至发散；（2）必须计算Jaco

贝叶斯统计与经典统计的区别

摘 要：21世纪，贝叶斯统计打破经典统计独树一帜的局面，已经开始应用到各个领域，但是两个学派存在着很多争论。本文从经典统计和贝叶斯统计在基础理论方面是否利用先验信息，在基本性质方面是否把参数当做随机变量、是否重视未出现的样本信息、对概率的理解的不同以及在点估计、区间估计等方面等来分析它们的区别，并比较分析了他们在统计推断中的优缺点。

关键词：贝叶斯统计，经典统计，先验信息，点估计，区间估计，假设检验

一、贝叶斯统计和经典统计基本理论的区别 统计推断所依据的信息不同：

经典统计，即基于总体信息、样本信息所进行的统计推断。它的基本观点是：把数据看成是来自具有一定概率分布的总体，所研究的对象是这个总体而不局限于数据本身。而贝叶斯统计是基于总体信息、样本信息、先验信息进行的统计推断。它最基本的观点是：任一个未知量?%a 都可以看做是一个随机变量，应用一个概率分布去描述对 ?%a的未知状况。这个概率分布是在抽样前就有的关于?%a的先验信息的概率陈述。

经典统计和贝叶斯统计最主要的区别就是在于是否利用了先验信息。贝叶斯推断是基于总体信息、样本信息、先验信息，而经典统计推断只依赖于总体信息和样本信息。 二、贝叶斯统计和经典统计的

数学期望：随机变量最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。它是简单算术平均的一种推广。例如某

城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个， 则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01＋1×0.9＋2×0.06＋3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个，用数学式子表示为：E(X)=1.11。

也就是说，我们用数学的方法分析了这个概率性的问题，对于每一个家庭，最有可能它家的孩子为1.11个。

可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。

各种数学分布的方差是：

1、 2、

一个完全符合分布的样本 这个样本的方差

概率密度的概念是：某种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大。比如某地某次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布，即平均分是

80分，由正态分布的图形知x=80时的函数值最大，即随机变量在80附近取值最密集，也即考试成绩在80分左右的人最