小学四年级奥数容斥问题

四年级奥数专题——容斥问题

知识引领： 专题简析：

容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na＋Nb－Nab。

NaNabNb

1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。

2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？

3、某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖。已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？

例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？

4、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每

容斥问题

五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？

学校文艺组每人至少喜欢一种文艺表演，已知喜欢唱歌的有12人，喜欢跳舞的有19人，其中两种都喜欢的有8人。这个文艺组一共有多少人？

四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？

某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么有多少人两个小组都不参加?

一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人？

某班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．那么语文成绩得满分的有多少人?

一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？

三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。这两

1、在一次登山比赛中，小刚上山时每分 走40米，18分到达山顶。然后按原路下山， 每分走60米。小刚上、下山平均每分走多 少米？

40×18÷60=12分 40×18×2÷(18+12)=48米

2、某班有40名学生，期中数学考试，有 两名同学因故缺考，这时班级平均分为89 分，缺考的同学补考各得99分，这个班期 中考试平均分是多少分？

(99―89)×2÷40+89=89.5

3、有八个数字排成一列，它们的平均数 是9.3。已知前五个数的平均数是10.5,后 四个数的平均数是11.3。问：第五个数是 多少？

10.5×5+11.3×4-9.3×8=23.3

4、王新同学期末考试成绩如下：语文和 数学平均成绩是94分；数学和外语平均成 绩是88分；语文和外语平均成绩是86分。 王新语文、数学、外语各得多少分？

94+88+86=268 268-88×2=92 268-86×2=96 268-94×2=80

5、芳芳上学期期末考试成绩：语文87分， 数学96分，地理93分，思想品德94分，外 语考试成绩比五科平均成绩低2分，求外 语

平均数问题

1、在一次登山比赛中，小刚上山时每分走40米，18分到达山顶。然后按原路下山，每分走60米。小刚上、下山平均每分走多少米？

40×18÷60=12分 40×18×2÷（18＋12）=48米

2、某班有40名学生，期中数学考试，有两名同学因故缺考，这时班级平均分为89分，缺考的同学补考各得99分，这个班期中考试平均分是多少分？

（99―89）×2÷40＋89=89.5

3、有八个数字排成一列，它们的平均数是9.3。已知前五个数的平均数是10.5，后四个数的平均数是11.3。问：第五个数是多少？

10.5×5＋11.3×4－9.3×8=23.3

4、王新同学期末考试成绩如下：语文和数学平均成绩是94分；数学和外语平均成绩是88分；语文和外语平均成绩是86分。王新语文、数学、外语各得多少分？

94＋88＋86=268 268－88×2=92 268－86×2=96 268－94×2=80

5、芳芳上学期期末考试成绩：语文87分，数学96分，地理93分，思想品德94分，外语考试成绩比五科平均成绩低2分，求外语成绩及五科平均成绩。

(87＋96＋93＋94)÷4=92.5 92.5－2÷4－2=90

6、某班统计数学考试成绩，

1、在一次登山比赛中，小刚上山时每分 走40米，18分到达山顶。然后按原路下山， 每分走60米。小刚上、下山平均每分走多 少米？

40×18÷60=12分 40×18×2÷(18+12)=48米

2、某班有40名学生，期中数学考试，有 两名同学因故缺考，这时班级平均分为89 分，缺考的同学补考各得99分，这个班期 中考试平均分是多少分？

(99―89)×2÷40+89=89.5

3、有八个数字排成一列，它们的平均数 是9.3。已知前五个数的平均数是10.5,后 四个数的平均数是11.3。问：第五个数是 多少？

10.5×5+11.3×4-9.3×8=23.3

4、王新同学期末考试成绩如下：语文和 数学平均成绩是94分；数学和外语平均成 绩是88分；语文和外语平均成绩是86分。 王新语文、数学、外语各得多少分？

94+88+86=268 268-88×2=92 268-86×2=96 268-94×2=80

5、芳芳上学期期末考试成绩：语文87分， 数学96分，地理93分，思想品德94分，外 语考试成绩比五科平均成绩低2分，求外 语

和差问题

专题简析：

已知两个数的和与差，求出这两个数各是多少的应用题，叫和差应用题。解答和差应用题的基本数量关系是：

（和－差）÷2=小数

小数＋差=大数（和－小数=大数） 或：（和＋差）÷2=大数

大数－差=小数（和－大数=小数）

解答和差应用题的关键是选择适当的数作为标准，设法把若干个不相等的数变为相等的数，某些复杂的应用题没有直接告诉我们两个数的和与差，可以通过转化求它们的和与差，再按照和差问题的解法来解答。

例1：三、四年级同学共植树128棵，四年级比三年级多植树20棵，求三、

四年级各植树多少棵？

分析与解答：假如把三、四年级植的128棵加上20棵，得到的和就是四年级植树的2倍，所以，四年级植树的棵数是（128+20）÷2=74棵，三年级植树的棵数是74－20=54棵。

这道题还可以这样解答：假如从128棵中减去20棵，那么得到的差就是三年级植树棵数的2倍，由出，先求出三年级植树的棵数（128－20）÷2=54棵，再求出四年级植树的棵数：54＋20=74棵。

