高中数学选修柯西不等式

高中数学复习系列---不等式（柯西不等式）

【柯西不等式的主要内容】 1. 柯西主要贡献简介：

柯西（Cauchy），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等. 2.二维形式的柯西不等式： 若a,b,c,d?R，则 当且仅当 时, 等号成立. 变式1.若a,b,c,d?R，则a2?b2?c2?d20

|ac?bd|或a2?b2?c2?d2ac?bd；

0

变式2.若a,b,c,d?R，则a2?b2?c2?d2(a?c)2?(b?d)2 ；

变式3.（三角形不等式）设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则： (x1?x2)2?(y1?y2)2?(x2?x3)2?(y2?y3)2?3. 一般形式的柯西不等式：设n为大于1的自然数，

0

ai,bi?R(i?1,2,…,n)，

则： .当且

彝

解题技巧与方法躲I

拇不赘燕窬咿欺篇蕤嘹蟋康◎朱亚呖 (南省衡东县第一中学湖柯西不等式是个非常著名的不等式，新教材中出现在越来越多与之有关的应用 .活而巧妙地运用柯西不等式灵解决相关数学问题，往可以收到事半功倍的效果 .往相关定理柯西不等式是指下面的定理： 定理设 a,, =1 2…, )则 b E R(,, n,一

4 10 ) 24 0

( )果，,≥1 2如 ):且+,++ .

+

:,E: 2i N~ i

≥

、

证明

注意到++

:,由柯西不等式， 2又得

n

H

、

而.

+ - z 1 y 1 -。≥

+

+

(。i≤∑ n ( 6.∑ ) ( ∑ b ) )当数组 a,:…, 6,…,不全为 0时，号成。0, 0,。b, 6等立当且仅当 b=A 1≤n,中 A为实常数 . a(≤i )其二、西不等式的证明柯常用的证明柯西不等式的方法有： 1 .配方法利用判别式证明

丽

而

+

+ V一 (++ 1所不 、 /以 Yz÷ z

等式得证.

若∑。:, n一一n=,等显成 . 0则。: 0不式然立i= 1

2 .求函数的最值 () 1设++=10求 _,,)= x+ y+1z的 Y 0,厂 y ( 3 4 2最大值. 解由柯西不等式，得( x

彝

解题技巧与方法躲I

拇不赘燕窬咿欺篇蕤嘹蟋康◎朱亚呖 (南省衡东县第一中学湖柯西不等式是个非常著名的不等式，新教材中出现在越来越多与之有关的应用 .活而巧妙地运用柯西不等式灵解决相关数学问题，往可以收到事半功倍的效果 .往相关定理柯西不等式是指下面的定理： 定理设 a,, =1 2…, )则 b E R(,, n,一

4 10 ) 24 0

( )果，,≥1 2如 ):且+,++ .

+

:,E: 2i N~ i

≥

、

证明

注意到++

:,由柯西不等式， 2又得

n

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而.

+ - z 1 y 1 -。≥

+

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(。i≤∑ n ( 6.∑ ) ( ∑ b ) )当数组 a,:…, 6,…,不全为 0时，号成。0, 0,。b, 6等立当且仅当 b=A 1≤n,中 A为实常数 . a(≤i )其二、西不等式的证明柯常用的证明柯西不等式的方法有： 1 .配方法利用判别式证明

丽

而

+

+ V一 (++ 1所不 、 /以 Yz÷ z

等式得证.

若∑。:, n一一n=,等显成 . 0则。: 0不式然立i= 1

2 .求函数的最值 () 1设++=10求 _,,)= x+ y+1z的 Y 0,厂 y ( 3 4 2最大值. 解由柯西不等式，得( x

1 平均不等式

一、引入：

1．定理1：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）

证明：222)(2b a ab b a -=-+

??

??>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+ 指出定理适用范围：R b a ∈,

强调取“=”的条件b a =。

2．定理2：如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2

（当且仅当b a =时取“=”） 证明：∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+ 即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab b a =+2

注意：（1）这个定理适用的范围：+∈R a ；

（2）语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3．定理3：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）

证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32

233333---++=-++ )(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++=

]32)[(222ab c bc

小中高 精品 教案 试卷

三 排序不等式

1．顺序和、乱序和、反序和

设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)，称a1c1＋a2c2＋…＋ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．

2．排序不等式(排序原理)

定理：(排序不等式，又称为排序原理) 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，

c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1

＋a2b2＋…＋anbn，等号成立(反序和等于顺序和)?a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.

