实变函数论第四章答案

函数论与测度(实变函数论)是高等师范院校数学专业的一门必修课程,它是普通微积分学的继续,是现代分析数学的基础。本课程的主要内容是n维欧氏空间上的Lebesgue 测度和Lebesgue积分理论。教学中要突出Lebesgue 测度与积分论的中心地位,使学生较好地掌握测度与积分这两个基本分析工具,能熟悉集合分解等基本方法。通过学习,使学生掌握一些近代抽象分析的基本思想,加深对数学分析中相关内容的理解;掌握实变函数的基本理论和方法

第四章 可 测 函 数

为了建立新的积分，我们已经对R中的一般集合定义了测度概念. 在本章中我们将定义可测函数的概念，讨论可测函数的性质. 我们会看到，可测函数类是包含连续函数类的一种范围相当广泛的函数类. 这个函数类对于四则运算是封闭的，而且对于极限运算也是封闭的. 我们还要讨论可测函数与连续函数的关系，从而进一步研究可测函数的结构. 最后研究可测函数的几种不同类型的收敛概念及其相互关系，使我们对可测函数有较深刻的理解.

n

§1 可测函数及其性质

教学目的：使学生了解可测函数的原始定义及等价命题，掌握其运算性质。 本节重点：可测函数的定义及性质，几乎处处的概念。

在本书引言中指出，定义新的积分需要研究什么样的函数f

函数论与测度(实变函数论)是高等师范院校数学专业的一门必修课程,它是普通微积分学的继续,是现代分析数学的基础。本课程的主要内容是n维欧氏空间上的Lebesgue 测度和Lebesgue积分理论。教学中要突出Lebesgue 测度与积分论的中心地位,使学生较好地掌握测度与积分这两个基本分析工具,能熟悉集合分解等基本方法。通过学习,使学生掌握一些近代抽象分析的基本思想,加深对数学分析中相关内容的理解;掌握实变函数的基本理论和方法

第四章 可 测 函 数

为了建立新的积分，我们已经对R中的一般集合定义了测度概念. 在本章中我们将定义可测函数的概念，讨论可测函数的性质. 我们会看到，可测函数类是包含连续函数类的一种范围相当广泛的函数类. 这个函数类对于四则运算是封闭的，而且对于极限运算也是封闭的. 我们还要讨论可测函数与连续函数的关系，从而进一步研究可测函数的结构. 最后研究可测函数的几种不同类型的收敛概念及其相互关系，使我们对可测函数有较深刻的理解.

n

§1 可测函数及其性质

教学目的：使学生了解可测函数的原始定义及等价命题，掌握其运算性质。 本节重点：可测函数的定义及性质，几乎处处的概念。

在本书引言中指出，定义新的积分需要研究什么样的函数f

1． 证明：E上的两个简单函数的和与乘积都还是E上的简单函数

证明：设f??ci?Ei(x)，g??di?Fi(x)，这里?Ei?i?1互不相交，?Fi?i?1互不相交

i?1i?1nmnm 令Kij?Ei?Fj，1?i?n,1?j?m

aij?ci?dj， 1?i?n,1?j?m

则易知f?g??c?ii?1nEi(x)??dj?Fj(x)???(ci?dj)?Ei?Fj(x)

j?1i?1j?1mnm先注意：若K??Ki?1mi，Ki互不相交，则?K(x)???i?1mKi(x) （m可为无穷大）

（?x?K，?i使x?Ki，?Ki(x)?1??K(x)，

?x?K,?K(x)?0，且?i，x?Ki则?Ki(x)?0）

且Ei?(Ei?(?F))?(E?(?F))??(E?F)?(E?(?F))

ccjijijijj?1j?1j?1j?1mmmm?E(x)??i?j?1m(x)??(Ei?Fj)n(Ei?(?j?1mFj)c)(x)???Ei?F(x)??j?1m(Ei?(?j?1mFj)c)(x)

