2011全国高中数学竞赛

2011高中数学竞赛培训教材

编者：全国特级教师 (一)集合与容斥原理

集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的基础。对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。 一、学习集合要抓住元素这个关键

例1．设A＝{X∣X=a2+b2,a、b∈Z}，X1，X2∈A，求证：X1X2∈A。

分析：A中的元素是自然数，即由两个整数a、b的平方和构成的自然数，亦即从0、1、4、9、16、25??，n2，??中任取两个(相同或不相同)数加起来得到的一个和数，本题要证明的是：两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即(a2+b2)(c2+d2)=(M)2+(N)2，M,N∈Z

证明：设X1＝a2+b2，X2=c2+d2，a、b、c、d∈Z.则X1X2＝(

第七十三期

二○一一年七月五日

2011年江苏省高中数学竞赛初赛 暨连云港市高中数学竞赛简报

为了激发学生学习数学的兴趣，选拔优秀学生参加江苏省高中数学联赛复赛，江苏省高中数学联赛复赛初赛暨连云港市高中数学竞赛于2011年5月15日上午8：00—10：00在市区和四县同时举行，全市共有6283名学生参加竞赛，经竞赛组委会评审，共评出一等奖230名，二等奖340名，三等奖562名，共推荐169名学生参加暑期复赛。名单如下：

高二年级 一等奖（共123名）

甲组：以成绩排序 序号 学 校 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

姓 名

指导教师 刘凤伟 闫振仁 陆习晓 李洪洋 刘夫卿 王广余 卢海燕 李树光 潘益琪 张金环 李红艳

序号 学 校 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

赣榆高中 赣榆高中 灌云高中 赣榆高中 赣榆高中 东海高中 东海高中 新海高中 海州中学 赣榆高中 灌云高中

姓 名 赵为仕 王龙 崔杰 张晓宇 万广弟 陈昭晖 李天昊 童贤东 葛强 曹茜

指导教师 张自勇 卢海燕 李树光 张自勇 王金梅 王兴华 马士林 闫辉 陈立宽 李树光

新海高中 张儒轩 赣榆高中 夏 雨

金太阳新课标资源网

2005年全国高中数学竞赛金牌模拟试卷（一）

（完卷时间：120分钟；满分：150分）

一、选择题

1．二次函数y ax2 b与一次函数y ax b(a b)在同一个直角坐标系的图像为（ ）

y

y

O

y

y

O

O

C

AB

2．已知数列 an 满足a1 a,a2 b,an 2 an 1 an(n N*)。Sn是 an 的前n项的和， 则a2004 S2004等于

A．a b

（ ）

B．a b C． a b D． a b

（ ）

3．在(2

A．3

2n 1

x)2n 1的展开式中，x的幂指数是整数的各项系数之和为

1；

B．3

2n 1

； C．

12n 11

3； D．(32n 1 1) 22

4．在1，2，3，4，5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足条件a1 a2,a3 a2, a3 a4,a5 a4的排列个数是

A．10；

（ ）

B．12； C．14； D．16.

5．直线y mx 3与抛物线C1:y x2 5mx 4m,C2:y x2 (2m 1)x

m2 3,C3:y x2 3mx 2m 3中至少有一条相交,则m的取值范围是 （

第46期

乐山市教育科学研究所 2013年11月22日

乐山市2013全国高中数学联合竞赛

成 绩 通 报

2013年全国高中数学联合竞赛，是经四川省教育厅批准开展的。初赛于2013年5月19日在我市市级以上学校进行。初赛试卷由各考点严格组织评阅，将成绩报教科所数学组，通过教科所数学组复评后，再将成绩报经省数学竞赛委员会审批、复查。最终我市高中66名优秀学生参加了设在成都七中的全省统一复赛，复赛试卷经四川省数学竞赛委员会统一评阅，以及认真、仔细的复查，同时报经中国数学会审核、四川省教委审批备案。

从本届全省获奖情况是：全国一等奖获得者共50名。分别是：成都32名，绵阳15名，南充1名；攀枝花1人，遂宁1人。201人获得全国二等奖，全国三等奖205名。而我市没有学生获得全国一等奖的，2名学生获得二等奖，3名学生获得三等奖。

全省一等奖最高分292分，一等奖最低分为158分；二等奖最高分156分，二等奖最低分100分，三等奖最高分99分，三等奖最低分72分。我市最高分为乐山一中曾国瑜，分数为124分。

通过初赛，我市学生的成绩普遍较好，其中，近1000人参加初赛，5人获得省一等奖，11人获得省二等奖，22人

2004年全国高中数学联合竞赛试题(1试)

第 一 试

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1、设锐角?使关于x的方程x?4xcos??cot??0有重根，则?的弧度数为（ ） A.

