用积分计算数学期望的技巧

数学期望的计算方法与技巧

维普资讯

第 2卷第 3 2期 20年 5 08月

湖

南

工

业

大

学

学

报

VO12 .2 NO. 3

J u n l f n n Un v ri fT c n l g o ra o Hu a i e st o e h o o y y

M a 0 8 v2 0

数学期望的计算方法与技巧肖文华(娄底职业技术学院电子信息工程系，湖南娄底 4 7 0 10 0)

摘要：利用数学期望的定义、性质、公式、随机变量分布的对称性，以及母函数、特征函数等，探讨了 数学期望的几种计算方法。 关键词：数学期望；定义；性质；公式；微分法中图分类号： 1; 4 O2 G62 1文献标识码： A文章编号：17— 8 32 0 )3 0 9— 3 6 3 9 3 (0 80— 0 8 0

Cac ltn eho n c n q e o ah m aia p cain lu ai gM t dsa dTe h i u sf rM t e tc l Ex e tto

Xio W e h a a n u

( pr n l t nc n fr t n n ier g L u i o a o aT cnc ol e L ui n n 100 hn

数学期望的计算方法与技巧

维普资讯

第 2卷第 3 2期 20年 5 08月

湖

南

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业

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报

VO12 .2 NO. 3

J u n l f n n Un v ri fT c n l g o ra o Hu a i e st o e h o o y y

M a 0 8 v2 0

数学期望的计算方法与技巧肖文华(娄底职业技术学院电子信息工程系，湖南娄底 4 7 0 10 0)

摘要：利用数学期望的定义、性质、公式、随机变量分布的对称性，以及母函数、特征函数等，探讨了 数学期望的几种计算方法。 关键词：数学期望；定义；性质；公式；微分法中图分类号： 1; 4 O2 G62 1文献标识码： A文章编号：17— 8 32 0 )3 0 9— 3 6 3 9 3 (0 80— 0 8 0

Cac ltn eho n c n q e o ah m aia p cain lu ai gM t dsa dTe h i u sf rM t e tc l Ex e tto

Xio W e h a a n u

( pr n l t nc n fr t n n ier g L u i o a o aT cnc ol e L ui n n 100 hn

数学期望

地位和作用

期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫。同时，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响。

重点与难点

重点：离散型随机变量期望的概念及其实际含义。 难点：离散型随机变量期望的实际应用。

学习目标

1理解离散型随机变量期望的概念，了解其实际含义。

2会计算简单的离散型随机变量的期望，并解决一些实际问题。

3自学连续型随机变量的数学期望及随机变量函数的数学期望（含方差）并能够进行简单计算

4能够解释练习1-4，例题1-2中的问题答案。

实例分析 [情境一]

某商场要将单价分别为18

，24

，36

的3种糖果按3：2：1的比例混合

销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？

[情境二]

若此商场经理打算在国庆节那天在商场外举行促销活动，如果不遇到雨天可获得经济效益10万元，如果遇到雨天则要损失4万元，据9月30日气象台预报国庆节那天有雨的概率是40%，则此商场平均可获得经济效益多少元？ [情境一]解答：

3种糖果的质量分别是根据混合糖果中3种糖果的比例

概率论与数理统计 课件

第二节

随机变量的数学期望

一、数学期望的概念 二、数学期望的性质

概率论与数理统计 课件

通过前面的学习知道， 通过前面的学习知道，对于一个随机变量若已知它的 概率分布，就可以计算出我们要求的各种情形的概率。 概率分布，就可以计算出我们要求的各种情形的概率。 然而，在实际问题中所遇到的随机变量，其分布一般 然而，在实际问题中所遇到的随机变量， 情况下是未知的，而求出它的分布不是一件容易的事。 情况下是未知的，而求出它的分布不是一件容易的事。 在一些实际问题中，我们并不一定要知道某个随机变 在一些实际问题中， 量的分布， 量的分布，而只需要知道一些能够集中反映其分布特征和 性质的指标就可以解决问题。 性质的指标就可以解决问题。 例如, 在评价某地区粮食产量水平时, 例如, 在评价某地区粮食产量水平时, 通常只要知道该 地区粮食的平均产量; 又如, 在评论一批灯泡的质量时, 地区粮食的平均产量; 又如, 在评论一批灯泡的质量时, 既要注意其平均使用寿命, 既要注意其平均使用寿命, 又要注意灯泡寿命与平均寿命 的偏离程度. 的偏离程度.

概率论与数理统计 课件

实际上, 实际上, 描述随机变量的平均值和偏离程度的 数字特征在理论和实践上

数学期望与方差的运算性质

教程

一：复习公式

离散随机变量(),(,)(,)(,)(,)i j ij i j ij i j

P X Y a b p Eh X Y h a b p ==→=∑

连续随机变量()()()2

,~,(,)(,),R f x y Eg g x y f x y dxdy ξηξη→=??

二：期望运算性质

()E aX bY c aEX bEY c ++=++

应用例题、袋中装有m 个不同色小球，有返回取球n 次，出现X 种不同颜色，求EX 解答：用i X ?=??

１第ｉ颜色球在n次取球中出现０第ｉ颜色球在n次取球中没出现，则 m X X X ++= 1

由于()()1101,111,n n

i i P X P X m m ????==-==-- ? ????? ()111/n

i EX m =--，

()??????????? ??--==++=∑=n m i i m m m EX X X E EX 11111

三、协方差：若,EX EY θμ==，()()cov(,)X Y E X Y θμ=--????称为随机变量X 、Y 的协方差.covariance

()()cov(,)X Y E X Y θμ=--????