同理：?Fj(x)?n??i?1Ei?Fj(x)??Fj?(?Ei)i?1mc(x)

f?g??ci?Ei(x)??dj?Fj

《复变函数与积分变换》教案 《复变函数》 第四章

章节名称：第四章 级数 学时安排：12学时

教学要求：使学生掌握复数列、复变函数项级数、幂级数等概念，以及复数列和

幂级数的收敛和发散的判定方法。

教学内容：复数列、复变函数项级数、幂级数等概念，以及复数列和幂级数的收

敛和发散的判定

教学重点：幂级数的研究 教学难点：幂级数收敛圆 教学手段：课堂讲授 教学过程： §1、复数项级数 1，复数列的极限：

1）定义：设{?n}(n?1,2,?)为一复数列，其中?n?an?ibn，又设??a?ib为一确定的复数。如果任意给定??0，相应地能找到一个正数N(?)，使?n????在n?N时成立，那么?称为复数列{?n}(n?1,2,?)在n??时的极限。记作

lim?n??。

n??也称复数列{?n}(n?1,2,?)收敛于??a?ib。

2）定理1：复数列{?n}(n?1,2,?)收敛于??a?ib的充要条件是

liman?a，limbn?b

n??n??2，级数的概念：

1）设{?n}?{an?ibn}(n?1,2,?)为一复数列，表达式

??n?1?n??1

实变函数论课后答案

实变函数论课后答案第五章1

第无章第一节习题

le数D(x)和Riemann函数R(x)计算]的Dirich函1.试就[0,1上

[0,1]

D(x)dx和

[0,1]

R(x)dx

x Q 11

RQ即 (为上全体有理数D(x) (x)Q1

0x R\Q

解:回忆D(x) 之集合)

回忆: E(x)可测 E为可测集和P129定理2:若E是Rn中测度有

_

限的可测集, f(x)是E上的非负有界函数,则 f(x)dx f(x)dx f(x)

E

为E上的可测函数

显然, Q可数，则m*Q 0，Q可测， Q(x)可测，有界,从而Lebesgue可积

由P134Th4(2)知

[0,1]

Q(x)dx

[0,1] Q

Q(x)dx

[0,1] Qc

Q(x)dx

[0,1] Q

1dx

[0,1] Qc

0dx

1 m([0,1] Q) 0 m([0,1] Qc) 1 0 0 1 0 回忆Riemann函数R(x):R:[0,1] R1

1 n R(x) 1

0

x

n

,m和n无大于1的公因子mx 0x [0,1] Q

在数学分析中我们知道, R(x)在有理点处不连续,而在所有无理点处连续,且在[0,1]上Riemann可积, R(x) 0

a.e于[0,1]

实变函数论文(设计)

课程中的应用

题目： 各角度讨论逼近思想在实变

姓名： 王 凯

指导教师： 崔亚琼

完成日期： 2015 年 1 月 3 日

学院： 数学与计算机科学学院

班级： 数学与应用数学五班

1

各角度谈论逼近思想在实变课程中的应用

一、 逼近思想在函数中的形成

从18世纪到19世纪初期，在L.欧拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里叶、J.-V.彭赛列等数学家的研究工作中已涉及一些个别的具体函数的最佳逼近问题。这些问题是从诸如绘图学、测地学、机械设计等方面的实际需要中提出的。在当时没有可能形成深刻的概念和统一的方法。切比雪夫提出了最佳逼近概念,研究了逼近函数类是n次多项式时最佳逼近元的性质，建立了能够据以判断多项式为最佳逼近元定理的特征。他和他的学生们研究了

第二章 点 集

在第一章里，我们介绍了一般的集合的基本知识，给出了一些重要概念和基本性质. 而实变函数课程研究的函数是定义在n维欧几里得空间Rn的子集上的实值函数，因此，有必要对

n着重讨论Rn中的点集所特有的一些性R中的点集作进一步的讨论. 本章在第一章的基础上，

质. 需要指出的是，因为Rn中点集也是集合，因而，在第一章关于一般的集合的所有结果对Rn中的点集都适用，但Rn中的点集所具有的许多特殊性质，对于一般的集合就不一定成立了.

§1 度量空间，n维欧氏空间

教学目的：使学生了解Rn中点集的直径，区间概念，掌握邻域的概念及性质。

本节重点：距离空间、距离概念，Rn 的几种常见距离规定方法，邻域的定义方式及性质。

在解析几何和数学分析中，我们已经对一维欧几里得空间R1（即R，实直线），二维欧几里得空间R2（即实平面）和三维欧几里得空间R3（即现实的三维立体空间）有了比较深入的了解. 现在，我们讨论n维欧几里得空间.

