求函数在孤立奇点的留数

留数的课件

解析函数的孤立奇点与留数留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志； 留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志；留 数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。 数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。 一.孤立奇点及其分类: 孤立奇点及其分类: 1.定义 若f(z)在z0不解析 但在 0的某一去心邻域 定义 在 不解析, 但在z 0<|z z0|<δ 内解析 则称 0为f(z)的孤立奇点 内解析, 则称z 的孤立奇点. 由定义可知， 由定义可知，若z0为f(z)的孤立奇点，则意味 的孤立奇点， 着在z 的某个领域里只有z 一个奇点。 着在 0的某个领域里只有 0一个奇点。 并非所有的奇点都孤立，例如： 并非所有的奇点都孤立，例如：f (z) = 1 1 sin z

留数的课件

2. 分类 由Laurent级数中负幂项的个数来分类 Laurent级数中负幂项的个数来分类 级数中负幂项的个数 的孤立奇点, 设z0为f(z)的孤立奇点, 则f(z)在0<|z z0|<δ 内 的孤立奇点 在 cn (z z0 )n . 解析， 解析， Laurent展式为 n∑ 展式为 = ∞∞

1).若无负幂项, 则称 0为f(z)的可去奇

3 孤立奇点类型的应用

孤立奇点的一个重要应用就是孤立奇点处的留数的计算，不同孤立奇点处的留数计算方法不同，所以我们必须正确判断孤立奇点的类型，我们通常遇到的是极点处的留数计算． 3.1 留数的定义

定义6：设z0是解析函数f(z)的孤立奇点，我们把f(z)在z0处的洛朗展开式中负一次幂项的系数C?1称为f(z)在z0处的留数．记作

Res[f(z),z0]，

即

Res[f(z),z0]=C?1．

显然，留数C?1就是积分绕z0的闭曲线．

从留数的定义可以看到，如果z0是f(z)的可去奇点，那么Res[f(z),z0]?0．如果

1f(z)dz的值，其中C为解析函数f(z)的z0的去心邻域内2?i?Cz0是本质奇点，那就往往只能用把f(z)在z0展开成洛朗级数的方法来求C?1．若z0是极

点的情形，则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数． 3.2 函数在极点处的留数

在求极点处的留数时，为了避免每求一个极点处的留数，都要去求一次洛朗展式，所以，给出下面的几个定理来求n阶极点处留数的公式． 3.2.1 简单法则

法则1：设a为f?z?的n阶极点，

f?z??其中，??z?在a点解析，??a??0，则

??z??z?a?lim??z?a

复变函数课件

华东理工大学《复变函数与积分变换》 华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案East china university of science and technology

第五章 留数及其应用 孤立奇点的概念 留数的定义、计算、留数定理 留数的定义、计算、 留数定理的应用(积分计算) 留数定理的应用(积分计算)

复变函数课件

华东理工大学《复变函数与积分变换》 华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案East china university of science and technology

5.1 孤立奇点的分类1、孤立奇点的定义 、若 f ( z )在 z 0 点不解析 (即奇点 ) 但在 z 0 的某个邻域内解析 ，

的孤立奇点。 则称 z 0 为 f ( z )的孤立奇点。例：1 sin z z = 0是 的孤立奇点。 、 e z 的孤立奇点。 z

1 f (z) = 有两个孤立奇点 z = i , z = 1 ( z i )( z + 1)

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留数定理在定积分中的应用

1． 留数定义及留数定理

1．1 留数的定义

设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <?<内解析，则积分()()1:,02f z dz z a R i ρρπΓ

Γ?=<<?为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z a

s f z =． 1．2 留数定理

介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理： 设D 是由复周线012C C C C --=+++…n C -所围成的有界连通区域，函数()f z 在D 内解析，在_

D D C =+上连续，则()0C f z dz =?．

定理1 []1

（留数定理） 设()f z 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除12,,a a …,n a 外解析，在闭域_