2? 6 B.

?12or5? 12C.

?6or5? 12 D.

? 122、已知M?{(x,y)|x2?2y2?3},N?{(x,y)|y?mx?b}。若对所有

m?R,均有M?N??，则b的取值范围是（ ）

A. ????66?,? 22?B. ?????66?, ??22?C. (?2323,] 33D. ???2323?,? 3??33、不等式log2x?1?A. [2,3)

1log1x3?2?0的解集为（ ） 22

C. [2,4)

D. (2,4]

B. (2,3]

?????????????4、设O点在?ABC内部，且有OA?2OB?3OC?0，则?ABC的面积与?AOC的面积

的比为（ ） A. 2

B.

3 2 C. 3 D.

5 35、设三位数n?abc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（ ） A. 45个 B.

竞赛讲座01－奇数和偶数

整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示 ，奇数可用2k+1表示，这里k是整数. 关于奇数和偶数，有下面的性质：

（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；

（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数； （3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数； （4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；

（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数. 以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜. 1.代数式中的奇偶问题

例1（第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？

□+□=□， □-□=□，

□3□＝□ □÷□＝□.

解 因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.

例2 （第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组

是整数，那么

（A）p、q都是偶数. （B）p、q

兰州老师讲的组合数学，看晚会有一定帮助

高中数学竞赛中组合方法应用

组合计数主讲人：刘海宁

兰州老师讲的组合数学，看晚会有一定帮助

组合方法

组合计数

兰州交通大学数理与软件工程学院

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组合方法

组合计数

应用组合方法解决计数问题(组合计数问题)

1 分类计数 2 几个计数原理(加法原理与乘法原理、极值 原理、抽屉原理、容斥原理、最小数原理、从 反面考虑问题等) 3 排列组合计数公式：Cn m

n ( n 1)( n 2 ) ( n m 1) m!

Pn

m

n ( n 1)( n 2 ) ( n

竞赛讲座01－奇数和偶数

整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示 ，奇数可用2k+1表示，这里k是整数. 关于奇数和偶数，有下面的性质：

（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；

（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数； （3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数； （4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；

（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数. 以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜. 1.代数式中的奇偶问题

例1（第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？

□+□=□， □-□=□，

□3□＝□ □÷□＝□.

解 因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.

例2 （第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组

是整数，那么

（A）p、q都是偶数. （B）p、q

智浪教育—普惠英才文库

2014年浙江省高中数学竞赛试题

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后

的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）

1．已知集合P={1,|a|}，Q={2,b2}为全集U={1,2,3,a2+b2+a+b}的子集，且CU{P∪Q}={6}，则下面结论正确的是（ D ）

A．a=3,b=1

B．a=3,b=-1

C．a=-3,b=1 D．a=-3,b=-1

2．已知复数z1, z2，且|z1|=2,|z2|=2，|z1+z2|=7，则|z1-z2|的值为（ D ）

A．5

B．7 C．3

D．3 3．已知∠A, ∠B, ∠C为△ABC的三个内角，命题P：∠A =∠B；命题Q：sin∠A =sin∠B，则﹁P是﹁Q 的（ C ）

A．充分非必要条件 C．充分必要条件

B．必要非充分条件

D．既非充分又非必要条件

20144．已知等比数列{an}：a1=5,a4=625，则

1=（ A ） ?k?1log5aklog5ak?1

C．

A．

2014 2015 B．

2013 2014

竞赛讲座01－奇数和偶数

整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示 ，奇数可用2k+1表示，这里k是整数. 关于奇数和偶数，有下面的性质：

（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；

（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数； （3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数； （4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；

（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数. 以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜. 1.代数式中的奇偶问题

例1（第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？

□+□=□， □-□=□，

□3□＝□ □÷□＝□.

解 因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.

例2 （第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组

是整数，那么

（A）p、q都是偶数. （B）p、q