定义 设n是正整数，由n个实数构成的有序数组x?(x1,x2,?,xn)的全体组成的集合，称为n维点集，记作Rn，即Rn?{x?(x1,x2,?,xn):xi?R,i?1,2,?,n}.

为了深入研究n维点集Rn中邻

实变函数论课后答案第二章4

第二章第四节习题

1. 证明全体有理数所构成的集合不是G δ集，即不能表成可数多个开集的交. 证明：设1R 上全体有理数为{}123,,,

,

n r r r r Q =.

则一个{}n r 作为单点集是闭集，所以{}1

i i Q r ∞==

是F δ集，但要证Q 不是G δ集，则不容易.

这里用到：Baire 定理，设n

E R ?是

F δ集，即1

k k E F ∞==.

k F ()1,2,k =是闭集，若每个k F 皆无内点，则E 也无内点

（最后再证之） 反证设{};1,2,i Q r i ==为G δ集，即1i i Q G ∞

==，

（i G 为开集，1,2,i

=

）

1R 上的单调函数的全体所组成的集合的势为c =?.

证明：任取1

R 上的单调函数f ，则其间断点至多可数个，设其无理数的间断点，为

12,,

,,

m x x x （可为有限）

设1

R 中的有理数为{}12,,

,

,,n Q r r r f =?∈

令

()()()()()()()()(){}2

1111,,,,

,,,,i

i

i

i

f x f x r f r x f x r f r R

?=?.

则()f ?为2

R 中可数集.

若,f g ∈，使()()f g ??=，则()()

(),i i

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实变函数论考试试题及答案

证明题：60分

??1、证明 limAn=n??n?1m?nAm。

???证明：设x?limAn，则?N，使一切n?N，x?An，所以x?n???????m?n?1?Am???Am,

n?1m?n则可知limAn???Am。设x???Am，则有n,使x??Am，所以

n??n?1m?nn?1m?n?m?nx?limAn。 因此，limAn=??Am。

n??n??n?1m?n?2、若E?Rn，对???0，存在开集G, 使得E?G且满足 m*(G?E)??， 证明E是可测集。

证明：对任何正整数n， 由条件存在开集Gn?E，使得m*?G?E??令G??Gn,则G是可测集，又因m*?G?E??m*?Gn?E??n?1?1。 n1， n对一切正整数n成立，因而m?(G?E)=0，即M?G?E是一零测度集，故可测。由E?G?(G?E)知E可测。证毕。

)几乎处处成立，n?1,2,3,?, 则3、设在E上fn(x)?f(x)，且fn(x)?fn?1(x有{fn(x)}a.e.收敛于f(x)。

证明 因为fn(x)?f(x)，则存在{fni}?{fn}，使fni(x)在E上a.e.收敛到f(x)。设

1．证明下列集合等式．

(1) A??B\\C???A?B?\\?A?C?； (2) ?A?B?\\C??A\\C???B\\C?； (3) A\\?B\\C???A\\B???A?C?． 证明 (1) A?(B\\C)?A?(B?Cc)

?(A?B?Ac)?(A?B?Cc) ?(A?B)?(A?C)c ?(A?B)\\(A?C) .

(2) (A?B)\\C?(A?B)?Cc

?(A?Cc)?(B?Cc) =(A\\C)?(A\\C).

(3) A\\(B\\C)?A\\(B?Cc) ?A?(B?Cc)c

?A?(Bc?C)

?(A?Bc)?(A?C) ?(A\\B)?(A?C).

2．证明下列命题．

(1) ?A\\B??B?A的充分必要条件是：B?A； (2) ?A?B?\\B?A的充分必要条件是：A?B??； (3) ?A\\B??B??A?B?\\B的充分必要条件是：B??．

证明 (1) (A\\B)?B?(A?Bc)?B?(A?B)?(Bc?B)?A?B?A的充要条

是：B?A.

(2) (A?B)\\B?(A?B)?Bc?(A?Bc)?(B?Bc)?A?Bc

必要