D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则（ “大范围”积分） ()()12Re k n

z a k C f z dz i s f z π===∑?． （1） 证明 以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ?=（1,2,k =…,n ）使

篇一：中国人移民美国的生活自白：孤立无援

中国人移民美国的生活自白：孤立无援

点评：在国内移民家长沾沾自喜，总好像高人一等，其实到了国外才知道并非如此，语言文化的隔阂总觉得好像难以跨越的鸿沟。也许这种感觉需要二三代人才能弥合或者说适应国外的生活，就像美国驻中国大使骆家辉一样。已经完全成为美国人。因为作为移民，他们的血液里还是中国文化，如果完全变成外国文化一定需要时间。

2012年10月24日

15:04和讯网

南桥撰文：斯坦福大学博士王庆根学业和事业都很成功，却因抑郁症自杀，留下儿女。他的经历和我惊人相似，美国生存的压力究竟有多大？移民(微博)后为什么还会抑郁？ 南大校友王庆根，原为奥赛金牌得主，斯坦福大学化学博士，Paypal的首席工程师，可以说学业和事业都很成功，却因抑郁症自杀，留下一双儿女。

王博士的经历和我惊人地相似，我自己还苟活着，但同病相怜，觉得我们这些在美国生活得时间比较久的人，有必要多说说自己实际的生活状况，让其余的人做选择的时候，起码多一些参考。

我不知王博士的离世究竟是什么原因，但不妨借题发挥，顺着“压力”这个话题，说说在美国生存的压力。

海外生活孤立无助

国内报道，多强调王走上绝路，是因工作压力太大。表面上看这似是最合理的解释，但未必有

四年级数学《求小数的近似数》说课稿

一、教材内容及编排意图：

《求小数的近似数》是义务教材人教版数学四年级下册第四单元第五节的内容。是学生已经掌握了用四舍五入法求整数近似数后的一次扩展，同时又为后面改写成以万和亿作单位的数做好知识铺垫。教材内容展示了豆豆测量身高这一现实情境，说明小数的近似数在实际测量当中有着广泛的应用，从而加深对小数的认识，进一步培养学生的数感。

二、教学目标的设定：

1.结合具体情境理解小数近似数的意义，掌握求小数近似数的方法，理解并应用“四舍五入”法求小数的近似数，知道精确度的含义。

2.经历类比迁移求小数近似数的过程，通过观察、发现、讨论交流等数学活动培养学生推理及概括能力，初步掌握“迁移”、“数形结合”等学习数学的方法。

3.感受近似数的实际意义，体会数学与生活的密切联系，激发学习兴趣，培养学生的数感。

三、教学重点：

1.理解并应用“四舍五入”法求小数的近似数。

2.理解求小数的近似数时，近似数末尾的0不能省略的道理。

四、教学难点：

理解求一个数的近似数时，近似数末尾的0不能省略的道理。

五、教学流程：

在这节课中，我采用五环节教学，即“创设情境，

导数的应用——求函数中参数的取值范围

一、教学目标及要求：

1.掌握求函数中参数的常用方法

2.熟练解决题中恒成立、存在、任意等问题 3.了解相关数学思想和方法 二、主要命题方式：

方式一：给出函数的单调性，求函数的解析式中的参数取值范围

方式二：已知某个不等式在给定区间上恒成立，求解析式中的参数取值范围

方式三：已知函数的极值点、极值、极值点的个数。求函数解析式中参数的取值范围 三、典例解析

命题方式一：给出函数的单调性，求函数的解析式中的参数取值范围 例1：已知函数f(x)=(x2+bx+b) 1?2x（b?R） （1）当b=4时 求f(x)的极值。 （2）若f(x)在区间（0，