排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．

用排序不等式证明不等式(所证不等式中字母大小顺序已确定)

a5b5c5111 已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：33＋33＋33≥＋＋.

bccaababc 分析题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用

论文题目：姓 名：单 位：

浅谈柯西不等式

李新平

浙江省第五中学

浅谈柯西不等式

概要：柯西-许瓦尔兹（Cauchy-Schwarz）不等式在初等数学中，应用非常地广泛,与高中的向量联系也非常密切。

关键词：柯西不等式、极值、建模

一、概率方法证明柯西-许瓦尔兹（Cauchy-Schwarz）不等式。

关于柯西-许瓦尔兹（Cauchy-Schwarz）不等式证明，在书?1?中介绍了8种方法。这些证明都用了初等的方法，而这里介绍一种用初等概率论的知识来证明它，证明过程非常地简洁、明了。 柯西-许瓦尔兹（Cauchy-Schwarz）不等式的一般形式为 对任意的实数

a1,a2,...a,bn,,有 n及b1,b2,...nn?n?2??aibi???ai?bi2

i?1i?1?i?1?2其中等号当且仅当

aa1a2??...?n时成立。 b1b2bn设?是一个只取有限个值的离散型随机变量，其概率分布为

p???ai??pipi?0,i?1,2,....,n

则?的方差

D??E?2??E??,即

2??ai?1ni?E??2?n?2pi??aipi???aipi?

i?1?i?1?2n2由

论文题目：姓 名：单 位：

浅谈柯西不等式

李新平

浙江省第五中学

浅谈柯西不等式

概要：柯西-许瓦尔兹（Cauchy-Schwarz）不等式在初等数学中，应用非常地广泛,与高中的向量联系也非常密切。

关键词：柯西不等式、极值、建模

一、概率方法证明柯西-许瓦尔兹（Cauchy-Schwarz）不等式。

关于柯西-许瓦尔兹（Cauchy-Schwarz）不等式证明，在书?1?中介绍了8种方法。这些证明都用了初等的方法，而这里介绍一种用初等概率论的知识来证明它，证明过程非常地简洁、明了。 柯西-许瓦尔兹（Cauchy-Schwarz）不等式的一般形式为 对任意的实数

a1,a2,...a,bn,,有 n及b1,b2,...nn?n?2??aibi???ai?bi2

i?1i?1?i?1?2其中等号当且仅当

aa1a2??...?n时成立。 b1b2bn设?是一个只取有限个值的离散型随机变量，其概率分布为

p???ai??pipi?0,i?1,2,....,n

则?的方差

D??E?2??E??,即

2??ai?1ni?E??2?n?2pi??aipi???aipi?

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2019年04月12日136****5760的高中数学组卷

一．选择题（共2小题）

1．若直线＝1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2B．3C．4D．5

2．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z＝0．则当取得最大值时，的最大值为（）

A．0B．1C．D．3

二．解答题（共8小题）

3．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；

（2）求a2+b2+c2的最小值．

4．已知定义域在R上的函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．

（1）求a的值；

（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r＝a，求证：p2+q2+r2≥3．

5．已知正实数a、b、c满足条件a+b+c＝3，

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若c＝ab，求c的最大值．

6．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，x∈R．

（1）解不等式f（x）≤9；

（2）若方程f（x）＝﹣x2+a在区间[0，2]有解，求实数a的取值范围．

7．设函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣a|（a＞0）．

（1）当a＝2时，求不等式f（x）＞8的解集；

（2）若?x∈R，使得f（x）≤成立，求实数a的取值范围．

8．已知函数f（x）＝|2x﹣3

2019年04月12日136****5760的高中数学组卷

一．选择题（共2小题）

1．若直线＝1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2B．3C．4D．5

2．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z＝0．则当取得最大值时，的最大值为（）

A．0B．1C．D．3

二．解答题（共8小题）

3．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；

（2）求a2+b2+c2的最小值．

4．已知定义域在R上的函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．

（1）求a的值；

（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r＝a，求证：p2+q2+r2≥3．

5．已知正实数a、b、c满足条件a+b+c＝3，

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若c＝ab，求c的最大值．

6．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，x∈R．

（1）解不等式f（x）≤9；

（2）若方程f（x）＝﹣x2+a在区间[0，2]有解，求实数a的取值范围．

7．设函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣a|（a＞0）．

（1）当a＝2时，求不等式f（x）＞8的解集；

（2）若?x∈R，使得f（x）≤成立，求实数a的取值范围．

8．已知函数f（x）＝|2x﹣3

二 一般形式的柯西不等式

1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．(重点)

2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．(重点、难点)

[基础·初探]

教材整理1 三维形式的柯西不等式

阅读教材P37～P38“探究”以上部分，完成下列问题．

设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a1＋a2＋a3)·(b1＋b2＋b3)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3).当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．

已知x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝1，则x＋y＋z的最小值是( ) 12

A．1 B. C. D．2

33

12212222222

【解析】 根据柯西不等式，x＋y＋z＝(1＋1＋1)·(x＋y＋z)≥(1×x＋1×y331122

＋1×z)＝(x＋y＋z)＝. 33

【答案】 B

教材整理2 一般形式的柯西不等式 阅读教材P38～P40，完成下列问题．

设a1，a2，a3，?，an，b1，b2，b3，?，bn是实数，则

(a1＋a2＋?＋an)(b1＋b2＋?＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋?＋anbn).当且仅当bi＝0(i＝1,2，?，n