等差等比数列的综合应用

万智春季高考数学一轮复习

5.4等差等比数列的综合应用

知识梳理

数列应用题常见模型

（1） 等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差 （2） 等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比， 生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加（或减少），同时又以一个固定的具体量增加（或减少）如：分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等。 典型例题

题型一 等差数列模型

例1. 为了减少沙尘暴对本城市环境的影响，某市政府决定在城市外围构筑一道新的防护林，计划从2011年起每年都植树20000

棵，2011年底发现防护林内损失了1000棵，假设以后每一年损失的树都比上一年多300棵，照此计算： （1）2020年这一年将损失多少棵？

（2）到2020年底，该防护林内共存活多少棵树？

题型二 等比数列模型

例2.某人于2000年1月在银行存入10000元，2001年1月再次存入10000元，此后，每年1月份都存入10000元，设银行利率为a，该人于2010年1月将本息和全部取出，问本息和共多少？

题型三 涉及等差、等

等差数列等比数列综合练习题

一．选择题

1. 已知an?1?an?3?0，则数列?an?是 （ ）

A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列 2.等比数列{an}中，首项a1?8，公比q?，那么它的前5项的和S5的值是（ ） A．

31333537 B． C． D． 2222123. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7=35，则a4=( ) A. 8 B.7

C.6

D.5

4. 等差数列{an}中，a1?3a8?a15?120,则2a9?a10?（ ） A．24

B．22

C．20

D．-8

5. 数列?an?的通项公式为an?3n2?28n，则数列?an?各项中最小项是 （ ） A. 第4项 B.第5项 C. 第6项 D. 第7项

2a?b等于（ ） 2c?d111 A．1 B． C． D．

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专题三 数 列

第一讲 等差、等比数列的计算与证明

一、选择题

1．(2010·全国Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋?＋a7＝( )

A．14 B．21 C．28 D．35 解析：由等差数列性质得a3＋a4＋a5＝3a4，

7?a1＋a7?

由3a4＝12，得a4＝4，所以a1＋a2＋?＋a7＝＝7a4＝28.

2答案：C

2．(2010·福建)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最

小值时，n等于 ( ) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：∵{an}是等差数列， ∴a4＋a6＝2a5＝－6，

a5－a1－3＋11

则a5＝－3，d＝＝＝2，得{an}是首项为负数的递增数列，所有的非正

5－14项之和最小．∵a6＝－1，a7＝1，∴当n ＝6时，Sn取最小．故选A. 答案：A

3．等比数列{an}前n项的积

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

等差等比数列综合应用

二. 重点、难点

1. 等差等比数列综合题

2. 数列与其它章节知识综合 3. 数列应用题

【典型例题】

[例1] 一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列，如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。

解：等差数列为a?d,a,a?d

2??(a?d)?(a?d)?(a?4)∴ ? 2??(a?d)(a?d?32)?a222??a?d?a?8a?16(1)∴ ?2 22??(a?d)?32(a?d)?a(2)∴ a?8a?16?32?32d?a

222?3a?4d?0代入（1）

1?d2??8?(4d?2)?16

33d2?32d?64?0 (3d?8)(d?8)?0 826 a? 3921050∴ 此三数为2、16、18或、?、

999① d?8 a?10 ② d?

q?(0,1)，[例2] 等差数列{an}中，a1??393，b1?2，a2?a3??768，{bn}是等比数列，

{bn}所有项和为20，求：

（1）求an,bn （2）解不等式

am?1???a2m??160b2

m?1解：（1）∵ 2

等差、等比数列综合

教学目标 1.熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题

2.突出方程思想的应用，能选择简捷合理的运算途径，提高运算速度和能力 3.用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识，从本质上掌握公式

4.解决应用问题时，分清是等差数列还是等比数列问题；分清an和Sn弄清项数n

双基联系 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2?a5?a7?a9?a12是一个确定的常数，则下列表达式也是一个确定的常数的是 ( ) A.S5 B.S7 C.S9 D.S13

2.已知等比数列{an}，若a2a5a9a12?16，则a6a7a8? ( ) A．4 B．8 C．±4 D．±8

3.命题p：若2b=a＋c，则a，b，c成等差数列；命题q：若b?ac，则a

等差数列的性质总结

1.等差数列的定义：an?an?1?d（d为常数）（n?2）；

2．等差数列通项公式：

an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*) ， 首项:a1，公差:d，末项:an 推广： an?am?(n?m)d． 从而d?