练习一

1，

两堆石子共有800吨，第一堆比第二堆多200吨。两堆各有多少吨？

2， 用锡和铝混合制成600千克的合金，铝的重量比锡多400千克。锡和

铝各是多少千克？

李师傅生产的零件个数是徒弟的6倍，如果两个人各再生产20个，那么李师傅生产零件的个数是徒弟的4倍，两人原来各生产零件多少个？ 20*6-20是6份和4份的差除以6份和4份的份数差求出的是50. 问为什么这个值不是原来1份徒弟的，而是加了20以后徒弟的。我真的好笨理解不了请指点迷津。 2，某班买来单价为0.5元的练习本若干，如果将这些练习本只给女生，平均每人可得15本；如果将这些练习本只给男生，平均每人可得10本。那么，将这些练习本平均分给全班同学，每人应付多少钱? 应该这么想，徒弟是1份，师傅是6份。这是6倍关系。 徒弟是1份+20，师傅是6份+20。这是4倍关系。

在4倍关系中，师傅比徒弟多多少，应该是（6份+20）-（1份+20）=原来的5份。也是现在的3份。

现在的3份=（原来的1份+20）*3 =原来的3份+60

再和原来的5份一比，60个零件是2份 30个零件是1份。

李师傅生产的零件180，徒弟是30 只给女生，平均每人可得15本

男生，平均每人可得10本,这两句话说男生多。 女生每人交15*0.5=7.5元

男生每人交10*0.

四年级数学奥赛起跑线 第22讲 容斥问题（二）

1、有30名运动员，其中8人会三级跳远，16人会撑杆跳高，10人三级跳远、撑杆跳高都不会。既会三级跳远又会撑杆跳高的运动员有多少名？

2、操场上的学生排成10路纵队做操，每路纵队的人数同样多，小明站在第4路纵队，从排头数他是第13人，从后往前数他是第8人。操场上有多少人在做操？

3、一个年级有120人爱好数学，100人爱好语文，85人爱好美术，30人既爱好语文又爱好美术，35人既爱好美术又爱好数学，有18人三六学科都爱好。请问：这个年级中数学、语文、美术三门学科中至少爱好一门学科的学生有多少人？

4、某班全体学生进行了数学，语文，英语三个科目的测试，有8名学生在这三个科目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个科目达到优秀，这部分学生达到优秀的科目和人数如下表：

数学、语数学 语文 英语 数学、语文 语文、英语 英语、数学 文、英语 20人 16人 16人 4人 4人 5人 3人

问：全班一共有多少名学生？

5、第三小队的学生有20人，手中分别有红、黄、蓝三种颜色的球，已知手中有红球、黄球、蓝球的学生人数分别为10人，10人，6人，其中手中既有红球又有黄球的

第八讲：年龄问题

爱学教育老师奥数 2015·四年级·集训·竞赛·秋

●例题剖析●

1、姐姐今年15岁，妹妹今年10岁，试问当两人年龄和为51岁时，两人各应是多少岁？

2、三年前爸爸的年龄正好是儿子小刚年龄的6倍，今年父子年龄和是55岁，小刚今年多少岁？

3、王丽今年的年龄比刘娜的3倍少2岁，而王丽8年前与刘娜6年后的年龄相等，求王丽和刘娜今年各几岁？

4、父、母、子一家三人今年全家年龄和为73岁，而10年前三人的年龄和为46岁，父比母大4岁，求今年每人的年龄。

5、小王、小李、小张和小周四人，小王比小李小3岁，小张比小李大1岁，小李比小周小4岁，已知这四人的年龄之和是86岁，这四人各多少岁？

6、小鲸鱼说：“妈妈，我长到您这么大时，您就31岁啦！”大鲤鱼说：“我像你现在一样大时，你只有1岁。”大、小鲸鱼现在各几岁？

7、今年李强的年龄是王刚的4倍，24年后，李强的年龄比王刚的年龄的2倍少16岁，今年李强和王刚各多少岁？

8、一位老爷爷说：“我有3个孙子，他们的年龄分别是20岁、15岁、5岁

四年级奥数: 植树问题

知识点：

1、在没有封闭的线路（如：一条直线，折线半圆等）上植树: （1） 、如果两端都要种树，则棵树=段数+1=全长÷株距+1 （2） 、如果一端种树一端不种树，则棵树=段数=全长÷株距 （3） 、如果两端都不种，则棵树=段数-1=全长÷株距-1

2、在封闭线路（如：圆，长方形等）上种树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵树，就等于可分的段数，棵树=段数=全长÷株距

例1、有一条长1250米的公路，在公路的一侧从头到尾每隔25米载一颗杨树，园林部门需要运来多少棵杨树？

练习：一条走廊长24米，每隔3米放一盆花，走廊两端都要放，一共要放多少盆花？

例2、沿着100米的小路的一边栽树，每隔5米栽一棵桃树（一端栽一端不栽），应该栽多少棵树？

练习：一条路长1000米，在路的一旁安装路灯，每隔20米安装一盏（一端安另一端不安），一共需要准备多少盏路灯？

1

例3、一条路长1000米，在这条路的一旁安路灯，村头村尾都不装，每隔20米安装一盏，一共需要多少盏路灯？

练习：小明家到学校的距离是600米，每隔20米有一盏路灯（两端都不安），这条小路需要多少盏路灯？

例4：植树节到了，少先队员要在相