线性方程组的计算方法及其应用

习题3

3.1 设有方程组

?5x1?2x2?x3??12???x1?4x2?2x3?20 ?2x?3x?10x?3123?(1) 考察用Jacobi法，Gauss-Seidal法解此方程组的收敛性； (2) 用Jacobi法及Gauss-Seidal法解方程组，要求当x

3.2 设有方程组

?a11x1?a12x2?b1, (a11,a12?0) , ?ax?ax?b2222?211(k?1)?x(k)??10?4时迭代终止。

迭代公式

1?(k)(k?1)x?(b?ax)11122??a11 , k?1,2,?. ?1(k)(k?1)?x2?(b2?a21x2)?a22?求证由上述迭代公式产生的向量序列?x(k)?收敛的充要条件是

a12a21a11a22???1.

?1?3.3 给定方程组?a??1收敛。

a200??0?1???x1??1?????x?0?2???，确定a的取值范围，使方程组对应的Jacobi迭代??x3????1??

(k?1)(k)?x3.4 用SOR方法解下列方程组（取松驰因子??1.2）,要求x??10?4.

?2x1?x2?1. ?x?4x?52?1

?1a?23.5 给定线性方程组AX=b，其中A???

计算方法

习题3

3.1 设有方程组

5x1 2x2 x3 12

x1 4x2 2x3 20 2x 3x 10x 3

123

(1) 考察用Jacobi法，Gauss-Seidal法解此方程组的收敛性； (2) 用Jacobi法及Gauss-Seidal法解方程组，要求当x

3.2 设有方程组

a11x1 a12x2 b1

, (a11,a12 0) ,

ax ax b2222 211

(k 1)

x

(k)

10

4

时迭代终止。

迭代公式

1 (k)(k 1)

x (b ax)11122 a11

, k 1,2, .

1(k)(k 1)

x2 (b2 a21x2) a22

求证由上述迭代公式产生的向量序列 x(k) 收敛的充要条件是

a12a21a11a22

1.

1

3.3 给定方程组 a

1

收敛。

a20

0

0 1 x1 1 x 0

2 ，确定a的取值范围，使方程组对应的Jacobi迭代 x3 1

(k 1)(k)

x3.4 用SOR方法解下列方程组（取松驰因子 1.2）,要求x

10

4

.

2x1 x2 1

.

x 4x 52 1

计算方法

1a 2

3.5 给定线性方程组AX=b，其中A ,x,b R，

计算方法

习题3

3.1 设有方程组

5x1 2x2 x3 12

x1 4x2 2x3 20 2x 3x 10x 3

123

(1) 考察用Jacobi法，Gauss-Seidal法解此方程组的收敛性； (2) 用Jacobi法及Gauss-Seidal法解方程组，要求当x

3.2 设有方程组

a11x1 a12x2 b1

, (a11,a12 0) ,

ax ax b2222 211

(k 1)

x

(k)

10

4

时迭代终止。

迭代公式

1 (k)(k 1)

x (b ax)11122 a11

, k 1,2, .

1(k)(k 1)

x2 (b2 a21x2) a22

求证由上述迭代公式产生的向量序列 x(k) 收敛的充要条件是

a12a21a11a22

1.

1

3.3 给定方程组 a

1

收敛。

a20

0

0 1 x1 1 x 0

2 ，确定a的取值范围，使方程组对应的Jacobi迭代 x3 1

(k 1)(k)

x3.4 用SOR方法解下列方程组（取松驰因子 1.2）,要求x

10

4

.

2x1 x2 1

.

x 4x 52 1

计算方法

1a 2

3.5 给定线性方程组AX=b，其中A ,x,b R，

线性方程组的解法及其应用

摘要:线性方程组是线性代数的核心内容之一，其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.本文综述了几种不同类型的线性方程组的解法，如消元法、克拉默法则、广义逆矩阵法、直接三角形法、平方根法、追赶法，并以具体例子介绍不同解法的应用技巧. 在这些解法中，广义逆矩阵方法，具有表达式清晰，使用范围广的特点.另外，这些方法利于快速有效地解决线性方程组的求解问题，为解线性方程组提供一个简易平台，促进了理论与实际的结合.

关键词:线性方程组解法广义逆矩阵应用实例

The Solution of Linear Equations and Its Applications

Name: Zhao Tao Student number: 200840510158 Advisor: Chu Yawei

Abstract: Linear equations is one of the core content of linear algebra, the study of its solution is a classic andimportant research topic in algebra. This paper reviews several

线性方程组在现实中的应用

线性方程组在现实生活中的应用非常广泛的，不仅可以广泛地应用于工程学，计算机科学，物理学，数学，经济学，统计学，力学，信号与信号处理，通信，航空等学科和领域，同时也应用于理工类的后继课程，如电路、理论力学、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、系统动力学、自动控制原理等课程。 为了更好的运用这种理论，必须在解题过程中有意识地联系各种理论的运用条件，并根据相应的实际问题，通过适当变换所知，学会选择最有效的方法来进行解题，通过熟练地运用理论知识来解决数学得问题.