()()()()()

()()(

Zdzx-huaxue 高三实验部1-4班

化学计算数据处理技巧与题型欣赏

化学计算中要做到能迅速、准确地处理数据，就要正确分析形式多种多样的数据，找到数据的作用、特点以及内在联系，寻求化学计算的正确方法，以提高化学计算的速度和准确度。数据的处理能力反映了学生对化学知识的正确理解和掌握程度，以及灵活运用化学知识分析和解决具体问题的能力。现就谈谈化学数据的处理技巧。 技巧1 挖掘隐蔽数据

化学计算中提供的数据或定量关系，有的很直接，有的却隐蔽得很巧妙，必须通过对题目的反复推敲、认真辨析、深挖细掘，才能充分显示。让隐蔽数据明朗化是解题关键。

例 1. 室温下，等体积的NO和O2混合后，混合气体的平均相对分子质量为（ ）。 A. 30； B. 31； C. 32； D. 41.33； E. ＞41.33

分析 本题有2个隐蔽条件：①NO会与O2反应生成NO2，使气体体积发生变化；②NO2会转化为N2O4，使混合气体的相对分子质量增加。

有的同学没有注意到上述隐蔽条件

数值计算方法第一次作业 1.3 试设计一个稳定的递推算法计算定积分∫01xnexdx.（n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9）

解：程序设计如下： #include

void main() {

int i;

double A;

for (i=9;i>=0;--i) {

A=(2.71828+1)/(2*(i+1)); printf(\} }

输出结果： 0.185914 0.206571 0.232393 0.265591 0.309857 0.371828 0.464785 0.619713 0.929570 1.859140

以上数据从上向下依次是I9，I8，I7，······I1，I0的值。 1.6 用秦九韶算法编程计算多项式f(x)=1+x+2x2+3x3+···+100x100，在x=0.5,0.8,0.95处的

值。

解：程序设计如下： #include

void main() {

int i;

float x,y=0.0; scanf(\for(i=100;i>=1;--i) y=y*x+i; y=y*x+1;

printf(\}

程序运行结果为 输入0.5时，输出为3.00

常见分布的期望与方差的计算

这些分布的期望和方差要求同学们熟记，以下是计算过程，供课下看。

1.0－1分布

已知随机变量X的分布律为

X

10

p

p1 p

则有

E(X)=1 p+0 q=p,

D(X)=E(X2) [E(X)]

2

=12

p+02

(1 p) p2

=pq.

2.二项分布

设随机变量X 服从参数为n, p 二项分布,

(法一)设Xi为第i 次试验中事件A 发生的次数，i=1,2,",n则

X=∑Xi

i=1

n

n

显然，Xi 相互独立均服从参数为p 的0－1分布，

所以E(X)=∑E(Xi)=np.

i=1

D(X)=∑D(Xi)=np(1 p).

i=1

n

(法二) X的分布律为 n k P{ X= k}= p (1 p )n k, ( k= 0,1,2,", n), k n n n k则有 E ( X )=∑ k P{ X= k}=∑ k p (1 p )n k k=0 k k=0kn!=∑ p k (1 p )n k k= 0 k ! ( n k )! np( n 1)!=∑ p k 1 (1 p )( n 1) ( k 1) k=1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]!n n

( n

用几何计算器，调高绘图效率 AUTOCAD应用技巧-

图片没上去，原文链接http://hi.http://www.wodefanwen.com//bati8888/blog/item/d6b3c8b257

96c8aed8335afb.html

在使用AutoCAD绘图的过程中，常常需要确定一些无法用坐标或捕捉确定的点。例如，过一条直线的中点作垂直直线，垂线的一个端点可以用捕捉中点确定，但另一端点没法用坐标或捕捉确定。作辅助线当然可以，但还有更简便的方法：使用几何计算器（cal命令）。

一、几何计算器cal命令简介

CAL 是一种联机几何计算器，用于计算点（矢量）、实型或整型表达式的值。这些表达式可通过对象捕捉函数（例如：CEN、END 和 INS）获取现有的几何图形参数。CAL命令可以：

计算两点确定的矢量、矢量长度、法向矢量（垂直于 XY 平面）及直线上的点。 计算距离、半径或角度。 用定点设备指定点。

指定最后一点或最后一个交点。 将对象捕捉作为表达式中的变量。 在 UCS 和 WCS 之间转换点。 过滤矢量中的 X、Y 和 Z 分量 绕轴旋转一点。

二、应用举例

对于任何需要点、矢量或数值的AutoCAD命

曲线积分的计算法

1. 基本方法 曲线积分 第一类 ( 对弧长 )

第二类 ( 对坐标 )

用参数方程

(1) 选择积分变量 用直角坐标方程

用极坐标方程

???转化

定积分

(2) 确定积分上下限 定理

设f(x,y)在曲线弧L的参数方程为?x??(t),??y??(t),?第一类: 下小上大 第二类: 下始上终

对弧长曲线积分的计算

L上有定义且连续(??t??)其中,且,?(t),?(t)在[?,?]上具有一阶连续导数?Lf(x,y)ds???22f[?(t),?(t)]??(t)???(t)dt(???)注意:

1.定积分的下限?一定要小于上限?;.2.f(x,y)中x,y不彼此独立,而是相互有关的特殊情形

(1)L:y??(x)a?x?b.b2f[x,?(x)]1???(x)dx.?Lf(x,y)ds???a(2)L:x??(y)c?y?d.d?Lf(x,y)ds?cf[?(y),y]1???(y)dy.2

例1

解

求I???L?x?acost,xyds,L:椭圆?(第?象限).?y?bsint,22I??20acost?bsint(?asint)?(bcost)dt??ab?2sintcostasint?bcostdt