定积分近似计算抛物线法

数学实验的课件

数学实验

实验二 定积分的近似计算

数学实验的课件

实验二、 实验二、定积分的近似计算问题背景和实验目的定积分计算的基本公式是牛顿-莱布尼兹公式。但当 被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利 用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至 没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散 的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。 本实验主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、 梯形法和抛物线法。同时介绍 Matlab 计算定积分的相关 函数。

数学实验的课件

实验二、 实验二、定积分的近似计算矩形法定积分的定义：

∫

b

a

f ( x )dx = nlim →∞ x1 x2LL

x →0 i =1

∑ f (ξ ) x ,i i

n

ξi ∈ [ xi 1 , xi ]

xi xi

LL LLi

xn xn 1 = xn

x0 =

x1

x2

L L xi 1

xi = xi xi 1 ,

x = max xi

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矩形法 矩形法定积分的近似：

∫

b

a

f ( x )dx ≈ ∑ f ( ξi ) xi , n 充分大，△x 充分小i =1

n

通常我们取 x1 = x2 = L = xn

h = b a n

点 ξi ∈ [

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实验二 定积分的近似计算

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实验二、 实验二、定积分的近似计算问题背景和实验目的定积分计算的基本公式是牛顿-莱布尼兹公式。但当 被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利 用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至 没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散 的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。 本实验主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、 梯形法和抛物线法。同时介绍 Matlab 计算定积分的相关 函数。

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实验二、 实验二、定积分的近似计算矩形法定积分的定义：

∫

b

a

f ( x )dx = nlim →∞ x1 x2LL

x →0 i =1

∑ f (ξ ) x ,i i

n

ξi ∈ [ xi 1 , xi ]

xi xi

LL LLi

xn xn 1 = xn

x0 =

x1

x2

L L xi 1

xi = xi xi 1 ,

x = max xi

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矩形法 矩形法定积分的近似：

∫

b

a

f ( x )dx ≈ ∑ f ( ξi ) xi , n 充分大，△x 充分小i =1

n

通常我们取 x1 = x2 = L = xn

h = b a n

点 ξi ∈ [

江夏一中2013届文科数学一轮复习专题讲座

抛物线焦点弦问题

抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下： 一.弦长问题：

2

例1 斜率为1的直线经过抛物线y 4x的焦点，与抛物线相交AB两点，求线段AB的长。

二.通径最短问题：

2

例2：已知抛物线的标准方程为y 2px，直线l过焦点，和抛物线交与A.B两点，求AB的最小值并

求直线方程。

三．两个定值问题：

2

例3：过抛物线y 2px的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为x1、x2、y1、y2，

p22

求证：x1y1 ，y1y2 p。

4

四．一个特殊直角问题：

2

例4：过抛物线y 2px(P 0)的焦点F的直线与抛物线交与A、B两点，若点A、B在抛物线的准

线上的射影分别是A1，B1求证： A1FB1 90。

五．线段AB为定长中点到y轴的最小距离问题

2

例5：定长为3的线段AB的两端点在抛物线y x上移动，设点M为线段AB的中点，求点M到y 轴

的最小距离。

六．一条特殊的平行线

例6：过抛物线焦点的一条直线与它交与两点P、Q,经过点P 和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴。

七．一个特殊圆

例7：求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。

八．

篇一：抛物线定义及标准方程

一、 复习预习

复习双曲线的基本性质，标准方程以及方程的求法、应用

二、知识讲解

(一)导出课题

我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．

请大家思考两个问题：

问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？

在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？

问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？

在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．

引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．

(二)抛物线的定义

1．回顾

平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？

2．简单实验

如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用

第二章 圆锥曲线与方程

2.4.1 抛物线及其标准方程

生活中存在着各种形式的抛物线

我们对抛物线已有了哪些认识？

二次函数是开口向上或向下的抛物线。y

o

x

问题探究： 当|MF|=|MH| ,点M的轨迹是什么？

探 究 ？

H

M

·

C

·F

l

e=1

可以发现,点M随着H运动的过程中,始终|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是 曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.

抛物线的定义:在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. 点F叫抛物线的焦点,H

d M

·

C焦 点

·F

准线

l

直线l 叫抛物线的准线

e=1

d 为 M 到 l 的距离

想一想

如果点F在直线l上，满足条件的点的 轨迹是抛物线吗？

注：若F L,则满足到定点F和定直线L的距离相等的点的 轨迹是过点F且垂直于直线L的一条直线.