一、 线性方程组的表示

1.按照线性方程组的形式表示有三种 1）一般形式的表示

?a11x1?a12x2?...?a1nxn?b1??a21x1?a22x2?...?a2nxn?b2?...??ax?ax?...?ax?bn22nnnn?n11

2）向量形式：

x1?1?x2?2?...?xn?n??

3）矩阵形式的表示 ：

AX??,A???1,?2,...,?n?X??x1,x2,...,xn?T

?0特别地，当?AX???0时，AX??称为齐次线性方程组，而当?时，

称为非齐次线性方程组

2.按照次数分类又可分为两类 1）齐次线性方程组

高等代数课程设计,

**大学理学院

本科考查（课程论文）专用封面

学年学期：2019-2020学年第1学期

课程名称：高等代数

任课教师：**

论文/作业题目：《线性方程组及其矩阵解法》

年级专业：19数学类

姓名学号：************

提交时间：2019.12.15

评阅成绩：

评阅意见：

阅卷教师签名：2020年1月4日

高等代数课程设计,

运用矩阵解线性方程组

摘要

解方程是代数中一个基本的问题，对于多元一次方程组，用矩阵来求解及讨论其的是否有解，是否只有唯一解和多解之间的解的结构问题是一个相对简便和可行的办法。本文主要列出矩阵和多元线性方程组性质和概念，对其定理进行证明和讨论，然后找出定理的推论进行归纳总结。最后提出个人的思考与留下的疑问。

关键词：高等代数；线性方程组；矩阵；性质；证明；思考

Abstract

Solving equations is a basic problem in algebra. For multivariate linear equations, the matrix is used to solve and discuss whether there is a solution, whether there is only one

第四章 线性方程组

1． 设A 为n 阶方阵，若2)(-=n A R ，则0=AX 的基础解系所含向量的个数是（ ）。

)(A 0个(即不存在) )(B 1个 )(C 2个 )(D n 个

2．如果n 元非齐次线性方程组b AX =的系数矩阵A 的秩小于n ，则（ ）。

)(A 方程组有无穷多个解 )(B 方程组有惟一解

)(C 方程组无解 )(D 不能断定解的情况

3．设33)(?=ij a A 满足条件：(1)ij ij A a =(3,2,1,=j i )，其中ij A 是元素ij

a 的代数余子式；(2) 133-=a ；(3) ||1A =，则方程组

b AX =，

T b )1,0,0(=的解是（ ）。

)(A T )2,5,3( )(B T )3,2,1( )(C T )1,0,0(- )(D T )1,0,1(-

4．设A 为n 阶奇异方阵，A 中有一元素ij a 的代数余子式0≠ij A ，则齐次线性方程组0=AX 的基础解系所含向量个数为（ ）。

)(A i 个 )(B j 个 )(C 1个 )(D n 个

线性方程组解法的探究

摘 要线性方程组源自于生活中一些未知元素的一系列特定的关系而转化成的

一组数据关系。对其进行求解可以解决一些方案的设计问题，例如给以新品的开发的多种原料的成分设计提供多种不同的配方。本文将以多种方法对线性方程组求解，并讲诉线性方程组的类别。

关键词

齐次线性方程组 非齐次线性方程组 克拉默（Cramer）法则

Gauss消去法 广义逆矩阵 减号逆矩阵 增广矩阵 矩阵的初等行变换 矩阵的秩

引言

克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分费时。一些极大的方程组通常会用迭代法来解决。亦有一些方法特地用来解决一些有特别排列的系数的方程组。广义逆的思想可追

《计算方法》课内实验报告

学生姓名: 及 学 号： 学 院: 班 级: 课程名称： 实验题目: 指导教师 姓名及职称：

张学阳 理学院 数学101 计算方法

解线性方程组的直接方法和迭代法

宋云飞 讲 师 朱秀丽 讲 师 尚宝欣 讲 师

1009300132

2012年12月10日

目 录

一、实验题目........................................................................................ - 1 - 二、实验目的........................................................................................ - 1 - 三、实验内容........................................................................................ - 1 - 四、实验结果...............................................................

线性方程组解的情况及其判别准则

摘要：近年来，线性代数在自然科学和工程技术中的应用日益广泛，而线性方程组求解问题是线性代数的基本研究内容之一，同时它也是贯穿线性代数知识的主线。本文探究了线性方程组一般理论的发展，用向量空间和矩阵原理分析了线性方程组解的情况及其判别准则。介绍了线性方程组理论在解决解析几何问题中的作用，举例说明了线性方程组解的结构理论在判断空间几何图形间位置关系时的便利之处。

关键字:线性方程组；解空间；基础解系；矩阵的秩

Abstract: In recent years, linear algebra in science and engineering application, and wide linear equations solving problems is the basic content of linear algebra, at the same time, it is one of the main knowledge of linear algebra. This article has researched the development of system of linear equations