方法总结：

1）上单调递增，求b的取值范围。 3命题方式二：已知某个不等式在给定区间上恒成立， 求解析式中的参数取值范围

例2：已知函数f(x)=ex-ax，其中a>0，若对一切x?R、 f(x)≥1恒成立，求a的取值范围。

方法总结：

命题方式三：已知函数的极值点、极值、极值点的个数。求函数解析式中参数的取值范围

ex2例3.设函数f(x)?2?k(?lnx)(k为常数)xx

篇一：亿以内数的改写和求近似数

晓坪学校四年级 数学（上册）导学案

备导时间：2015.9 设计者：谢杨执教者：

篇二：亿以内数的改写与求近似数

“亿以内数的改写与求近似数”教学反思

将整万的数改写成以“万”作单位的数，将非整万的数用“四舍五入”的方法改写成以“万”作单位的数，是两种不同的改写方法。重点要组织学生比较，使学生形成清晰的概念。

在教学改写成用万作单位的时候，我以身体里流淌着很多血液，在血液里有很多的白细胞和红细胞，你知道白细胞和红细胞的作用吗？学生说的非常好。然后我又问你知道一小滴血液里含有多少红细胞和白细胞吗？学生马上就说出了红细胞和白细胞的个数，我自然而然引出万以内数的改写。学生很快得出了把末尾的四个零去掉，在加上一个万字就可以了。这个环节完成的比较顺利，也体现了学生是学习的主人，教师是合作者，引导者这一理念。

亿以内数的省略是本节课教学的难点，为了突破难点，在这个环节我先出示了课本上的例6，地球的直径大约是多少万千米？太阳的呢？出示地球和太阳的图片让学生观察，我怕学生不会就一步一步的引导，问题是地球的直径是多少万千米就是让省略万位后面的尾数求近似数，省略万位后面的尾数要看哪一位上的数？在我的引导下学生虽然程度好的同学掌握了方法，但是在学

亿以上数的改写和求近似数说课稿

冯阳

1.

说教材：

亿以上数的改写和求近似数是在前面亿以内数的改写和求近似数的进一步学习，加强学生对大数的认识。 2.

教学目标：

（1）知识与技能：

掌握将整亿的数改写成以“亿”作单位的数的方法，能正确地改写整亿的数。掌握将非整亿的数用“四舍五入”法改写成以“亿”作单位的近似数的方法，能正确地“略写”非整亿的数。 （2）过程与方法：

结合现实素材，使学生感受亿以上数的意义，培养学生的数感。

（3）情感态度与价值观：利用教材提供的素材，增强学生的科普知识，扩大学生的视野。

3. 教学难点：

将非整亿的数用“四舍五入”法改写成以“亿”作单位的近似数，亿以上数的改写和省略亿以内数的省略。通过本节课的学习使学生掌握大数的改写方法和省略亿后面的尾数求近似数的方法，四舍五入与改写的区别。

.教学重点：大数的改写和略写，掌握改写的方法，掌握求近似数的方法。 4. 教学过程： (1) 复习导入:

在复习铺垫时，由于学生已经学过亿以上数的读法和写法，我出示了一些整亿数和一些非整亿数，让学生先通过读数和写数发现整亿数和非整亿数的特点引出本节课的课题，效果很好。

(2)课前预习

我认为课前预习是非常好的一种学习方法，通过预习可以

求函数最值的常用以下方法：

1．函数单调性法

先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中的某一问中出现．

1

例1 设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________.

2【思路】 先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的最值，然后利用条件求得参数a的值． 【解析】 ∵a>1，∴函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上是增函数，∴函数在区间[a,2a]上的最大值与最小值分1

别为loga2a，logaa＝1.∴loga2＝，a＝4.故填4.

2

【讲评】 解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性．这一点处理好了，以下的问题就容易了．一般而言，对一次函数、幂函数、指数函数、对数函数在闭区间[m，n]上的最值：若函数f(x)在[m，n]上单调递增，则f(x)min＝f(m)，f(x)max＝f(n)；若函数f(x)在[m，n]上单调递减，则f(x)min＝f(n)，f(x)max＝f(m)；若函数f(x)在[m，n]上不单调，但在其分成的几个子区间上是单调的，则可以采