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A?a?b或2an?am；

n?m2A?a?b

（

2

）

等

差

中

项

：

数

列

?an?是等差数列

?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2

4．等差数列的前n项和公式：

Sn?n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 2222（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数2n?1时，an?1是项数为2n+1的等差数列的中间项

S2n?1??2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数

乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1） 定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列．

?（2） 等差中项：数列

?a

高中数学第一轮复习学案 数 列

第01讲 数列的概念和简单表示法

广东高考考试大纲说明的具体要求：

① 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）; ② 了解数列是自变量为正整数的一类函数.

（一）基础知识回顾：

1.数列的概念:按照一定______排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的______.

数列的第一项a1也称为_______项，an是数列的第n项，也叫数列的_______项。

如果数列{an}的第n项an与项数n之间的关系可以用一个公式来表示，即an?f(n)，那么这个式子就叫做这个数列的___________.数列的通项公式就是相应函数的解析式。

数列{an}中，Sn?a1?a2???an，叫做数列{an}的_____________.

2.数列的分类：项数有限的数列称为_________数列，项数无限的数列称为_________数列。

递增数列：对于任意的n?1,n?N，都有an?1?an； 递减数列：对于任意的n?1,n?N，都有an?1?an； 常数列：对于任意的n?1,n?N，都有an?1?an。 3.常见数列：分别写出以下几个数列的一个通项公式：

（1）1,2,3,4,5

专题9 等差数列与等比数列

一、高考考点

1.等差数列或等比数列定义的应用：主要用于证明或判断有关数列为等差（或等比）数列. 2.等差数列的通项公式，前几项和公式及其应用：求问题.

3.等比数列的通项公式，前n项和及其应用：求 4.等差数列与等比数列的（小）综合问题.

5.等差数列及等比数列的主要性质的辅助作用：解决有关问题时，提高洞察能力，简化解题过程.

6.数列与函数、方程、不等式以及解析几何等知识相互结合的综合题目：以高中档试题出现，重点考察运用有关知识解决综合问题的能力。

二、知识要点 （一）、等差数列

1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.

认知：｛

－

｝为等差数列

－

※

；求 ；解决关于 或 的

；求 ；解决有关 或 的问题.

=d (n∈N且d为常数)

※

=d (n 2, n∈N且d为常数)

｝为等差数列的主要依据.

此为判断或证明数列｛

2.公式

（1）通项公式： 引申： 认知：｛

)

=

=

+（n－1）d：

+（n－m）d （注意：n=m+(n－m

点12 等差数列、等比数列的性质运用

　　　难点12 等差数列、等比数列的性质运用
　　等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视.高考中也一直重点考查这部分内容.
　　●难点磁场
　　(★★★★★)等差数列{an}的前n项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为_________.
　　●案例探究
　　［例1］已知函数f(x)= (x<－2).
　　(1)求f(x)的反函数f-－1(x);
　　(2)设a1=1, =－f－-1(an)(n∈N*),求an;
　　(3)设Sn=a12+a22+...+an2,bn=Sn+1－Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N*,有bn<成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
　　命题意图：本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力，属★★★★★级题目.
　　知识依托：本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题.
　　错

《等比数列》说课稿

尊敬的各位老师：

大家好!

我今天的说课内容是《等比数列》的第一课时。本节课我尝试用新课标的理念来指导教学，以问题串的形式引领学生，激发学生的兴趣，力图做到使学生面对问题而不是面对习题，从而达到新课程标准中提出的“关注学生体验、感悟和实践活动”的要求。下面我从教材分析、教法分析、学法分析、教学过程、教学评价和教学反思六个方面进行一下说明。 一、教材分析：

1、教材的地位和作用：

数列内容是高中代数部分的重要内容，它既联系着函数和方程的有关知识，又为解决数列的研究性课题和以后进一步学习数列的极限打下基础，更是高等数学的基础知识，具有承上启下的重要作用，因此也是高考的热点内容之一。《等比数列》作为《数列》这一章中两个最重要的数列之一，它的研究和解决集中体现了研究《数列》问题的思想和方法，对提高学生用函数的观点和方程的思想解决问题的能力以及提高学生分析、猜想、概括、总结、归纳的综合思维能力有着重要的作用，同时，也能大大培养学生的探索精神和参与意识，突出课堂教学“以学生为主体，教师为主导”的新课程理念。

2、教学重点与难点：

本节课的教学重点为：理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要的数列模型之一，探索并