1.抛物线的定义 距离相等的 平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)_________ 焦点 ，直线l叫做 点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的_____ 准线 . 抛物线的_____ 试一试：在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”,点的 轨迹还

与抛物线有结论

抛物线中有一些常见、常?y?k(x?p?)用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题2??y2?2px?时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。

p2结论一：若AB是抛物线y?2px(p?0)的焦点弦（过焦点的弦），且A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：x1x2?，

42y1y2??p2。

证明：因为焦点坐标为F(

22pp,0),当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为： y?k(x?)， 222y12y22p4p2由得: ky?2py?kp?0 ∴y1y2??p，x1x2?。 ???2p2p4p24当AB⊥x轴时，直线AB方程为x?p2x1x2?。

4p，则y1?p，y2??p，∴y1y2??p2，同上也有：2例：已知直线AB是过抛物线y2?2px(p?0)焦点F，求证：

11?AFBF为定值。

pp，BF?x2?，又22证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由抛物线的定义知：AF?x1?p2。 AF+BF=AB，所以x1+x2=AB-p，且由结论一知：x1x2?4则：1?1?AF?BF?AFBFAF?BFABABAB2 =?（常数） ?222ppppp

高二数学选修2-1,三维设计,三章全部。

2.4.1 抛物线及其标准方程

如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．

问题1：画出的曲线是什么形状？ 提示：抛物线

问题2：|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？

提示：是．AB是直角三角形的一条直角边． 问题3：点D在移动过程中，满足什么条件？ 提示：|DA|＝|DC|.

抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点Fl.

平面直角坐标系中，有以下点和直线：A(1,0)，B(－1，0)，C(0,1)，D(0，－1)；l1：x＝－1，l2：x＝1，l3：y＝－1，l4：y＝1.

问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？ 提示：y2＝4x.

问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？ 提示：y2＝－4x.

问题3：到定点C和定直线l3，到定点D

和定直线l4距离相等的点的轨迹方程分别是什么？

提示：x2＝4y，x2＝－4y.

高二数学选修2-1,三维设计,三

选修2-1 第二章 圆锥曲线 2.4抛物线 2.4.2抛物线的简单几何性质

普通高中课程标准实验教材选修( ) 普通高中课程标准实验教材选修(2-1)

抛物线习题课( ) 抛物线习题课(1)

选修2-1 第二章 圆锥曲线 2.4抛物线 2.4.2抛物线的简单几何性质

复习

一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线 平面内与一个定点 和一条定直线l 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 抛物线. 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点 定点 叫做抛物线的焦点 叫做抛物线的焦点. 定直线l 叫做抛物线的准线 准线. 定直线 叫做抛物线的准线N lM

· ·F

即:

MF ︳ ︳ , 则点 M 的轨迹是抛物线。 若 =1 MN ︳ ︳

注意：定点不在定直线上。 注意：定点不在定直线上。

选修2-1 第二章 圆锥曲线 2.4抛物线 2.4.2抛物线的简单几何性质

练习4.到定点(3,5)与定直线2x+3y-21=0的距离相等的点的轨迹 4.到定点(3,5)与定直线2x+3y-21=0的距离相等的点的轨迹 到定点(3,5)与定直线2x+3y 是( A.圆 A.圆 C.线段 C.线段

D)B.抛物线 B

抛物线的定义和标准方程

抛物线的定义和标准方程

教学目标：

1、使学生掌握抛物线的定义，开口向右的抛物线的标准方程的推导过程。进一步得出开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程。

2、熟练掌握抛物线的四种标准方程及其所对应的开口方向、焦点坐标、准线方程之间的关系；

3、能根据已知条件熟练地求出抛物线的标准方程,进一步培养学生在解决数学问题时进行观察、类比、猜想、分析、计算的能力。 教学重点和难点：

重点：抛物线的定义；根据具体条件求出抛物线的标准方程；根据抛物线的标准方程求出焦点坐标、准线方程。

难点：抛物线的标准方程的推导。 教学过程： 一、复习提问：

1、已知轨迹条件，怎样建立轨迹方程？ （答：已知曲线，求方程的一般步骤如下：

（1）建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任一点M的坐标； （2）写出曲线上的点M所要适合的条件 ；

（3）用点M的坐标表示这个条件，得出方程f (x,y)=0; （4）把方程f (x,y)=0化简；

（5）证明化简后的方程就是所求的曲线方程。

如果方程化简的每一步都同解，那么最后一步证明可以省略。）

2、在平面内到一定点的距离和到一条定直线距离的比是常数e 的点的轨迹， 当e < 1时是什么图形？（椭圆） 当e > 1时是什么图形？

【学习目标】(1)熟练掌握抛物线中特殊点的求法； (2)已知点的坐标，会求抛物线中有关图形面积； (3)已知抛物线中图形的面积关系，求点的坐标； (4)体会数形结合、化归等数学思想; (5)培养发散思维，一题多解，多解归一.

【自主探究】一、已知点的坐标，求抛物线中有关图形的面积

y x2 2x 3 与 x 轴交于A、B 已知二次函数两点(A在B的左边),与y轴交于点C,顶点为P. (1)请求出A、B、C、P的坐标； (2)求 A C 的面积； BA(-1,0),B(3,0) C(0,-3), P(1, - 4)

【反思归纳】已知点的坐标，如何求抛物线中图形的面积？

(1)一般取 平行于坐标轴

上的线段为底边.

(2)三边均不在坐标轴上的三角形及不规则 多边形，需把图形 转化 .(割补法)

【尝试探索】二、已知抛物线中图形的面积关系，求点的坐标

y x2 2x 3 与 x 轴交于A、B 已知二次函数两点(A在B的左边),与y轴交于点C,顶点为P.A(-1,0),B(3,0) C(0,-3), P(1,-4) N2y

N3

在抛物线上(除点C外), 是否存在点N,使得 S△NAB = S△ABC, 若存在，求出点N的坐标， 若不存在，请说